すべての$${n>m}$$において
自然数$${XY=(n+m)X}$$
                   $${=(6m\pm1)Y}$$
かつ
自然数$${XY=(n-m)X}$$
                   $${=(6m\pm1)Y}$$
$${(X}$$と$${Y}$$は公約数を持たない$${)}$$
を必要十分条件とすると
$${P=6n+1}$$と$${Q=6n-1}$$は双子素数である。
この必要十分条件によって無限に存在する。

すべての$${n>m}$$において
自然数$${XY=(n+m)X}$$
                   $${=(6m-1)Y}$$
かつ
自然数$${XY=(n-m)X}$$
                   $${=(6m+1)Y}$$
$${(X}$$と$${Y}$$は公約数を持たない$${)}$$
を必要十分条件とすると
$${P=6n+1}$$は奇素数である。

すべての$${n>m}$$において
自然数$${XY=(n+m)X}$$
                   $${=(6m+1)Y}$$
かつ
自然数$${XY=(n-m)X}$$
                   $${=(6m-1)Y}$$
$${(X}$$と$${Y}$$は公約数を持たない$${)}$$
を必要十分条件とすると
$${Q=6n-1}$$は奇素数である。

これは素数が合成数でないことを意味する。

この必要十分条件によって素数$${6n+1}$$と素数$${6n-1}$$は無限に存在する。
$${6n+1+6Z}$$が素数のとき、
$${6n-1+6Z}$$は素数あるいは合成数である。
ゆえに
双子素数$${6n\pm1}$$も無限に存在する。

積立型コンピューター素数生成公式   
「プログラミング」　$${?}$$

$${cf.}$$

合成数ならば
素因数が
半分より小さいから
$${n+m}$$以下で考える。

エラトステネスのふるいの亜種。