数学の試験では「正確な解答」が要求される。時間の制約もある。だから、短時間で正解にたどりつくには、公式や問題のパターンを覚えておかないと、高得点は望めない。

しかし、公式を覚えても、そのうち忘れることもあるし、一瞬高得点がとれても、「試験のためだけの数学」では虚しい。もちろん、「正確さ」がたいせつなのはわかるが、「イメージ」をつかむほうがもっとたいせつなのではないか？

今回の記事では「正確さ」よりも、微分の「イメージ」をつかむことに着目したい。

微分のイメージとは？

横軸に「時間」、縦軸に「距離」をとる。車が発進してから、時間とともに距離がどう変化したかを表したら次のようになった。

A地点からB地点に行くとき、平均の速さはどうなるだろう。
(*下図は拡大したもの)

速さ＝距離➗時間

だから

80km➗2時間＝40km/h
時速40kmとなります。

いま、AからBまで２時間かかりました。

「微分」とは「もっともっと短い時間」では、距離がどう変化するかを考えるための「顕微鏡🔬」のようなものです。

いきなり「無限に小さい時間」を考えるよりも、今回の記事では「１時間」単位でグラフを分割してみましょう。

さきほども書きましたが

速さ＝距離➗時間なので、

１時間単位で分割すれば

速さ＝距離➗１だから、

速さ＝距離となります。

つまり、を右に「１」移動したとき、上にどれだけ移動したかが、そのまま "おおざっぱな "「瞬間の速さ」(「微分係数」)になります。

厳密さはありませんが、微分のイメージは次の図のような感じ。

各区間の左端から右端へ移動するとき、上がるときは、横軸上に「落とす」。
各区間の左端から右端に移動するとき、
下がるときは、横軸の下にくっつけるように落とす。
そうすると、大雑把ながらも「微分」した関数のグラフがかけます。

同じことを最も簡単な関数のひとつ
y=x  で試してみると次のような感じ。

もうひとつ同じことを二次関数で試してみるとこんな感じになります。

青で囲まれた□をx軸にストンと落とすと
こんな感じ。

厳密に微分するとこんな感じ。

「微分」は日々の生活で、無意識に使っているものです。

信号も、横断歩道もない道路を横切るとき、どのくらい車が遠くにいれば渡れるのか。これは「微分」の考え方を使って大丈夫なのかどうか判断しているのと同じことです。
なんとなくでも「イメージ」がつかめれば、少し数学を身近に思えるようになるかもしれません。