ある日気になった。

$$
sin(1)+sin(2)+sin(3)+…+sin(n-1)+sin(n)
$$

あるいは、

$$
cos(1)+cos(2)+cos(3)+…+cos(n-1)+cos(n)
$$

といった感じで$${sin(n)}$$や$${cos(n)}$$を足していったらどうなるんだろう。三角関数の値が正のときはこれらの総和はだんだん増えていって、逆に負のときは減っていくのを周期的に繰り返すわけだから、これらの総和の一般項も、何らかの三角関数+定数で書けそうだ。

というわけで、以下の数列の一般項を求めることを考える。

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k) \\ = sin(1)+sin(2)+sin(3)+…+sin(n-1)+sin(n) \\ \displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k) \\ =cos(1)+cos(2)+cos(3)+…+cos(n-1)+cos(n)
$$

まず、それぞれを式変形して直接求めるのは見通しが悪そうなので、求める数列$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$をそれぞれ$${S_n}$$、$${C_n}$$と置き、$${C_n+iS_n}$$（$${i}$$は虚数単位）を求めることを考えよう。すると、ド・モアブルの定理

$$
(cos(θ)+isin(θ))^n=cos(nθ)+isin(nθ)（θは実数、nは整数）
$$

より、

$$
(cos(1)+isin(1))^n=cos(n)+isin(n)
$$

が成り立つため、$${r=cos(1)+isin(1)}$$と置くと、

$$
C_n+iS_n=\displaystyle\sum^{n}_{k=1}r^k
$$

と書ける。従って、

$$
r\displaystyle\sum^{n}_{k=1}r^k-\displaystyle\sum^{n}_{k=1}r^k \\ =(r^2+r^3+…+r^n+r^{n+1}) \\ -(r+r^2+…+r^{n-1}+r^n)
$$

$${r^{n+1}}$$と$${-r}$$以外の項が打ち消し合って、

$$
r\displaystyle\sum^{n}_{k=1}r^k-\displaystyle\sum^{n}_{k=1}r^k=r^{n+1}-r \\ \displaystyle\sum^{n}_{k=1}r^k=\displaystyle\frac{r^{n+1}-r}{r-1} \\ =\displaystyle\frac{r(r^n-1)}{r-1}
$$

$${r}$$を元に戻すと、

$$
C_n+iS_n=\displaystyle\frac{(cos(1)+isin(1))(cos(n)-1+isin(n))}{cos(1)-1+isin(1)}
$$

目的の式が得られた。計算がめちゃくちゃ面倒くさそうだが、実部と虚部を分離してみよう。

$$
C_n+iS_n=\displaystyle\frac{(cos(1)+isin(1))(cos(n)-1+isin(n))}{cos(1)-1+isin(1))} \\ =\displaystyle\frac{(cos(1)-1-isin(1))(cos(1)+isin(1))(cos(n)-1+isin(n))}{(cos(1)-1-isin(1))(cos(1)-1+isin(1))} \\ =\displaystyle\frac{(cos(1)-1-isin(1))(cos(1)cos(n)-sin(1)sin(n)-cos(1)+isin(1)cos(n)+icos1sin(n)-isin(1))}{(cos(1)-1)^2+sin^2(1)} \\ =\displaystyle\frac{cos^2(1)cos(n)+sin^2(1)cos(n)-cos(1)cos(n)+cos(1)sin(1)sin(n)-cos(1)sin(1)sin(n)+sin(1)sin(n)-cos^2(1)-sin^2(1)+cos(1)+icos(1)sin(1)cos(n)-icos(1)sin(1)cos(n)+icos^2(1)sin(n)+isin^2(1)sin(n)-isin(1)cos(n)-icos(1)sin(n)+icos(1)sin(1)-icos(1)sin(1)+isin(1)}{sin^2(1)+cos^2(1)+1-2cos(1)}
$$

式が長すぎて蕁麻疹が出そうだ。でも、よく見るとほとんどの項が打ち消し合ったり、$${sin^2(θ)+cos^2(θ)=1}$$を使って簡略化できたりして、最終的に以下の形にまで短くできる。

$$
C_n+iS_n \\ =\displaystyle\frac{sin(1)sin(n)-cos(1)cos(n)+cos(n)+cos(1)-1}{2-2cos(1)} \\ +i\displaystyle\frac{-cos(1)sin(n)-sin(1)cos(n)+sin(n)+sin(1)}{2-2cos(1)}
$$

加法定理

$$
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
$$

$$
cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)
$$

を使えばさらに短くできる。

$$
C_n+iS_n \\ =\displaystyle\frac{cos(n+1)-cos(n)-cos(1)+1}{2cos(1)-2} \\ +i\displaystyle\frac{sin(n+1)-sin(n)-sin(1)}{2cos(1)-2}
$$

従って、最初の疑問への解答は、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k) \\ =\displaystyle\frac{sin(n+1)-sin(n)-sin(1)}{2cos(1)-2}
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k) \\ =\displaystyle\frac{cos(n+1)-cos(n)-cos(1)+1}{2cos(1)-2}
$$

となる。実際に$${n}$$に具体的な値を代入してコンピューターで計算してみると、ぞれぞれ$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$の値と一致したため、計算ミスなどはしていないようだ。嬉しい。

さて。
この式をじっと眺めていると、とても対称的な形をしていることに気づく。というのも、$${sin(0)=0}$$、$${cos(0)=1}$$なので、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k) \\ =\displaystyle\frac{sin(n+1)-sin(n)-sin(1)+sin(0)}{2cos(1)-2}
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k) \\ =\displaystyle\frac{cos(n+1)-cos(n)-cos(1)+cos(0)}{2cos(1)-2}
$$

とも書けるわけだ。とても綺麗な結果ではないだろうか。何か深い意味がありそうな、なさそうな、そんな気持ちにさせられる。そして実際に、これらの式の意味をじっくり再考することで別の解法を得ることができる。

まずいきなりだが、数列を微分することを考えてみる。実数の関数における微分の元々の意味は、関数のある点での傾きを求めることだった。この考え方を応用し、数列を自然数の関数と見なし、数列$${a_n}$$の$${a_{n+1}}$$と$${a_n}$$を通る直線の傾きを数列の微分と定義する。数列の微分を表す記号を$${Δ}$$とすると、

$$
Δa_n=a_{n+1}-a_n
$$

が数列の微分の定義である。この操作を2回繰り返すことで2階微分の式

$$
Δ^2a_n=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n
$$

が得られる。また、定義より、

$$
微分と総和の式 \\ Δ\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k=a_{n+1}
$$

$$
総和と微分の式 \\ \displaystyle\sum^{n}_{k=1}Δa_k=\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_{k+1}-\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k \\ =(a_{n+1}+a_n+…+a_3+a_2) \\ -(a_n+a_{n-1}+…+a_2+a_1) \\ =a_{n+1}-a_1
$$

が従う。この微分の定義を使うことで一般項は、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k) \\ =\displaystyle\frac{sin(n+1)-sin(n)-sin(1)+sin(0)}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\frac{sin(n+1)-sin(n)-(sin(1)-sin(0))}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\frac{Δsin(n)-Δsin(0)}{2cos(1)-2}
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k) \\ =\displaystyle\frac{cos(n+1)-cos(n)-cos(1)+cos(0)}{2cos(1)-2}\\ =\displaystyle\frac{cos(n+1)-cos(n)-(cos(1)-cos(0))}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\frac{Δcos(n)-Δcos(0)}{2cos(1)-2}
$$

と書ける。そして総和と微分の式を当てはめると、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k) \\ =\displaystyle\frac{Δsin(n)-Δsin(0)}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\displaystyle\frac{Δsin(k)-Δsin(k-1)}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\displaystyle\frac{Δ^2sin(k-1)}{2cos(1)-2}
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k) \\ =\displaystyle\frac{Δcos(n)-Δcos(0)}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\displaystyle\frac{Δcos(k)-Δcos(k-1)}{2cos(1)-2} \\ =\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\displaystyle\frac{Δ^2cos(k-1)}{2cos(1)-2}
$$

両辺に$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}}$$があるのでこれを外すと、

$$
sin(k)=\displaystyle\frac{Δ^2sin(k-1)}{2cos(1)-2}
$$

$$
cos(k)=\displaystyle\frac{Δ^2cos(k-1)}{2cos(1)-2}
$$

綺麗にまとまった。これに2階微分の式を当てはめると、

$$
sin(k)=\displaystyle\frac{sin(k+1)-2sin(k)+sin(k-1)}{2cos(1)-2} \\ 0=\displaystyle\frac{sin(k+1)-2sin(k)+sin(k-1)}{2cos(1)-2}-\displaystyle\frac{2cos(1)sin(k)-2sin(k)}{2cos(1)-2} \\ 0=sin(k+1)-2cos(1)sin(k)+sin(k-1) \\
$$

$$
cos(k)=\displaystyle\frac{cos(k+1)-2cos(k)+cos(k-1)}{2cos(1)-2} \\ 0=\displaystyle\frac{cos(k+1)-2cos(k)+cos(k-1)}{2cos(1)-2}-\displaystyle\frac{2cos(1)cos(k)-2cos(k)}{2cos(1)-2} \\ 0=cos(k+1)-2cos(1)cos(k)+cos(k-1)
$$

$${k}$$についての恒等式が現れた。これらの最後の式は三角関数の積和の公式

$$
sin(α)cos(β)=\displaystyle\frac{1}{2}(sin(α+β)+sin(α-β))
$$

$$
cos(α)cos(β)=\displaystyle\frac{1}{2}(cos(α+β)+cos(α-β))
$$

から即座に導かれる。つまり、積和の公式（ひいては加法定理）から出発して、今までの式変形を逆に辿れば、$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$の一般項が求まる。これが二つ目の解法だ。こんなものを順番に思いつく人はおそらくいないと思うが、一つ目の解法と違って途中式が長くならないという利点があり、そこそこ綺麗な解法と言えるだろう。そして、この解法からは、積和の公式の対称性が、$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$の一般項にまで現れていたことが分かる。

さて、この二つ目の解法の本質は、総和と微分の式にあると言える。すなわち、$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k}$$の一般項を求めたいときに、$${a_n}$$を別の数列$${A_n}$$の微分で表すと、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k \\ a_n=ΔA_n \\ \displaystyle\sum^{n}_{k=1}ΔA_k=A_{n+1}-A_1
$$

このように$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}}$$が消え、総和の一般項が求まる。より一般的には、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k \\ a_n=ΔA_{n+m}（mは整数） \\ \displaystyle\sum^{n}_{k=1}ΔA_{k+m}=A_{n+m+1}-A_{m+1}
$$

と解ける。このような条件を満たす$${A_{n+m}}$$を$${a_n}$$の原始数列と呼ぶことにする。ここで、$${m=-1}$$と置いて$${sin(n)}$$と$${cos(n)}$$の原始数列$${F_n}$$と$${G_n}$$を求め、$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$の一般項を求めてみよう。

$$
sin(n)=ΔF_{n-1}=F_n-F_{n-1}
$$

$$
cos(n)=ΔG_{n-1}=G_n-G_{n-1}
$$

三角関数の積和の公式

$$
sin(α)sin(β)=\displaystyle\frac{1}{2}(-cos(α+β)+cos(α-β))
$$

$$
sin(α)cos(β)=\displaystyle\frac{1}{2}(sin(α+β)+sin(α-β)) \\ =\displaystyle\frac{1}{2}(sin(β+α)-sin(β-α))
$$

より、

$$
cos(n+\displaystyle\frac{1}{2})-cos(n-\displaystyle\frac{1}{2})=-2sin(n)sin(\displaystyle\frac{1}{2})
$$

$$
sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})-sin(n-\displaystyle\frac{1}{2})=2cos(n)sin(\displaystyle\frac{1}{2})
$$

であることに注目すると、

$$
F_n=-\displaystyle\frac{cos(n+\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

$$
G_n=\displaystyle\frac{sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

原始数列が求まる。従って、総和と微分の式より、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)=\displaystyle\sum^{n}_{k=1}ΔF_{k-1}=F_{n}-F_0 \\ =-\displaystyle\frac{cos(n+\displaystyle\frac{1}{2})-cos(\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)=\displaystyle\sum^{n}_{k=1}ΔG_{k-1}=G_{n}-G_0 \\ =\displaystyle\frac{sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})-sin(\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

となり、あっという間に一般項が求まる。（今までの苦労は何だったんだ……。）二つ目までの解法の一般項と式の形が違うが、これも実際に $${n}$$に具体的な値を代入してコンピューターで計算してみると、ぞれぞれ$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$の値と一致するため、今までの一般項の別形式であるようだ。というわけで、この解き方を三つ目の解法としよう。理解しやすく、極めて簡潔で綺麗な解法ではないだろうか。そして実は、この三つ目の解法は、全く同じ計算を積分の形式で記述することもできるのだ。やってみよう。

まず、$${sin(n)=\displaystyle\int^{n}_{n-1}f(x)dx}$$を満たす$${f(x)}$$、$${cos(n)=\displaystyle\int^{n}_{n-1}g(x)dx}$$を満たす$${g(x)}$$があると仮定する。すると$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)}$$と$${\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)}$$はそれぞれ

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)=sin(1)+sin(2)+…+sin(n) \\ =\displaystyle\int^{1}_{0}f(x)dx+\displaystyle\int^{2}_{1}f(x)dx+…+\displaystyle\int^{n}_{n-1}f(x)dx \\ =\displaystyle\int^{n}_{0}f(x)dx
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)=cos(1)+cos(2)+…+cos(n) \\ =\displaystyle\int^{1}_{0}g(x)dx+\displaystyle\int^{2}_{1}g(x)dx+…+\displaystyle\int^{n}_{n-1}g(x)dx \\ =\displaystyle\int^{n}_{0}g(x)dx
$$

と書ける。また、それぞれの原始関数を$${F(x)}$$、$${G(x)}$$と書くと、

$$
sin(n)=\displaystyle\int^{n}_{n-1}f(x)dx=F(n)-F(n-1)
$$

$$
cos(n)=\displaystyle\int^{n}_{n-1}g(x)dx=G(n)-G(n-1)
$$

が成立する。三つ目の解法と同様に、

$$
cos(n+\displaystyle\frac{1}{2})-cos(n-\displaystyle\frac{1}{2})=-2sin(n)sin(\displaystyle\frac{1}{2})
$$

$$
sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})-sin(n-\displaystyle\frac{1}{2})=2cos(n)sin(\displaystyle\frac{1}{2})
$$

であることに注目すると、

$$
F(x)=-\displaystyle\frac{cos(x+\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

$$
G(x)=\displaystyle\frac{sin(x+\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

原始関数が求まる。（そして$${f(x)}$$、$${g(x)}$$が存在するという仮定も満たすことが分かる。）従って、

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}sin(k)=\displaystyle\int^{n}_{0}f(x)dx=F(n)-F(0) \\ =-\displaystyle\frac{cos(n+\displaystyle\frac{1}{2})-cos(\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

$$
\displaystyle\sum^{n}_{k=1}cos(k)=\displaystyle\int^{n}_{0}g(x)dx=G(n)-G(0) \\ =\displaystyle\frac{sin(n+\displaystyle\frac{1}{2})-sin(\displaystyle\frac{1}{2})}{2sin(\displaystyle\frac{1}{2})}
$$

となり、全く同じ計算で一般項が求まる。これを四つ目の解法とする。高校数学までの知識だけで解け、なおかつ極めて簡潔であるという点では、この四つめの解法が最も優れているのではないだろうか。

では、良き数学ライフを。