円周率 3.14 って何？

円周率，$${ \pi }$$ の値は 3.14 です。3.14 という数字は，円周$${l}$$ を直径$${d}$$ で割った値です。

中学生以上の読者であれば，次のように変数で表現したほうがわかりやすいでしょう。

$$
\pi = \frac{l}{d} \\
l = \pi \times d
$$

Figure 1 をみてください。直径１の円があります。円周 $${l}$$ は $${\pi \times 1 = \pi}$$ から $${3.14 \cdots }$$ なので，この円が一周すると，3.14 右に移動しているはずです。

二つの赤い点があります。二点の距離は 3.14 にしています。本当に円周が3.14 であれば，左側の赤い点から転がり始めた円は，一周して右側の赤い点でとまるはずです。Figure 1 を見ると，円は予想通りの動きをしています。円周が 3.14 であること，イメージはできましたか。

サイクロイド

正円が回転しはじめるとき，赤い点と接している点を A とおきます。正円が一周するあいだ，この A の軌跡をサイクロイドといいます。おもしろいことに，このサイクロイドの長さは半径の８倍であることが知られています。

$$
サイクロイドの長さ = 8 \times 半径
$$

この場合ですと正円の半径は 0.5 ですから，$${0.5 \times 8}$$ で4 です。美しいですね。

アルキメデスの車輪

Figure 3 をみてください。中心が同じのふたつの円があります。大きな円の直径は１，小さな円の直径は $${ \frac{1}{2} }$$ です。どちらも二つの赤い点の間を同じ距離だけ転がっていますね。

あれ？

大きな円の直径は１です。ですから円周は $${1 \times 3.14 = 3.14}$$ です。一方，小さな円の直径は $${ \frac{1}{2} }$$ です。ですから円周は $${ \frac{1}{2}  \times 3.14 = 1. 57}$$ です。ふたつの円がそれぞれ一回転する場合，小さい円は大きい円の半分の距離しか移動しないはずです。

けれどもふたつとも同じ距離だけ移動していますね。これをアルキメデスの車輪といい，パラドクスのひとつです。このパラドクスがなぜ生じるのかは，別のところで説明しましょう。

おすすめの書籍

次の本はとてもおすすめの本です。アルキメデスの車輪の説明も載っていますよ。