私は学生の頃、英文法の授業で以下のように習いました。
 x Should   ~すべき
 x Had better  ~ した方が良いよ　

ShouldはAustraliaに関わらず英語圏での会話では最頻出用語。仕事やプライベートな会話でも "You should xxx , you should not xxx" って言われまくってきたのですが、当初はなんでこんなに "〜すべき” とか、" 〜すべきじゃない”って言われないといけないんだろう。と、若干イラっとする程でした。 段々とshould ってきっと "〜すべき"という意味ではないんだろうということに気づいてきて。

そんな折に Cambridge English Gammer in Use （英文法教科書）に、全ての私のモヤモヤを吹き飛ばしてくれたわかりやすい解説があったので、まとめてみました。
私のように混乱する人が少しでもいなくなればと、またこの点においては、日本の英語文法教育を見直してほしなという願いも込めて。（もう変わっていたら良いですが。）

要は ”こうした方がいんじゃない。”　と言った親切心のアドバイスを表しているニュアンス。

皆、親切心でいろんなことをアドバイスしてくれていたんですね。。なのに若干 Offended （気分を害す）になってしまいすみません。いやこれ、私が受けてきた教育のせいですから。

またはっきりこうも記載されていました。

"すべき"と言いたい時には、実際には Have to がよく使われます。
You must xxx だとかなり、強い印象。

You look tired. You should go to bed.
なんか疲れているね。もう寝たほうがいいんじゃない。（そうしたら体調良くなるよ）決して、"今すぐ寝るべきだ。"と言っているわけではない。

You should apologies ( = it would be a good thing to do)  
謝った方がいいと思うよ。

You have to apologies.  (= You have no alternative)
他に選択肢はなし。謝るべき。

また、文頭に I thinkやI don't think 等をつけることで、自分の意見を述べたりする感じで使える。

I think the government should do more to improve education. 
私は政府はもう少し教育を改善した方が良いと思うのですよね。

I don't think you should work so hard. 
そんなにハードに働かなくてもいんじゃない。

では Had betterはというと。
こちらもモヤモヤをスッキリ解決してくれる解説が Grammar 教本にありました。

Shouldと同じですが、Shouldがこうすると良いよ。と言っているのに対して、'd better (会話では省略形が基本）はこうしないと悪い目にあうよ。と、悪いことを避けるためのアドバイスに限定される。*Shouldはどのケースにも使えるとあるので変にHad betterを使うよりは、Should 使っておいた方が安全？

2つの用法の違い。

You'd better take umbrella. it might rain.
雨降りそうだから、（濡れたら困るから）傘持って行った方がいいよ。

It's great film. You should go and see it.
これいい映画だから、みに行った方がいいよ。

まとめ
◯ Should  〜した方がいいよ。（そうしたらもっと良くなるよ）
◯ had better  〜した方がいいよ。（じゃないと、良くないことになるよ）

補足: なので　"あなたは、こうすべきです。”と強い気持ちで " You should xxxx "と誰かに伝えていたとしても実際には "こうした方がいんじゃない？"程度にしか受け止められていなかったというわけだったのですね。