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左確率行列の固有値問題
Introduction左確率行列は、各列の要素の和が1になるような非負値正方行列のことです。例えばwebページの閲覧遷移を表現するために用いられています。この場合、i行j列の要素の値はページjからページiへのユーザーの遷移確率です。こうすることで、右から現時点で各ページが閲覧される確率を表すベクトルをかけることで、次の時点で各ページが閲覧される確率を求めることが出来ます。
さて、初期時点で各ペ
行列STと行列TSの0でない固有値は同じであること
本日は、「行列STと行列TSの0でない固有値は同じであること」を示しましょう。例えば行列Aの特異値分解などで、S = A, T = Aの転置行列という形でお目にかかる事実です。この定理は証明がたのしくて
det( Em - ST ) = det( En - TS )
という面白い等式にもつながっていたりします。（ここで、Enはサイズnの単位行列です。）
問題
解答
いかがだったでしょうか
有理数列が整数値をとるタイミング
今日は、ただ理由もなく気に入っている問題をご紹介。出典は大学入試問題、2018年度東京大学理系第2問です。
問題
解答
なお n ≧ 4 で a[n] / a[n-1] < 1を満たすので、この数列は n = 3 で最大値を取ったあとは単調減少します。さらに a[n] を計算していくことで n = 8 でついに1未満になってしまうこともわかります。なので、実際には a[1], a[2], .
数列の最大値を求める
数列{a[n]}の最大値を与えるindex nを求める問題を考えましょう。このとき、数列 b[n] = a[n+1]/a[n] に注目する方法は良く知られています。
1. b[n] が単調減少な数列であることを示す。
2. b[n] ≧ 1 を満たす最大のnを解く。
このときindex n+1は、数列 {a[n]} の最大値を与えます。（数列 {b[n]} が単調減少であるという条件は本来強すぎる