東大と京大。
どっちがいい大学とか、言うつもりはない。どっちもいい大学です😀。

今回は、東大と京大の入試問題で出題された、最も有名な問題(の１つ)をそれぞれ一題ずつ挙げてみます。

京都大学

Q
tan 1° は有理数か？

(2006年後期)

たったの一行！
有理数(分数で表せる数)か？、と聞かれているから、「イエスかノーか」と答えるだけなら、直感的には無理数。有理数にはなりそうもない。

無理数であることを証明するには、「背理法」( absurdity )を使えばよいのだが、教科書に載っている、２の平方根が無理数になることの証明ほど単純ではない。

加法定理を使うところが解答のポイント。しかし、初見で加法定理を思い付くかどうか？

tan 1° なんてあまり考えたことなどない人のほうが多いだろう。
文章こそ短いが、ひらめかないと「部分点」もとれなさそうだ。

「tan 1°は無理数だ！」とだけ書いても、おそらく零点だろう。

東京大学

Q
円周率が3.05より大きいことを示せ。

(2003年)

いわゆる「ゆとり教育」の中で、「円周率は３」と教えるとか教えないとか、話題になっていた頃の問題。

みな円周率が「3.14……」なのは知っている。
円周率が「３」より大きいことを証明するなら、円の中に、半径と同じ一辺の長さを持つ六角形を書けば、それで終了なのだが、それよりは、「もうちょっと大きい」ことを言わねばならない。

多少計算は面倒だが、六角形より角の多い多角形を考えればよい、という方針は立てやすい。また、円周率ってなんぞや？、ということは考えたことがある人も多いだろう。

tan1°とπ。
京大のほうが難しそう😀。

結論

どっちも難しいが、京大のほうが難しい😀。
詳しい証明はたくさん書いているサイトがあるので、そちらを参照してください。

さようなら👋✨。

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