飯高 茂『環論,これはおもしろい ―素因数分解と循環小数への応用― (数学のかんどころ)』のレビュー

レビュー

6章までは素因数分解をテーマとした環の基本事項がまとめられており，ここまでは多くの代数学で晴れた通りだろう。一方で7章の循環少数，8章の幾何学についてはやや難度が高い。

もくじ

第1章　整数環
1.1　素因数分解
1.2　集合Jとイデアル
1.3　因数a, b, cの補題
1.4　素因数分解の一意性
1.5　素因数分解の応用
1.6　ピタゴラス数
1.7　2平方和の問題
1.8　第1章の問題

第2章　ガウス整数環
2.1　ガウス整数
2.2　ガウス整数の素数
2.3　約数，因数，倍数
2.4　単元
2.5　分解する素数
2.6　ガウス整数での素因数分解
2.7　ガウス整数の素数2　
2.8　第2章の問題

第3章　多項式環
3.1　有理係数多項式
3.2　多項式の和
3.3　多項式の積
3.4　多項式と関数
3.5　多項式の割り算
3.6　既約多項式への一意分解性
3.7　フェルマーの多項式版
3.8　第3章の問題

第4章　一般の環
4.1　環の公理
4.2　イデアル
4.3　イデアルによる剰余環
4.4　準同型
4.5　素イデアルと極大イデアル
4.6　整域
4.7　Rを係数環にもつ多項式環
4.8　整域の商体
4.9　約元，因子，倍元
4.10　第4章の問題

第5章　一意分解整域
5.1　既約元
5.2　素元
5.3　十六夜環
5.4　Z[√-2]の数
5.5　Z[√-3]の数
5.6　Z[ω]の数
5.7　UFD　
5.8　ガウスの補題
5.9　整な元
5.10　第5章の問題

第6章　イデアルの活用
6.1　環の直和
6.2　イデアルの共通部分
6.3　オイラー関数
6.4　小さな環
6.5　3つのイデアル
6.6　第6章の問題

第7章　循環小数
7.1　循環節の2分割和
7.2　証明
7.3　偶数位数の場合
7.4　位数が3の倍数の場合
7.5　分母が3pの場合
7.6　5分割和
7.7　2分割差
7.8　第7章の問題

第8章　環の幾何
8.1　ネーター環
8.2　ヒルベルトの基底定理
8.3　スペクトル
8.4　零点定理
8.5　スペクトルの位相
8.6　既約閉集合
8.7　第8章の問題

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