このシリーズは、河合塾の「やさしい理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「やさしい理系数学（改訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。
　なお、執筆時点の最新版である三訂版ではないので、注意してください。

例題１４

1⃣（１）

• $${\log x^y=y\log x、\log y^x=x\log y}$$。

• $${ \displaystyle \log_x y= \frac{\log y}{\log x}、\log_y x= \frac{\log x}{\log y} }$$。

• $${ \displaystyle \frac{\log y}{\log x}+ \frac{\log x}{\log y}=\frac{5}{2}⇔\frac{\log y・\log y＋\log x・\log x}{\log x・\log y}=\frac{5}{2}⇔2(\log y)^2 +2(\log x)^2=5\log x \log y}$$。

• $${ 2(\log y)^2 -5\log x \log y+2(\log x)^2=0⇔\log y(2\log y-4\log x)+\log x(2\log x-\log y)=0 ⇔ 2\log y(\log y-2\log x)-\log x(\log y-2\log x)=0⇔(2\log y -\log x)(\log y-2\log x)=0}$$。

• $${y=2x}$$を$${\log y=2 \log x}$$に代入すると、 $${\log 2x=2 \log x⇔\log 2x = \log x^2⇔2x=x^2⇔2=x}$$。

1⃣（２）

• $${2^{x+1}+3^y-5^{z}=2・2^x+3^y-5・5^z}$$。

• $${2^{x+3}+3^y+5^{z+1}=2^3・2^x+3^y+5・5^z}$$。

2⃣（２）_１

• $${(1-\sin x)^2=1-2\sin x+\sin^2 x、(1-\cos x)^2=1-2\cos x+\cos^2 x}$$。

• $${\sin x + \cos x =1}$$かつ$${\sin^2 x + \cos^2 x =1}$$であるから、$${\displaystyle \sin x =\frac{1}{2}  \cos x=-\frac{1}{2}}$$ になることはないので、$${(\sin x ,\cos x)=(1,0)または(0,1)}$$。

• $${(\sin x ,\cos x)=(1,0)または(0,1)}$$だから、$${\cos x -\sin x}$$は $${1 -0}$$または$${0-1}$$。

2⃣（２）_２

• $${(\sin x + \sin y )^2+(\cos x + \cos y )^2=\sin^2x +2\sin x ・\sin y +\sin^2y+\cos^2x +2\cos x ・\cos y +\cos^2y=\sin^2x+\cos^2x+\sin^2y+\cos^2y+2(\sin x ・\sin y+\cos x ・\cos y)=2⇔2(\sin x ・\sin y+\cos x ・\cos y)=0}$$。

• $${2(\sin x ・\sin y+\cos x ・\cos y)=0⇔\sin x ・\sin y+\cos x ・\cos y=0⇔\cos(x-y)=0}$$。

2⃣（３）

• $${\displaystyle \frac{\tan x}{\tan y}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin y}{\cos y}}=\frac{\sin x}{\cos x}・\frac{\cos y}{\sin y}}$$。

• $${\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y} =\sqrt3⇔\sin y = \frac{\sin x }{\sqrt 3} }$$。

• $${\displaystyle \frac{\cos y}{\cos x} =\sqrt3⇔\cos y = \sqrt 3 \cos x }$$。

• $${\displaystyle \sin^2 y+\cos^2y=\left( \frac{\sin x }{\sqrt 3} \right)^2+\left( \sqrt 3 \cos x \right)^2 }$$。

• $${\cos^2x=(1-\sin^2x)}$$だから、$${\displaystyle \frac{\sin^2x}{3}+3\cos^2x= \frac{\sin^2x}{3}+3(1-\sin^2x)=\frac{1}{3}\{\sin^2x+9(1-\sin^2x) \}=\frac{1}{3}(9-8\sin^2x)=1⇔9-8(\sin^2x)=3⇔6=8(\sin^2x)⇔\frac{6}{8}=\sin^2x⇔\frac{3}{4}=\sin^2x⇔±\sqrt{\frac{3}{4}}=\sin x⇔±{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin x }$$。

• $${\displaystyle \sin y = \frac{\sin x }{\sqrt 3} }$$に$${ \displaystyle \sin x =±{\frac{\sqrt{3}}{2}} }$$を代入して、$${\displaystyle \sin y = \frac{1}{\sqrt 3}・\left(±{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=±\frac{1}{2} }$$。

• $${\displaystyle \sin x =±{\frac{\sqrt{3}}{2}} }$$だから、$${\displaystyle x=±\frac{π}{3}}$$。

例題１５

【解答１】

• $${1+\cosα+\cosβ=0⇔\cosβ=(-1-\cosα)、\sin α+\sinβ=0⇔\sinβ=-\sin α}$$だから、$${\cos^2β+\sin^2β=1}$$にこれを代入して、$${(-1-\cosα)^2+(-\sinα)^2=1}$$。

• $${\displaystyle (-1-\cosα)^2+(-\sinα)^2=1⇔1+2\cosα+\cos^2α+\sin^2α=1⇔2\cosα=-1⇔\cosα=-\frac{1}{2}}$$。

• $${\displaystyle \cosα=-\frac{1}{2}}$$だから$${\displaystyle α=±\frac{2}{3}π}$$なので、$${\displaystyle \sinα=±\frac{\sqrt{3}}{2}}$$。

【解答３】

• $${\rm A,B,C}$$の各点は半径$${1}$$の単位円上で、$${x}$$軸からの角度が、$${x,(x+α),(x+β)}$$の各点。

• $${\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}=\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos (x+α) \\ \sin (x+α) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos (x+β) \\ \sin (x+β) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos x+ \cos (x+α) + \cos (x+β) \\ \sin x+\sin (x+α)+\sin (x+β) \end{pmatrix}}$$

問３５

【解答１】

• $${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{\log_{30}a}{w}+\frac{\log_{30}b}{w}+\frac{\log_{30}a}{w}=\frac{1}{w}(\log_{30}a+\log_{30}b+\log_{30}c)}$$

• $${abc=30}$$で$${a,b,c}$$は自然数だから、$${30=2・3・5}$$。

【解答２】

• $${a^x=30^w⇔a=30^{\frac{w}{x}}}$$。

問３６

【解答１】

• $${x< y^2 ⇔ \log_x x < \log_x y^2⇔1< 2\log_x y }$$。

• $${y^2< x^2⇔\log_x y^2< \log_x x^2 ⇔2\log_x y < 2 \log_x x⇔2\log_x y<2 }$$。

• $${\displaystyle  \log_y y\sqrt{x}= \log_y y+\log_y \sqrt{x}=1+\log_y x^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}\log_y x=1+\frac{1}{2}\frac{1}{\log_xy} }$$。

• $${\displaystyle \frac{1}{2}< \log_xy<1 ⇔ 2>\frac{1}{\log_xy}>1 ⇔1 > \frac{1}{2\log_xy}>\frac{1}{2}⇔2>1+\frac{1}{2\log_xy} > \frac{3}{2}}$$。

• $${\displaystyle  \log_y y\sqrt{x}=1+\frac{1}{2\log_xy} }$$だから、$${\displaystyle 2>\log_y y\sqrt{x} > \frac{3}{2}}$$。

• $${\displaystyle \log_x\frac{x^2}{y}=\log_x x^2-\log_x y=2-\log_x y}$$。

• $${\displaystyle \frac{1}{2}< \log_xy<1 ⇔ -\frac{1}{2}>- \log_xy > -1⇔2-\frac{1}{2}>2- \log_xy > 2-1⇔\frac{3}{2}>2- \log_xy > 1}$$。

【解答２】

• $${ x<y^2<x^2 }$$を$${y}$$で割ると、$${\displaystyle \frac{x}{y}< y <\frac{x^2}{y} }$$

• $${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\log x}{\log y}}$$と$${\displaystyle \frac{\log y}{\log x}}$$で相加相乗平均の定理を用いる。

• $${\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\frac{\log x}{\log y}+\frac{\log y}{\log x}\right)≧\sqrt{\frac{1}{2}\frac{\log x}{\log y}\frac{\log y}{\log x}}⇔\frac{1}{2}\frac{\log x}{\log y}+\frac{\log y}{\log x}≧2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} }$$。

問３７

（１）

• $${\displaystyle f(3)=\log_{\sqrt{2}}(3-1)=\log_{\sqrt{2}}2=\log_{\sqrt{2}}\left(\sqrt2\right)^2=2\log_{\sqrt{2}}\sqrt2}$$。

（３）

• $${\displaystyle y=\log_{\sqrt{2}}(x-1)⇔\left(\sqrt2\right)^y=x-1⇔x=\left(\sqrt2\right)^y＋１}$$。

• $${g(x)=f^{-1}(x-1)-1=\left(\sqrt2\right)^{x-1}}$$。

• $${g(3)=\left(\sqrt2\right)^{3-1}=2、g(5)=\left(\sqrt2\right)^{5-1}=4}$$

問３８

（１）

• $${\displaystyle \log\frac{x}{3}=\log x-\log3、\log\frac{3}{x}=\log 3-\log x、\log\frac{x}{9}=\log x-\log9=\log x-2\log3}$$。

• $${\displaystyle (1-2\log3)^2-4\{(\log3)^2-2\log3\}=1-4\log3+4(\log3)^2-4(\log3)^2+8\log3=1+4\log3}$$。

• $${f(X) =X^2+(1-2\log3)X+(\log3)^2-2\log3}$$。

• $${3^2<10⇔3<\sqrt{10}⇔\log3<\log \sqrt{10}}$$。

• $${\displaystyle \log_{10}\sqrt{10}=\log_{10}10^\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}$$。

• $${\displaystyle \log3<\frac{1}{2}⇔|\log3-2|>\left|\frac{1}{2}-2\right|⇔(\log3-2)^2>\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}$$だから$${\displaystyle (\log3-2)^2-2>\left(\frac{1}{2}-2\right)^2-2}$$。

問３９

• $${\displaystyle \sin4A+\sin4B=2sin\frac{4A+4B}{2}・\cos\frac{4A-4B}{2}}$$。

• $${\displaystyle \sin4C=\sin(2C+2C)=2\sin2C・\cos2C}$$。

• 三角形だから$${A+B+C=π⇔C=π-(A+B)}$$。

• $${\displaystyle \cos2(A-B)=\cos(2A-2B)=\cos2A・\cos2B+\sin2A・\sin2B}$$。

• $${\displaystyle \cos2(A+B)=\cos(2A+2B)=\cos(2A-2B)=\cos2A・\cos2B-\sin2A・\sin2B}$$。

• $${\cos2(A-B)-\cos2(A+B)=\cos2A・\cos2B+\sin2A・\sin2B-(\cos2A・\cos2B-\sin2A・\sin2B)=2\sin2A・\sin2B}$$。

• $${\sin2C=\sin(C+C) =\sin C・ \cos C+\cos C・\sin C=2 \sin C・ \cos C}$$。

• $${A,B,C}$$は三角形の内角であるから、いずれも$${π}$$未満と言えるので、各角の正弦は$${0}$$にならない。

問４０

【解答１】

• $${∠\rm PAB=180°-120°-θ=60°-θ}$$。

• $${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin120°}=\frac{a}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2a}{\sqrt3}}$$。

• $${\displaystyle \sin(60°-θ)=\sin60°\cos(-θ)＋\cos(60°)\sin(-θ)=\frac{\sqrt3}{2}\cosθ-\frac{1}{2}\sinθ}$$。

【解答２】

• 余弦定理から$${\displaystyle \frac{a}{\sin120°}=2r ⇔ r=\frac{a}{2\sin120°}=\frac{a}{\sqrt3}}$$。

• $${\rm OA=OP=r}$$だから$${△\rm POA}$$は$${2}$$等辺三角形なので、$${∠\rm POA}$$の$${2}$$等分線は、$${\rm AP}$$の垂直二等分線となるから、$${\mathrm{ AP}=2r\sinθ}$$。同様に、$${∠\rm POB}$$の$${2}$$等分線は$${\rm BP}$$の垂直二等分線となり、$${∠\rm POB=(120°-θ)}$$だから、$${\mathrm{ BP}=2r\sin(60°-θ)}$$。

• $${\displaystyle \tanβ=\frac{2}{\sqrt3}}$$から、$${\displaystyle \cosβ=\frac{\sqrt3}{\sqrt7}}$$。

問４１

【解答１】

• $${\displaystyle ay+x=a⇔x+a(y-1)=0⇔y=-\frac{1}{a}x+1}$$。

• $${x+a(y-1)=0}$$は$${x=0,y=1}$$で$${a}$$の値に拘わらず成立するから、直線$${l:x+a(y-1)=0}$$は常に$${(0,1)}$$を通る。

• $${θ}$$の範囲が$${\displaystyle 0<θ<\frac{π}{2}}$$だから、円$${x^2+y^2=1}$$の第一象限のうち、$${(0,1)}$$と$${(1,0)}$$を含まない範囲。

• 直線$${l:x+a(y-1)=0}$$が$${(1,0)}$$を通るとき、$${1+a(0-1)=0⇔1-a=0⇔a=1}$$。

• $${\displaystyle l:y=-\frac{1}{a}x+1}$$の傾きが$${0}$$のとき$${a}$$は$${∞}$$。

【解答２】

• $${\displaystyle \sqrt{a^2+1}\sin(θ+α)< a⇔\sin(θ+α)<\frac{a}{\sqrt{a^2+1}} }$$となり、$${θ}$$の範囲が$${\displaystyle 0<θ<2π}$$であれば、$${\sin(θ+α)}$$の最大値は$${1}$$であると言えるが、$${θ}$$の範囲が$${\displaystyle 0<θ<\frac{π}{2}}$$なので、この範囲で$${\sin(θ+α)}$$の最大値が$${1}$$になることを言わなければならない。

• $${a>1}$$ のとき、$${\displaystyle \cosα=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}}$$が正で、$${\displaystyle \sinα=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}}$$なので、$${\cosα>\sinα}$$だから、$${α}$$の範囲が$${\displaystyle 0<α<\frac{π}{4}}$$と言える。

• $${0≦a≦1}$$ のとき、$${\displaystyle \cosα=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}}$$が正で、$${\cosα<\sinα}$$だから、$${α}$$の範囲が$${\displaystyle 0<α<\frac{π}{4}}$$と言える。このとき$${\displaystyle \sin(θ＋α)>\sin\left( \frac{π}{2}+α\right)}$$であるが、$${\displaystyle \sin\left( \frac{π}{2}+α\right)=\cos α}$$となるので、$${\displaystyle \cos α = \frac{α}{\sqrt{a^2+1}}}$$だから、$${\displaystyle \frac{α}{\sqrt{a^2+1}}>\frac{α}{\sqrt{a^2+1}} }$$となってしまう。

【解答３】

• $${\displaystyle 0<θ<\frac{π}{2}}$$において、$${\cosθ>0}$$で$${\sinθ<1}$$であるから、$${\displaystyle \frac{\cosθ}{1-\sinθ}}$$は、正。

• $${\displaystyle \frac{\sinθ-1}{\cosθ-0}}$$は、$${(0,1)}$$と$${(\cosθ,\sinθ)}$$を結ぶ直線の傾きになっている。

• $$${\displaystyle 0<θ<\frac{π}{2}}$$において、$${\cosθ}$$は単調減少で、$${\sinθ}$$が単調増加であるから$${\sinθ-1}$$も単調増加なので、$${\displaystyle \frac{\sinθ-1}{\cosθ}}$$は、単調増加となる。

• $${f(θ)}$$が単調増加なので$${f(θ)}$$の最小値は$${f(0)}$$。

【解答４】

• $${\displaystyle f'(θ)=\frac{[\cosθ]'(1-\sinθ)-\cosθ[1-\sinθ]'}{(1-\sinθ)^2}=\frac{-\sinθ+\sin^2θ+\cos^2θ}{(1-\sinθ)^2}=\frac{1-\sinθ}{(1-\sinθ)^2}}$$。

• $${\displaystyle \lim_{θ→+0}\sinθ=0 }$$だから、$${\displaystyle \lim_{θ→+0}\frac{1}{1-\sinθ}=1 }$$。

• $${\displaystyle \lim_{θ→\frac{π}{2}}\sinθ=1 }$$だから、$${\displaystyle \lim_{θ→\frac{π}{2}}\frac{1}{1-\sinθ}=∞ }$$。