このシリーズは、河合塾の「やさしい理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「やさしい理系数学（改訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。
　なお、執筆時点の最新版である三訂版ではないので、注意してください。

例題１６

• $${g(x)=x^3-x}$$の接線の傾きは$${g'(x)=3x^2-1}$$だから、$${x=t}$$における接線の傾きは$${g'(t)=3t^2-1}$$となるから、傾き$${3t^2-1}$$で$${(t,t^3-t)}$$を通る直線の方程式は$${y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t}$$

• 任意の点を通る接線とその接線と曲線の接点の数は一致する。

• $${3}$$次関数が異符号の極値を持つときは、必ずその関数は$${t}$$軸を3回跨いでいるので、$${f(t)=0}$$となる$${t}$$が必ず3つ存在する。

• $${f(t)=2t^3-3at^2+a+b}$$より$${f’(t)=6t^2-6at=6t(t-a)}$$となるから、$${t=0,a}$$のときに$${f(t)}$$が極値を持つ。

• 極値$${f(0)}$$と$${f(a)}$$が異符号であれば、その積は負である。

• 点$${(a,b)}$$の存在範囲が$${(b+a)(b+a-a^3)<0}$$であるから、$${y+x<0 かつy+x-x^3>0}$$と$${y+x>0 かつy+x-x^3<0}$$の範囲である。

• $${y+x=0⇔y=-x、y+x-x^3=0⇔y=x^3-x}$$。

例題１７

• $${l_1}$$の傾きは$${\rm P}$$における$${y=x^2}$$の接線の傾きが$${2p}$$だから、$${\displaystyle -\frac{1}{2p}}$$。

• $${l_1}$$と$${l_2}$$も直角に交わるから、その傾きの積は$${-1}$$。

• $${\displaystyle \left( \frac{1}{2q}-\frac{1}{2p} \right)x+p^2-q^2=0⇔\left( \frac{2p-2q}{4qp} \right)x+(p+q)(p-q)=0⇔(p-q)\frac{1}{2pq}x+(p+q)(p-q)=0⇔p+q=-\frac{1}{2pq}x }$$。

• $${\displaystyle 2y=8x^2+\frac{3}{2} ⇔ \displaystyle y=4x^2+\frac{3}{4} }$$。

• $${\displaystyle pq=\frac{1}{4}、p+q=2x}$$だから、解と係数の関係から、$${p}$$と$${q}$$は$${\displaystyle g(t)=t^2＋2xt+\frac{1}{4}=0}$$の解であるから、$${p、q}$$が実数となる$${x}$$の範囲を確認すると、$${g(t)}$$の判別式から$${x}$$に関わらず$${p、q}$$が実数となることが解る。

例題１８

（１）

• $${a_0+a_1\{(x-α)+α\}+a_2\{(x-α)+α\}^2+…=a_0+αa_1+a_1(x-α)+a_2(x-α)^2+2α(x-α)+α^2…=a_0+αa_1+(a_1+2α)(x-α)+a_2(x-α)^2+…}$$となるから、$${(x-α)}$$の$${n}$$次の項を$${b_n}$$とすると、$${f(x)=b_0+b_1(x-α)+b_2(x-α)^2+…+b_n(x-α)^n}$$と言える。

• $${f'(α)=b_1+2b_2(x-α)+3b_3(x-α)^2(……)|_{x=α} =b_1}$$ 。

• $${f^{2}(α)=2b_2+6b_3(x-α)(……)|_{x=α} =2・１・b_2 }$$ 。

• $${f^{3}(α)=6b_3=3・2・１・b_3 }$$ 。

• $${f^{k}(α)=k・(k-1)・…・3・2・１・b_k }$$で、$${k・(k-1)・…・3・2・１=k!}$$だから、$${\displaystyle b_k=\frac{f^{k}(α)}{k!}}$$ 。

（２）

• $${f(x)}$$を$${(x-α)^l}$$で割ったときの商を$${Q(x)}$$とし余り$${r}$$とすると、$${f(x)=(x-α)^lQ(x)+r}$$だから、$${f(α)=(α-α)^lQ(α)+r=r }$$となり、$${r=0}$$だから$${f(α)=0}$$。

• $${\displaystyle f(x)=f(α)+\frac{f'(α)}{1!}(x-α)+\frac{f''(α)}{2!}(x-α)^2+…+\frac{f^{l-1}(α)}{(l-1)!}(x-α)^{l-1}+\frac{f^{l}(α)}{l!}(x-α)^{l}+\frac{f^{l+1}(α)}{(l+1)!}(x-α)^{l+1}+…+\frac{f^{n}(α)}{(n)!}(x-α)^{n}=f(α)+\frac{f'(α)}{1!}(x-α)+\frac{f''(α)}{2!}(x-α)^2+…+\frac{f^{l-1}(α)}{(l-1)!}(x-α)^{l-1}+(x-α)^l\left\{\frac{f^{l}(α)}{l!}+\frac{f^{l+1}(α)}{(l+1)!}(x-α)+…+\frac{f^{n}(α)}{(n)!}(x-α)^{n-l} \right\}}$$なので、$${\displaystyle f(α)+\frac{f'(α)}{1!}(x-α)+\frac{f''(α)}{2!}(x-α)^2+…+\frac{f^{l-1}(α)}{(l-1)!}(x-α)^{l-1}=0}$$ならば、$${\displaystyle f(x)= (x-α)^l\left\{\frac{f^{l}(α)}{l!}+\frac{f^{l+1}(α)}{(l+1)!}(x-α)+…+\frac{f^{n}(α)}{(n)!}(x-α)^{n-l} \right\}}$$となるから、$${ f(x)}$$は、$${(x-α)^{l}}$$で割り切れる。

• $${\displaystyle f(α)+\frac{f'(α)}{1!}(x-α)+\frac{f''(α)}{2!}(x-α)^2+…+\frac{f^{l-1}(α)}{(l-1)!}(x-α)^{l-1}=0}$$が$${x}$$の値に拘わらず常に成り立つときは、$${f(α)、f'(α)、…f^n(α)}$$が$${0}$$のとき。

（３）（ⅰ）

• $${3}$$次関数は$${f''(x)=0}$$のとき$${f(x)}$$が極値を持つので、$${f''(α)=0}$$となる$${α}$$が$${f(x)}$$に極値を与えて、その極値は$${f(α)}$$である。

• $${f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}$$だから、$${f''(x)=3・2・ax+2b}$$。

• $${f''(α)=3・2・aα+2b}$$となるから、$${\displaystyle α=-\frac{b}{3a}}$$とすると、$${f''(α)=0}$$になる。

• $${\displaystyle f(x)=f(α)+\frac{f'(α)}{1!}(x-α)+\frac{f''(α)}{2!}(x-α)^2+\frac{f'''(α)}{3!}(x-α)^3}$$で、$${\displaystyle f’’(α)=0、α=-\frac{b}{3a}}$$を代入して、$${\displaystyle f(x)=f(α)+f'(α)(x-α)+\frac{f'''(α)}{6}(x-α)^3=f(α)+(3aα^2+2bα+c)(x-α)+a(x-α)^3=a(x-α)^3+\left(3a・\frac{b^2}{9a^2}-2b\frac{b}{3a}+c \right)(x-α)+f(α)=a(x-α)^3+\left(\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c \right)(x-α)+f(α)=a(x-α)^3+\left(c-\frac{b^2}{3a} \right)(x-α)+f(α) }$$。

（３）（ⅱ）

• $${4}$$次関数は$${f(x)}$$が$${x=α}$$で極値$${f(α)}$$を持つとき、$${f’(α)=0かつf’’’(α)=0}$$である。

• $${f''(x)=0}$$のとき$${f(x)}$$が極値を持つので、$${f’’(α)=0}$$となる$${α}$$が$${f(x)}$$に極値を与えて、その極値は$${f(α)}$$である。

• $${f’(α)=0}$$より、$${\displaystyle f’(α)=4aα^3+3bα^2+2cα+d=0}$$で $${\displaystyle α=-\frac{b}{4a}}$$を代入して$${\displaystyle 4a \left(-\frac{b}{4a} \right)^3+3b\left(-\frac{b}{4a} \right)^2+2c\left(-\frac{b}{4a} \right)+d=0⇔\frac{-b^3}{(4a)^2} +\frac{3b^3}{(4a)^2} -\frac{2cb}{4a} +d=0 ⇔-b^3+3b^3-8abc+16a^2d=0⇔b^3-4abc+8a^2d=0}$$。

• $${f''(α)=12aα^2+6bα+2c}$$で$${\displaystyle α=-\frac{b}{4a}}$$を代入して、$${\displaystyle f''(α)=12a \left(-\frac{b}{4a} \right)^2+6b\left(-\frac{b}{4a} \right)+2c=\frac{12ab^2}{16a^2} -\frac{6b^2}{4a}+2c=\frac{3b^2}{4a} -\frac{6b^2}{4a} +2c=2c-\frac{3b^2}{4a} }$$。

問４２

【解答１】（１）

• $${\left(α,f(α)\right)}$$が直線$${y=-2x+7}$$上にあるから、$${f(α)=-2α+7}$$。

• $${\left(β,f(α)\right)}$$が直線$${y=2x-1}$$上にあるから、$${f(α)=2β-1}$$。

• $${-2α+7=2β-1⇔7+1=2β+2α⇔4=α+β }$$。

【解答１】（２）

• $${x=α、x=β}$$で$${f(x)}$$が極値をとるから、$${α、β}$$は$${f'(x)=0}$$の解。

• $${f'(x)=3x^2+2ax+b=0}$$の解が$${α、β}$$であるから、解と係数の関係から、$${\displaystyle α+β=-\frac{2a}{3}、αβ=\frac{b}{3}}$$。

• $${\displaystyle α+β=-\frac{2a}{3}}$$で$${α+β=4 }$$だから、$${a=-6}$$。

• $${f(x)=x^3+ax^2+bx+c}$$だから、$${f(α)=α^3+aα^2+bα+c}$$なので、$${f(α)-f(β)=α^3+aα^2+bα+c-(β^3+aβ^2+bβ+c)=α^3-β^3+a(α^2-β^2)+b(α-β)=(α-β)(α^2+αβ+β^2)+a(α-β)(α+β)+b(α-β)=(α-β)\{(α^2+αβ+β^2)+a(α+β)+b\} }$$。

• $${f(α)-f(β)=2(β-α)}$$だから、$${(α-β)\{(α^2+αβ+β^2)+a(α+β)+b\}=2(β-α) ⇔ (α-β)\{(α^2+αβ+β^2)+a(α+β)+b\}=-2(α-β)⇔(α^2+αβ+β^2)+a(α+β)+b=-2}$$。

• $${(α+β)^2=α^2+2αβ+β^2}$$だから、$${(α^2+αβ+β^2)=(α+β)^2-αβ}$$。

• $${(α^2+αβ+β^2)+a(α+β)+b=-2⇔(α+β)^2-αβ+a(α+β)+b=-2}$$となるから、$${α+β =4、a=-6、b=3αβ}$$を代入して、$${(α+β)^2-αβ+a(α+β)+b=-2⇔4^2-αβ-6・4+3αβ=-2⇔2αβ=-16+24-2⇔αβ=3}$$。

• $${α、β}$$が整数であるという条件は与えられていないが、$${α=1、β=3}$$として条件に合致するので差し支えない。

• $${f(α)=-2α+7}$$だから、$${f(1)=-2+7=1+a+b+c}$$で、$${a=-6、b=9}$$を代入して、$${c=1}$$

【解答２】（１）

• $${x=α、x=β}$$で$${f(x)}$$が極値をとるから、$${f'(α)=0、f'(β)=0}$$。

• $${f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)}$$で$${R(x)}$$を求める。$${\displaystyle f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)⇔x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)Q(x)+R(x)=(3x^2+2ax+b)\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a \right)+R(x)=x^3+\frac{2a}{3}x^2+\frac{1}{3}bx+\frac{1}{3}ax^2+\frac{2}{9}a^2x+\frac{1}{9}ab+R(x)⇔bx+c=\frac{1}{3}bx+\frac{2}{9}a^2x+\frac{1}{9}ab+R(x)⇔R(x)=bx+c-\frac{1}{3}bx-\frac{2}{9}a^2x-\frac{1}{9}ab=\left(\frac{2}{3}b-\frac{2}{9}a^2 \right)x+c-\frac{1}{9}ab=\frac{2(3b-a^2)}{9}x+c-\frac{1}{9}ab}$$。

• $${\displaystyle \frac{2(3b-a^2)}{9}=-2⇔3b-a^2=-9}$$。

• $${(α,f(a))、(β,f(β))、(β,f(α))、(α,f(β))}$$の4点を結ぶと長方形ができ、$${l,ｍ}$$はその対角線であるから、交点は中点である。

【解答２】（２）

• $${f'(x)=3x^2+2ax+b=0}$$の解が$${α、β}$$であるから、解と係数の関係から、$${\displaystyle α+β=-\frac{2a}{3}、αβ=\frac{b}{3}}$$。

• $${\displaystyle α+β=-\frac{2a}{3}}$$で$${α+β=4 }$$だから、$${a=-6}$$。

• $${3b-a^2=-9}$$に$${a=-6}$$を代入して、$${3b-36=-9⇔3b=-9+36⇔b=9}$$。

• $${\displaystyle c-\frac{ab}{9}=7 }$$に$${a=-6、b=9}$$を代入して$${\displaystyle c+6=7 ⇔c=1}$$。

問４３

【解答１】

• $${C_1}$$$${C_2}$$が点$${\rm P}$$で共通接線をもつときは、接点の座標と$${\rm P}$$での接線の傾きが一致するから、$${f(-1)=g(-1)、f’(-1)=g’(-1)}$$。

• $${f(-1)=-1-(-1)^3=-1+1=0、g(-1)=(-1)^3+p(-1)^2+q(-1)+r=-1+p-q+r}$$。

• $${f'(x)=1-3x^2、f'(-1)=1-3(-1)^2=-2、g'(x)=3x^2+2px+q、g'(-1)=3(-1)^2+2p(-1)+q=3-2p+q}$$。

• $${C_1}$$の接線は、その傾きが$${-2}$$で点$${\rm P(-1,0)}$$を通るから、その方程式は$${y=-2x-2}$$。

• $${x-x^3=-2x-2⇔x(1-x^2)=-2(x+1)⇔x(1-x)(1+x)=-2(x+1)⇔x(1-x)(1+x)+2(x+1)=0⇔(x+1)\{x(1-x)+2\}=0⇔(x+1)(x-x^2+2)=0⇔(x+1)(x^2-x-2)=0⇔(x+1)(x^2-x-2)=0⇔(x+1)(x+1)(x-2)=0 }$$だから、$${\rm Q}$$の$${x}$$座標は$${2}$$、$${y}$$座標は$${f(2)=-6}$$。

• $${4(4+r)+2(3+2r)+r=-14⇔16+4r+6+4r+r=-14⇔9r=-14-16-6=-36}$$。

【解答２】

• $${y=g(x)}$$の$${x}$$軸の値が$${x}$$であるときの$${y}$$座標の値は$${g(x)}$$。

• $${C_2}$$も$${l:y=-2(x+1)}$$に接するから、この接点における$${g(x)}$$と$${l}$$の$${y}$$座標の値は一致するので、$${g(x)-\{-2(x+1) \}=0}$$となる。一方で、$${f(x)}$$と$${l}$$の座標は交点$${\rm Q}$$で一致するから同様に$${f(x)-\{-2(x+1) \}=0⇔(x+1)^2(x-2)}$$も同時に成り立つから、$${g(x)-\{-2(x+1) \}=(x+1)^2(x-2)}$$が言える。

• $${g(x)=(x+1)^2(x-2)+\{-2(x+1) \}=(x^2+2x+1)(x-2)-2x-2=x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2-2x-2=x^3-5x-4}$$。

問４４

【解答１】（１）

• 接線$${l}$$の方程式は、接線の傾きが$$${f'(a)=3a^2}$$で、$$${\mathrm{P}(a,a^3)}$$を通るから、$${y=3a^2(x-a)+a^3}$$。

• $${y=x^3}$$と$${y=3a^2(x-a)+a^3}$$の交点の$${x}$$座標は、$${x^3=3a^2(x-a)+a^3⇔x^3-3a^2(x-a)-a^3=0}$$の解。

• $${ x^3-3a^2(x-a)-a^3=x^3-3xa^2-2a^3=0}$$となるが、$${y=3a^2(x-a)+a^3}$$は$${x=a}$$のときに$${y=x^3}$$と接点を持つことが解っているから、$${x^3-3xa^2-2a^3=0}$$は$${x=a}$$で重解を持つと言えるので、$${x^3-3xa^2-2a^3=(x-a)^2Q(x)}$$に因数分解できると解る。

• $${x^3-3xa^2-2a^3=(x-a)^2Q(x)=(x^2-2ax+a^2)Q(x)}$$なので、$${Q(x)=(x-2a)}$$となるから、$${x^3-3xa^2-2a^3=(x-a)^2(x+2a)}$$。

• 直線$${l}$$と$${x}$$軸とのなす角を$${α}$$とすると、$$${\tanα}$$は$${l}$$の傾きだから$${3a^2}$$。同様にして、$${\tanβ=f'(-2a)=3・(-2a)^2=12a^2}$$

• $${α+(π-β)+θ=π⇔α-β+θ=0⇔θ=β-α}$$。

【解答１】（２）

• $${\tan}$$の性質として$${f(x)=\tan x}$$は$${\displaystyle 0< x<\frac{π}{2}}$$の範囲で単純増加関数。

• $${\displaystyle \frac{9a^2}{1+36a^4}⇔\frac{9}{\frac{1}{a^2}+36a^2}}$$。

• $${\frac{1}{a^2}+36a^2}$$で相加相乗平均の定理より$${\frac{1}{a^2}+36a^2≧2\sqrt{\frac{1}{a^2}・36a^2}}$$。

• $${\displaystyle \frac{1}{a^2}+36a^2≧2\sqrt{\frac{1}{a^2}・36a^2}⇔\frac{1}{{\frac{1}{a^2}+36a^2}}≦\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{a^2}・36a^2}} ⇔\frac{9}{{\frac{1}{a^2}+36a^2}}≦\frac{9}{2\sqrt{\frac{1}{a^2}・36a^2}}}$$。

• $${\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{a^2}・36a^2}=2・6=12}$$。

• $${\displaystyle\frac{9}{{\frac{1}{a^2}+36a^2}}≦\frac{9}{2\sqrt{\frac{1}{a^2}・36a^2}}⇔\frac{9}{{\frac{1}{a^2}+36a^2}}≦\frac{9}{12}}$$。

• 相加相乗平均の定理より等号成立は$${\frac{1}{a^2}=36a^2}$$だから、$${\displaystyle \frac{1}{a^2}=36a^2⇔1=36a^4⇔\frac{1}{36}=a^4⇔\frac{1}{\sqrt{6}}=a}$$。

【解答２】（１）

• 接線$${l}$$の方程式を$${y=mx+n}$$とすると、$${y=x^3}$$と$${y=mx+n}$$は、$${\mathrm{P}(a,a^3)}$$で接するので、$${x^3=mx+n⇔x^3-(mx+n)=0}$$は$${x=a}$$で重解となり、$${\mathrm{Q}(b,b^3)}$$で交差するので、$${x=b}$$で解をもつから、$${x^3-(mx+n)=(x-a)^2(x-b)}$$と言える。

• $${x^3-mx-n=(x^2-2ax+a^2)(x-b)=x^3-2ax^2+2ax-bx^2-2abx-ba^2=x^3-(2a+b)x^2+2a(1-b)x-ba^2}$$。

• $${b=-2a}$$であるから、$${\mathrm{Q}(-2a,-8a^3)}$$と解るので、このときの接線の傾きは$$${f'(-2a)=12a^2}$$。

• $${\overrightarrow{m}}$$は$${\overrightarrow{l}}$$を$${θ}$$回転させたものと平行である。

• $${\overrightarrow{l}=\left(1,3a^2\right)}$$の$${θ}$$回転は、$${ \begin{pmatrix}\cosθ & -\sinθ \\\sinθ &     \cosθ \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 3a^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cosθ-3a^2\sinθ \\ \sinθ+3a^2\cosθ \end{pmatrix} }$$。

• $${( \cosθ-3a^2\sinθ , \sinθ+3a^2\cosθ ) }$$と$${\overrightarrow{m}=\left(1,12a^2\right)}$$が平行のときは、$${ ( \cosθ-3a^2\sinθ , \sinθ+3a^2\cosθ )=k\left(1,12a^2\right) }$$なので、$${\cosθ-3a^2\sinθ :\sinθ+3a^2\cosθ=k:k(12a^2)⇔\cosθ-3a^2\sinθ :\sinθ+3a^2\cosθ=1:12a^2⇔\sinθ+3a^2\cosθ=12a^2(\cosθ-3a^2\sinθ)}$$。

【解答２】（２）

• $${\displaystyle 36kX^2-9X+k=0⇔X^2-\frac{1}{4k}X+\frac{1}{36}=0⇔\left(X-\frac{1}{8k}\right)^2-\frac{1}{64k^2}+\frac{1}{36}}$$となるから、軸は$${\displaystyle \frac{1}{8k}}$$。

• $${\displaystyle 9^2-4・36k^2≧0 ⇔ 9-4・4k^2≧0⇔9≧4・4k^2⇔\frac{9}{4・４}≧k^2⇔\frac{3}{4}≧k}$$。

問４５

（１）

• $${y=f(x)}$$とその接線$$${y=mx+n}$$が接する点では、$${f(x)=mx+n⇔f(x)-(mx+n)=0}$$が重解をもつ。

• $${f(x)-(mx+n)=0}$$が$${x=1}$$と$${x=-1}$$で重解を持つならば、$${f(x)-(mx+n)=0}$$は$${a(x-1)^2(x+1)^2=0}$$がと表せる。

（１）の別解

• $${\rm P}$$と$${\rm Q}$$における接線が一致するので、各々の点における接線の傾きが等しいとするから$${f'(1)=f'(-1)}$$と言える。

• $${F(1)=0、F'(1)=0}$$だから、$${F(x)}$$は$${x=1}$$で$${0}$$になり接線の傾きも$${0}$$になるから、$${x}$$軸に接し重解をもつ。

• $${F(x)}$$は$${x=1}$$で重解を持つから、$${F(x)=(x-1)^2Q(x)}$$と因数分解できる。

（２）

• $${f(x)}$$の$${2}$$解微分が$${0}$$になる点が変曲点である。

（３）

• $${\rm A}$$の$${x}$$座標の値は、$${\rm B}$$の$${x}$$座標の値より大きいから、$${x}$$の増加量は$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt3}-\frac{-1}{\sqrt3}}$$で、$${y}$$の増加量は$${\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)-f\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)}$$。

• $${\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)-f\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)=m\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)+n+a\left\{\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2-1 \right\}^2-\left[m\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)+n+a\left\{\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)^2-1 \right\}^2 \right]=m\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)+n+a\left\{\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2-1 \right\}^2-m\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)-n-a\left\{\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)^2-1 \right\}^2=m\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)-m\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)=m\left(\frac{2}{\sqrt3}\right) }$$。

• 直線$${\rm AB}$$の傾きが、想定した接線$${l:y=mx+n}$$の傾き$${m}$$に一致するから、接線$${l}$$すなわち直線$${\rm PQ}$$は平行である。

問４６

（１）

• $${f'(x)}$$は、初項$${1}$$、公比$${x}$$、項数$${n-1+1=n}$$の公比数列の和であるから$${\displaystyle \frac{1-x^n}{1-x}}$$。

• $${f(x)}$$が最高次の係数が正で偶数次の関数であれば、$${f(x)}$$は下に凸の関数であるから、極小値が正であれば、$${f(x)}$$が$${x}$$軸と交差することはないので、実数解を持たない。

• $${\displaystyle f'(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5…+x^{n-1}=(1+x)(1+x^2+x^4+…+x^{n-2})}$$。

• $${\displaystyle f'(x)=0}$$のとき$${x=-1}$$であるから、$$${f(-1)>0}$$なら$${f(x)}$$は実数解を持たない。

• $${\displaystyle n-2< n-1⇔ \frac{1}{n-2}>\frac{1}{n-1}⇔\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}>0 }$$。

（２）

• $${x}$$が負でも$${n}$$が奇数ならば、$${\displaystyle \frac{1-x^n}{1-x}}$$は正だから、$${n}$$が奇数ならば、$${f'(x)}$$は常に正で$${f(x)}$$は単調増加関数と言える。

• $${\displaystyle \frac{(-2)^{2k}}{2k}+\frac{(-2)^{2k+1}}{2k+1}=\frac{(-2)^{2k}}{2k}+\frac{(-2)(-2)^{2k}}{2k+1}=\frac{(2k+1)(-2)^{2k}+2k(-2)(-2)^{2k}}{2k(2k+1)}=\frac{(2k+1-4k)(-2)^{2k}}{2k(2k+1)}=\frac{(1-2k)4^{k}}{2k(2k+1)}}$$。

• $${k=1,2,3,…}$$だから、$${1-2k}$$は負なので、$${\displaystyle \sum_{k=1}^m \frac{(1-2k)4^{k}}{2k(2k+1)} }$$の各項が負だから、その合計も負。

• $${f(x)}$$が単調増加で$${f(-2)<0、f(-1)>0}$$だから、$${f(x)}$$は$${-2 < x < -1}$$の範囲で1か所だけ$${f(x)=0}$$になる。

問４７

（１）

• $${y=a}$$の直線と$${y=3x-x^3}$$との交点の数から、$${x^3-3x+a=0}$$の解の個数を考える。

• $${f'(1)=0,f(1)=2}$$だから、$${f(x)}$$は$${x=1}$$で極値$${2}$$を持つので、$${y=a}$$と$${f(x)}$$の交点は、$${0< a < 2}$$で$${3}$$つある。

• $${3x-x^3=0⇔3=x^2}$$の解は$${x=±\sqrt3}$$。

• $${α、β、γ}$$は$${y=a}$$と$${y=3x-x^3}$$の交点の$${x}$$座標の値。

• $${f(x)}$$の極値は$${2}$$だから、$${a=2}$$のときの$${f(x)}$$と$${y=a}$$との交点の$${x}$$座標は、 $${f(x)=2}$$の解だから$${3x-x^3=2⇔-x^3+3x-2=0}$$の解であるが、$${f(x)}$$と$${y=2}$$は$${x=1}$$で接するから、これは$${-x^3+3x-2=0}$$の重解となるので、$${-x^3+3x-2=0}$$は$${(x-1)^2}$$を因数に持つと解る。

（２）

• $${y=a}$$と$${f(x)}$$の交点の$${x}$$座標から$${α、β、γ}$$を求めたので、$${α、β、γ}$$と$${a}$$との大小関係を調べるためには$${y=x}$$と$${f(x)}$$の交点を求める。

• $${-2<α<-\sqrt3⇔2> -α > \sqrt3⇔2> |α| > \sqrt3}$$

• $${\sqrt2< a< 2}$$のときは、$${y=a}$$と$${f(x)}$$の交点の$${x}$$座標$${γ}$$は、$${1< γ < \sqrt2 }$$の範囲にある。

（３）

• $${α、β、γ}$$は$${x^3-3x+a=0}$$の解であるから$${x^3-3x+a=(x-α)(x-β)(x-γ)=0}$$と表せる。

• $${(x-α)(x-β)(x-γ)=(x-α)\{x^2-(β+γ)x+βγ\}=x^3-(β+γ)x^2+βγx-αx^2+α(β+γ)x-αβγ }$$だから$${x^2}$$の係数は$${α+β+γ}$$。