こんにちは。久しぶりにnoteを書いてみたいと思います。ここでこれを読んでくれている皆さんに質問です。実数の集合$${\mathbb{R}}$$ってなんでしょうか？　自然数や有理数はみんな直観的に理解できるけど、実数はなんかよくわからない感じがしませんか？　僕は高校生の頃、実数の大小関係の定義がなにか気になったけど、よくわからないままだった記憶があります。
今回は、有理数についての性質などは既知として、実数の集合とそこについている構造（順序とか四則演算）を構成していきたいと思います。

早速ですが、実数体というものは、「実数の連続性公理を満たす順序体」というもので定義されています。
ここで、
実数の連続性公理：穴がない、つながっている。みたいなイメージ
順序体：四則演算と、大小関係がかみ合っている構造
だとおもってくれればＯＫです。ちゃんと書いておくと、

順序体：体R（数の世界の四則演算みたいなことができて、数で言う０とか１に相当するものが入ってる）に対して、順序関係"≦"があって、元a, b, cに対して、$${\\ ①a \leq b \Rightarrow a +c \leq b + c  \\ ② a \geq 0_R, b \geq 0_R \Rightarrow a \times b \geq 0_R \\ }$$を満たすとき、体Rは順序体といえます。この時、実数の順序と四則演算の関係において成り立ちそうなことはだいたい成り立ちます。

実数の連続性公理：Ｒの任意の上に有界な非空部分集合（ある特定の元で上から抑えられる）が上限（その集合のどの元ｘについてもｘ≦ｓで、かつ「どんな小さな正の数dに対しても、s-d < y ≦ s　となるようなyが集合の中にある」を満たすようなｓ。　ざっくり言えばその集合の上側スレスレの数）をＲ内に持つとき、Ｒは実数の連続性公理を満たす。といいます。
今回は、この連続性公理と同値な条件として、次の２条件を使います。

$$
Rを順序体とする。\\
1. アルキメデスの原理：\mathbb{N}と同型になる部分集合\psi[\mathbb{N}]\subset R \\は上に有界でない。\\ i.e. {}^\forall M \in R ,{}^\exists N \in \mathbb{N}, M < \psi(N)\\
\\
2.完備性：コーシー列（後で定義する。nが大きくなると\\どんどん動きが止まっていくような点列（数列））\\は収束する。
(位相は順序体から定まる自然なやつをいれる）

$$

まとめると、実数体は、アルキメデスの原理と完備性をもつ順序体で、その集合の要素を実数と呼ぶ。ということになります。
…なんか気持ち悪いですよね。もっとちゃんとした定義にできないのか！って初見のときに思う人は多いと思います。いままで実数は特定の何かの集まりというイメージだったのに、〇〇という性質をもつものを◇◇と呼びます！といわれても、それが指し示す対象はたくさんありそうだし、もっと疑ってみると、その性質を満たすようなものはちゃんと存在するのか？とも思います。なのでここからは実際に実数体と呼べる存在を構成して、その構造は一意的であることを確かめていきます。（注意：一意性については、示すことはあくまで順序や演算の構造が一種類しかないことで、存在そのものの一致ではありません。構造は全く一緒で、集合の中身が少し違うようなものは人為的にいくらでも作れます。しかし、そういった「集合の違い」は、感覚的には物の名前が別の名前に置き換わったようなもので、数学をする上ではあまり意味のないものです。なので、構造さえ一致して入ればそれはだいたい同じものとしてオッケーになります。）

実数体の構成

先に大まかにどんな構成をするかを話しておくと、有理数上のコーシー列の行きつく先すべてを集めたものを実数とするつもりです。有理数の「穴だらけ」な部分を、数列の行きうる値としてどんどん穴埋めをしていく感じですね。

まず、実数の構成に当たって使うことになる定義を準備しておきます。

$$
\mathbb{Q}_{>0} \coloneqq \{ x \in \mathbb{Q} | x > 0 \}\\
\mathbb{Q}^\mathbb{N}_c \coloneqq \{ \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{Q} | {}^\forall \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}, {}^\exists N \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n,m \in \mathbb{N}, n \geq m \geq N \Rightarrow |x_n - x_m| < \epsilon \} \\ {}_{(有理数のみをとる数列で、動きがどんどん止まっていく数列。　コーシー列と呼ばれる。)}
$$

$${\mathbb{Q}^\mathbb{N}_c }$$上の関係~を次で定める：
$${ \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \approx \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \overset{\text{def}}{ \Longleftrightarrow} \\ {}^\forall \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}, {}^\exists N \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n \in \mathbb{N}, n \geq N \Rightarrow |x_n - y_n| < \epsilon }$$

この関係~が同値関係（なんかのグループ分け）になっていることを確かめましょう。
示すべきは以下の三つです。

$$
①{}^\forall \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}},  \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\\
② {}^\forall \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c , \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \Longleftrightarrow \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\\
③{}^\forall \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c ,( \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \wedge \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}) \Rightarrow \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}
$$

日本語で書くと、
①自分自身とは同じグループ
②相手が自分と同じグループなら、相手にとっても自分は同じグループにいる
③自分と同じグループの人が仲間を連れてきたら、その人は自分の仲間でもある
的な意味ですね。

①と②はあまりにも簡単なので飛ばします。
③だけ示します。
$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c }$$　について、
$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} , \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$
と仮定します。この時に、\\$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$となることを示せばいいですね。
任意に$${ \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}}$$ をとります。
この時、$${\frac{\epsilon}{2}\in \mathbb{Q}_{>0}}$$なので、仮定 ($${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$)から
$${{}^\exists N_1 \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n \in \mathbb{N}, n \geq N_1 \Rightarrow     |x_n - y_n| < \frac{\epsilon}{2}}$$です。
同様に、仮定 ($${\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$)から
$${{}^\exists N_2 \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n \in \mathbb{N}, n \geq N_2 \Rightarrow |y_n - z_n| < \frac{\epsilon}{2}}$$も成り立ちます。
ここで、N$${\coloneqq max\{N_1, N_2\}}$$と置くと、 n $${\geq N}$$を満たすすべての自然数nについて、
$${|x_n - z_n| \overset{\text{三角不等式}}{\leq} |x_n - y_n| + |y_n - z_n| \overset{(n \geq Nより)}{\leq} \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon}$$
となって、$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$が示せました。

これで$${\mathbb{Q}^\mathbb{N}_c }$$上に同値関係$${\sim}$$を作ることができました。
この同値関係で割ってできる集合
$${(\mathbb{Q}^\mathbb{N}_c / \sim ) \coloneqq \{ [a]｜a \in\mathbb{Q}^\mathbb{N}_c \} \\([a] \coloneqq \{x \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c | x \sim a\})}$$
を考えます。

R $${\coloneqq \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c / \sim}$$ とおいて、順序体の構造をなすようにRに足し算、掛算、それから順序を定義して、それが上で示した性質（完備とアルキメデスの原理）を満たすことを示しましょう。

R上の和、積

まずはRに和と積を自然に定義します。

R上の和$${+_R}$$を ,
$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] +_{R} [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \coloneqq [\{x_n + y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$　
と定義します。これが代表元の取り方によらずに一意に定まること、つまり
$${{}^\forall \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{x'_n\}_{n \in \mathbb{N}} , \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{y'_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c , \\(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim \{x'_n\}_{n \in \mathbb{N}} , \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim \{y'_n\}_{n \in \mathbb{N}}) \Longrightarrow  \{x_n + y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \sim \{x'_n + y'_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$
をみたすことは三角不等式ですぐ証明できます。（めんどいから略します）
また、和の行き先がちゃんとRの元であること、つまり有理コーシー列同士の和がまた有理コーシー列になることも証明できます。（みんなやってみてね）
基本、有理数上の和と混ざる心配はないので、$${+_R}$$を単に+と書きます。

次にR上の積（掛算）$${ \cdot _R}$$を、
$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \cdot_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \coloneqq [\{x_n \cdot y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$
で定義します。こっちもこの二項演算がwell-definedであることを示さないといけませんが、コーシー列の有界性と三角不等式を使えば証明できます。（略）
和と同様に、$${\cdot_R のことを単に\cdotと書きます。}$$

ここで、今作った(R, +, $${\cdot}$$)が体になっています。
$${[\{0\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$は上の和の単位元で、$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \in Rに対し、[\{-x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$は和の逆元です。($${\because}$$和の定義より明らか）結合法則とかその辺も有理数の和から定義してるので成り立つから、Rはアーベル群で、$${[\{1\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$が積の単位元、
$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \in Rに対し、x'_n \neq  0({}^\forall n \in \mathbb{N})かつ[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]=[\{x'_n\}_{n \in \mathbb{N}}]となるx'_nを作れる（↓で示す）から、}$$ $${それを用いて[\{\frac{1}{x'_n}\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$が積の逆元になり、可換だからこれは体である。

Rの順序

Rに体の構造を入れられたので、今度はこれにいい感じにかみ合うような順序関係を定めましょう。

$${[\{x_n\}], [\{y_n\}] \in R}$$とする。

$$
[\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}] \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} {}^\forall \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0} ,{}^\exists N \in \mathbb{N}  s.t. {}^\forall n \geq N , x_n - \epsilon < y_n
$$

と定義しましょう。やっぱり最初はこの定義が代表元の取り方によらないことを確認しないといけませんね。$${[\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}], [\{x_n\}]=[\{x'_n\}], [\{y_n\}]=[\{y'_n\}]}$$としたときに$${[\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}]}$$となることを示します。

任意に$${\epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}}$$をとります。この時、$${\frac{\epsilon}{3} >0}$$に対して、次の三つが仮定から成り立ちます。

①$${{}^\exists N_1 \in \mathbb{N}   s.t. {}^\forall n \geq N_1, x_n >x'_n - \frac{\epsilon}{3}  (\because [\{x_n\}]=[\{x'_n\}])}$$

②$${{}^\exists N_2 \in \mathbb{N}   s.t. {}^\forall n \geq N_2, y_n >x_n - \frac{\epsilon}{3}  (\because [\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}])}$$

③$${{}^\exists N_3 \in \mathbb{N}   s.t. {}^\forall n \geq N_3, y'_n >y_n - \frac{\epsilon}{3}(\because [\{y_n\}]=[\{y'_n\}])}$$

$${N \coloneqq max\{N_1, N_2, N_3\}}$$とすると、N以上の任意の自然数nについて、
$${x'_n - \epsilon = x'_n - \frac{\epsilon}{3} -\frac{\epsilon}{3}-\frac{\epsilon}{3} \underset{\text{①}}{<} x_n - \frac{\epsilon}{3}-\frac{\epsilon}{3}\underset{\text{②}}{<} y_n -\frac{\epsilon}{3} \underset{\text{③}}{<} y'_n}$$
となり、$${[\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}]}$$が示されました。　
次に、ここで定めた関係"$${\leq_R}$$"が順序関係をなすことを示します。

示すことは以下の三つです；

$$
① {}^\forall \{x_n\} \in  \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c , [\{x_n\}] \leq_R [\{x_n\}]\\
②{}^\forall \{x_n\}, \{y_n\} \in  \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c,  ([\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}] \wedge  [\{y_n\}] \leq_R [\{x_n\}]) \Longrightarrow  [\{x_n\}] = [\{y_n\}]\\
③ {}^\forall \{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\} \in  \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c, ([\{x_n\}] \leq_R [\{y_n\}] \wedge  [\{y_n\}] \leq_R [\{z_n\}]) \Longrightarrow  [\{x_n\}] \leq_R [\{z_n\}]
$$

①N = 1 とすれば明らかに成り立ちます。
②$${{}^\forall \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}}$$に対し、仮定から十分大きいnに対しては$${x_n - \epsilon < y_n}$$と$${y_n - \epsilon < x_n}$$が成り立つから、式をうまく変形して$${- \epsilon < x_n - y_n < \epsilon}$$、つまり$${|x_n - y_n| < \epsilon}$$がわかる。$${\therefore [\{x_n\}] = [\{y_n\}]}$$
③$${{}^\forall \epsilon \in  \mathbb{Q}_{>0}}$$に対し、仮定から十分大きいnに対して、$${z_n > y_n - \frac{\epsilon}{2}, y_n > x_n - \frac{\epsilon}{2}}$$が成り立つ。よって$${x_n - \epsilon < y_n -\frac{\epsilon}{2} < z_n}$$
$${\therefore [\{x_n\}] \leq_R [\{z_n\}]}$$

ということで、R上の順序"$${\leq_R}$$"を定めることができました。

全順序

ここで、この順序が体の構造（和と積）とかみ合うものであることを示す前に、この順序が全順序であること、つまりRの任意の二つの要素に対し、その二つの間の順序がどちらなのか必ず決まることを確認しましょう。
任意に$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}], [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \in R}$$をとった時、$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$または$${[\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$が成り立つことを示せばいいですね。

$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$の時はOKなので、$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$でないとき、$${[\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$が成り立つことを示します。

仮定から、$${{}^\exists \epsilon_0 \in  \mathbb{Q}_{>0} s.t. {}^\forall N \in \mathbb{N}, {}^\exists n \geq N s.t.\hspace{2mm} y_n < x_n - \epsilon_0}$$が成り立ちます。
また、$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}],[\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$がコーシー列であることから、
$${{}^\exists S \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n ,m \geq S , |x_n - x_m| < \frac{\epsilon_0}{3}, |y_n - y_m| < \frac{\epsilon_0}{3}}$$
が成り立ちます。
$${s \in \mathbb{N}}$$を、s>Sかつ$${y_s < x_s - \epsilon_0}$$を満たす自然数として一つとってきて固定します。ここで、$${n \geq S}$$なる任意の自然数について、
$${y_n \overset{\text{(n, s >S)}}{<} y_s + \frac{\epsilon_0}{3} \overset{\text{(sの取り方)}}{<}x_s -\epsilon_0 + \frac{\epsilon_0}{3}= x_s -\frac{\epsilon_0}{3}-\frac{\epsilon_0}{3}\overset{\text{(n, s >S)}}{<} x_n -\frac{\epsilon_0}{3}}$$
となります。
つまり、nが十分大きければ、$${y_n}$$は$${x_n}$$より$${\frac{\epsilon_0}{3}}$$以上小さいことになります。なので、$${[\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$の定義を見れば明らかにこれが成り立つことがわかりますね。
ということで、$${\leq_R}$$は全順序であることがわかりました。

また、$${a, b \in R}$$について、
$${a <_R b \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} a \leq_R b \wedge \hspace{2mm}a \neq b}$$
とします。このとき
$${(a <_R b) \Longleftrightarrow (b \leq_R a}$$でない)　　を満たします。
(順序関係のルールと全順序であることさえ使えば示せるよ)

Rが順序体であることの証明

ここからは、上で定めた和、積と順序が順序体をなすことを示します。
示すべきは次の二つです；
①$${{}^\forall a , b, c \in R, a \geq_R b \Rightarrow a + c \geq_R b + c}$$
②$${{}^\forall a , b \in R, a \geq_R 0 , b \geq_R 0 \Rightarrow ab \geq_R 0_R}$$
ここで、$${0_R \in R}$$は、$${0_R \coloneqq [\{0\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$で定めたものとします。

①の証明

$${a, b \in R}$$を任意にとってきます。
$${ a = [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] , b = [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}],}$$
$${c = [\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \hspace{4mm}(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{z_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c)}$$ と表します。

$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \geq_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$と仮定して、$${ [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] + [\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}]\geq_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] + [\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$を示します。
任意に$${\epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}}$$をとると、仮定から十分大きいnについては
$${x_n > y_n - \epsilon}$$が成り立ちます。この時、$${x_n + z_n > y_n - \epsilon + z_n = y_n + z_n -\epsilon}$$
となります。これは$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] + [\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \geq_R [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}] + [\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$を意味します。

②の証明

$${a, b \in R}$$ を任意にとって、
$${ a = [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] , b = [\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}]\hspace{4mm}(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c)}$$ と表します。
$${a \geq_R, 0_R, b \geq_R 0_R}$$と仮定して、$${ab\geq 0_R}$$を示します。

$${a = 0_R}$$または$${b = 0_R}$$のときは、$${ab = 0_R \geq_R  0_R}$$となるのでOK.
$${a \neq 0_R \neq b}$$の時を考えます。
仮定から、$${a > 0_R, b >0_R}$$となり、それぞれ

$${{}^\exists  \epsilon_0\in \mathbb{Q}_{>0} s.t. {}^\forall N \in \mathbb{N}, {}^\exists n \geq N s.t.\hspace{2mm} x_n > \epsilon_0}$$

$${{}^\exists  \epsilon_1\in \mathbb{Q}_{>0} s.t. {}^\forall N \in \mathbb{N}, {}^\exists n \geq N s.t.\hspace{2mm} y_n > \epsilon_1}$$

が成り立ちます。ここで、全順序を示したときと同じような議論で、$${\epsilon_0, \epsilon_1}$$を、それぞれ
十分大きなｎについてはすべて$${x_n > \epsilon_0}$$
十分大きなｎについてはすべて$${y_n > \epsilon_1}$$
を満たすように取れます。この時、上二つの不等式を満たす程度に十分大きくとったｎについては、$${x_n y_n >\epsilon_0\epsilon_1}$$を満たします。
よって、$${ab>0_R}$$、特に$${ab \geq_R 0_R}$$となります。

R上の位相

ここまでで、Rに順序体の構造を入れることができました。ここで、完備性の説明の時にいった、「順序から定まる位相」を書いていきます。
$${a, b \in R, a <_R b }$$について、$${(a , b) \coloneqq \{x\in R | a <_R x <_R b\}}$$ とし、
$${S \coloneqq \{(a, b)\hspace{1mm}|\hspace{1mm}a, b \in R , a <_R  b \}}$$
として、
Rの位相をSを開基とする位相
$${\langle S \rangle \coloneqq \{\bigcup_{\lambda \in \Lambda}S_\lambda| \hspace{2mm} {}^\forall \lambda, \hspace{2mm}S_\lambda \in S \}}$$
で定めます。

また、ここで、R上の絶対値$${| * |_R}$$を、

$$
| x |_R \coloneqq \begin{cases} x  (x \geq_R 0_R)\\ -x  (x <_R 0_R)\end{cases} 
$$

と定めると、$${A \subset R}$$について、上の位相における開集合（Rの位相と呼ばれる集合の要素）であることと、任意のAの元ｘについて、$${\epsilon >_R }$$が存在して、$${|x - y|_R < \epsilon}$$となるすべての$${y \in R}$$について$${y \in A}$$となることは同値です。

また、$${| [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]|_R= [\{|x_n|\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$が成り立ちます。

Rの中の有理数

一般に、順序体は有理数体$${\mathbb{Q}}$$と同型な部分集合を含みます。（証明はゴリ押しなので略）
今回のRに関しては簡単で、$${\varphi : \mathbb{Q} \rightarrow R}$$を、
$${q\in \mathbb{Q},  \varphi(q) \coloneqq [\{q\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$
と定義すれば、Rとその和積の定め方から明らかに順序体として単射な準同型写像です。
つまり、$${\mathbb{Q}}$$の$${\varphi}$$による像$${\varphi[\mathbb{Q}]}$$は$${\mathbb{Q}}$$と同型になります。

アルキメデスの原理

上で定めた写像$${\varphi}$$による$${\mathbb{N}}$$の像が上に有界でないことを示します。有理数$${\frac{n}{m}}$$について、これが負なら１、正ならnをとれば、$${\frac{n}{m}}$$より大きな自然数が取れるので、$${\varphi[\mathbb{Q}]}$$が上に有界でないことを示せばおっけーです。

$${\fbox{証明}}$$
Rの元$${x = [\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}]}$$を任意にとります。
$${x <_R \varphi(q)}$$ となる$${q \in \mathbb{Q}}$$を見つければ証明完了ですね。
$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$はコーシー列だから、
$${{}^\exists N \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall m, n \geq N, |x_m - x_n|<\frac{1}{2}}$$　が成り立ちます。
ここで、$${q \coloneqq x_N+1}$$と定義します。
$${x <_R \varphi(q)}$$を示します。$${n \geq  N}$$となる自然数nについて、
$${x_n < x_N + \frac{1}{2} =q - \frac{1}{2}}$$が成り立ちます。
ここから$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \leq_R \varphi(q)}$$と$${[\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}] \neq \varphi(q)}$$がわかります。
$${\therefore x <_R \varphi(q)}$$

完備

R上の点列$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset R}$$ について、$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$がコーシー列であることを上で定めた位相に従って
$${{}^\forall \epsilon >_R 0_R, {}^\exists N \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall m, n \geq N, |x_m - x_n|_R<_R \epsilon}$$
と定めます。（ほんとは順序位相が和に関して位相群をなしていることを示して、上の定義は位相群におけるコーシー列の定義と同値な条件として出すべきだけど、全部飛ばしてこれを定義にしちゃいます。）

また、$${\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$が $${n \longrightarrow \infty}$$で$${a \in R}$$に収束することは、
$${ {}^\forall \epsilon >_R 0_R , {}^\exists M \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n \geq M, |x_n - a|_R <_R \epsilon}$$
と同値です。

Rが完備であること（i.e.　任意のコーシー列がRのとある元に収束）
の証明

任意にRのコーシー列$${\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$をとります。これがRの元に収束することを示せばいいですね。
各$${i \in \mathbb{N}}$$について、$${X_i \in R}$$より、
$${X_i = [\{x^{(i)}_n\}_{n \in \mathbb{N}}]\hspace{4mm}(\{x^{(i)}_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c)}$$
とあらわせます。
$${\{x^{(i)}_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$は有理コーシー列だから、
$${\psi(i)}$$として、$${\psi(i) \in \mathbb{N}, {}^\forall m, n \geq \psi(i), |x^{(i)}_m - x^{(i)}_n|<\frac{1}{i}}$$を満たすものをとれます。

ここで、新しく有理数列$${\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$を、
$${y_n \coloneqq x^{(n)}_{\psi(n)}}$$で定めます。
ここで、$${\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c}$$を示しましょう。

任意に$${\epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}}$$をとります。
$${\mathbb{Q}}$$において$${\mathbb{N}}$$は上に有界でないので、
$${{}^\exists N \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall n \geq N, \frac{1}{n} < \frac{\epsilon}{4}}$$が成り立ちます。
$${\psi(\frac{\epsilon}{4}) >_R 0_R}$$だから、$${\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$がコーシーであることより、
$${{}^\exists M \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall m,n \geq M, |X_m - X_n|_R <_R [\{\frac{\epsilon}{4}\}]}$$
また、$${|X_m - X_n|_R = [\{|x^{(m)}_i - x^{(n)}_i|\}_{i \in \mathbb{N}}]}$$より、
$${{}^\exists J_{m, n} \in \mathbb{N} s.t.　{}^\forall k \geq J_{m, n},  |x^{(m)}_k- x^{(n)}_k| < \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2}}$$
となります。

m, n を、$${max\{M, N\}}$$より大きい自然数とすると、
$${J' \coloneqq max\{\psi(m), \psi(n), J_{m, n}\}}$$として、

$${|y_m - y_n| = |x^{(m)}_{\psi(m)} -x^{(n)}_{\psi(n)}| \\\leq |x^{(m)}_{\psi(m)} - x^{(m)}_{J'}|+ |x^{(m)}_{J'} -x^{(n)}_{J'}| + |x^{(n)}_{J'} - x^{(n)}_{\psi(n)}| \\<\frac{1}{m} + \frac{\epsilon}{2} + \frac{1}{n} <\frac{\epsilon}{4} +\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{4} = \epsilon}$$
$${\therefore}$$$${\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}_c}$$

次に,$${\underset{n\rightarrow \infty}{lim} X_n = [\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}]}$$（つまり$${\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$が$${[\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}]}$$に収束すること）
を示しましょう。
任意に$${\epsilon = [\{\epsilon_k\}_{k\in \mathbb{N}}] >_R 0_R}$$をとります。この時、
$${{}^\exists \epsilon_0 \in \mathbb{Q}_{>0} s.t. {}^\exists G \in \mathbb{N},  {}^\forall k \geq G, \epsilon_k > \epsilon_0 }$$
となります。
ここで、$${N \in \mathbb{N}}$$を、$${\frac{8}{\epsilon_0}}$$を超える自然数として固定します。
また、$${\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}}$$がコーシーであることより、
$${{}^\exists M \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall m,n \geq M, |X_m - X_n|_R <_R [\{\frac{\epsilon_k}{4}\}_{k \in \mathbb{N}}]}$$
つまり、Mを超える自然数m, nについて、
$${{}^\forall \delta \in \mathbb{Q}_{>0}, {}^\exists J_{(m, n, \delta)} \in \mathbb{N} s.t. {}^\forall j \geq J_{(m, n, \delta)}, |x^{(m)}_j - x^{(n)}_j| < \frac{\epsilon_k}{4} + \delta}$$

n を、$${max\{M, N\}}$$を超える任意の自然数とします。この時に、
$${|X_n -[\{y_k\}_{k\in\mathbb{N}}]|_R = [\{|x^{(n)}_k - x^{(k)}_{\psi(k)}|\}_{k \in \mathbb{N}}]< \epsilon}$$となることを示します。

$${\delta \in \mathbb{Q}_{>0}}$$を任意にとります。
$${K \coloneqq max\{M, N, \psi(n), G\}}$$とします。
$${k \geq K}$$を満たす任意の自然数kについて、
$${J' \coloneqq max\{\psi(n), \psi(k), J_{(n, k, \delta)}\}}$$として、
$${|x^{(n)}_k - x^{(k)}_{\psi(k)}| \leq |x^{(n)}_k -x^{(n)}_{J'}| +|x^{(n)}_{J'} - x^{(k)}_{J'}| + |x^{(k)}_{J'} - x^{(k)}_{\psi(k)}|\\ < \frac{1}{n} + (\frac{\epsilon_k}{4} + \delta) + \frac{1}{k}< \frac{\epsilon_0}{8} +(\frac{\epsilon_k}{4} + \delta) + \frac{\epsilon_0}{8}<  \frac{\epsilon_k}{8} +(\frac{\epsilon_k}{4} + \delta) + \frac{\epsilon_k}{8}=\frac{\epsilon_k}{2} + \delta}$$

よって、$${ [\{|x^{(n)}_k - x^{(k)}_{\psi(k)}|\}_{k \in \mathbb{N}}]\leq_R[\{\frac{\epsilon_k}{2}\}] < [\{\epsilon_k\}]=\epsilon}$$がわかります。

$${\therefore　\underset{n\rightarrow \infty}{lim} X_n = [\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}]}$$

これでRが完備であることがわかりました。

ここまでとんでもなく長くなってしまいましたが、これでRがアルキメデスの原理をみたす完備な順序体であることがわかりました。
これで、実数体の定義を満たすものの存在は保証されたわけですね。これ以上長くなってもあれなので、構造の一意性はざっくりで終わらせます。

実数体の定義を満たすものは同型を除いて一意

R, R'がともに連続性公理を順序体とします。一般に順序体には有理数体と同型な部分集合があるので、$${\mathbb{Q}}$$からそれぞれへの単射準同型$${\phi, \phi'}$$が存在します。ここで、$${\phi[\mathbb{Q}] \subset R}$$から$${\phi'[\mathbb{Q}] \subset R'}$$への同型写像$${\phi' \circ \phi^{-1}}$$はそれぞれの順序体から定まる位相（の相対位相）において連続で、アルキメデスの原理からわかる$${\phi[\mathbb{Q}]}$$の稠密性から、$${{}^\forall x \in R}$$について、xに収束する$${\phi[\mathbb{Q}]}$$の点列の存在がわかるから、
RからR'への写像$${f(x) \coloneqq \underset{n \rightarrow \infty}{lim}\phi' \circ \phi^{-1}(y_n) \\(\{y_n\}はxに収束する\phi[\mathbb{Q}]の点列)}$$
はwelldefined(行先が存在、かつ一通りに定まる)ことがわかり、これが順序体としての同型写像であることがわかります。

途中から（もしかしたら最初から）自己満足のためのnoteで、読みにくさの塊みたいなものになってしまいました。もし最後まで読んでくれた人がいたら、本当にありがとうございました。次からはもうちょい短くなるようにがんばります。