今回は私が愛して止まない素数について紹介します！！

　この記事を楽しんでもらうために、最初に基礎知識だけお伝えします。　

　その後は、素数の不思議について紹介します。

基礎知識

　素数が無限にあることは、ユークリッドが「原論」で2000年前にすでに証明しています。
　凄いですね！！
　以下は、ユークリッドの証明を書きます。
　興味のある方のみお読みください。

（証明）　
　素数が有限であると仮定します。
　すべての素数を$${p_1,p_2,…p_n}$$とします。
　このとき、自然数$${q}$$を
　$${q=p_1p_2…p_n+1}$$
　とします。

　$${q}$$は、$${p_1}$$でも、$${p_2}$$でも、$${p_3}$$でも割り切れません。
　どの$${p_i}$$でも割り切れないので、$${q}$$は合成数ではありません。
　しかし、$${q}$$を素数とすると、どの素数$${p_i}$$とも異なるので仮定に反します。

　よって、矛盾である。

　この矛盾は最初の仮定「素数が有限である」が間違っています。

　よって、素数は無限に存在します。

・素数のいる場所（Excel編）

　１から１００の中にある素数に色をつけてみました。
　どうでしょうか？
　3,5,7のように1つ飛びで現れることもあれば、89の次の素数は97のように7つ飛びの場合もあります。

　つまり、出てくるのはバラバラなんです。

　ExcelとCHAT GPTを使って作成しました。
　左上が1で、右下が100000です。
　この模様に規則性を見つけたら、大発見です。

・素数のいる場所（チェビシェフ編）

　上で書いたように、素数の出現する頻度はバラバラ。
　でも、どこにあるかはある程度分かる。

　具体的には、$${n=1000000}$$のとき
　1000000から2000000の間に、必ず素数があると言えるのです。

　「ん？そんなに大きな区間なら、素数があるのは当たり前だろ！！」と思うかもしれませんが、絶対あるかどうかは調べないと分かりません。
　ですが、これは調べなくても絶対あると言い切っているのです。
　ちなみに、素数が出てこない、とても大きな区間を作ることは可能です。
　例えば、ある素数の次の素数は1兆個先、みたいなパターンです。

　なので、このチェビシェフの定理は、すごいことなんです。

・素数のいる場所（ガウス編）

　次に、数学の超天才であるガウスが予想し、その百年後に証明された定理です。

　これ、何を表現しているかというと、ある値までの素数の個数がおおよそわかるという定理です。

　この「ある値」が大きければ大きいほど、誤差が少なくなります。

　例えば、$${10^{28}}$$までに含まれる素数の個数を、概算することができます。
　重要なのは、実際に調べなくてもおおよそ分かるということです。

・双子素数

　次は、数学界の双子の紹介です。
　素数の中で、
　3と5
　5と7
　17と19
のように、引き続いた２つの奇数がともに素数のとき、それらを双子素数といいます。

　今分かっている最大の双子素数を紹介します。

　この２つの数は、388342桁もある巨大な数です。

　ちなみに、双子素数が無限に存在するかは不明です。

　あと、三つ子素数だってあります。
　面白いですね！！

・ソフィ・ジェルマン素数

　素数$${p}$$があり、$${2p+1}$$も素数になるとき、$${p}$$をソフィ・ジェルマン素数といいます。
　例えば、2,3,5,11などがソフィ・ジェルマン素数です。

　これは、388342桁もある巨大数です。

　ソフィ・ジェルマンとは、1700年代から1800年代にかけて活躍した女性数学者の名前です。
　この方が生きた時代は、女性が学問を学ぶことが否定的だったため、男性のふりをしてガウスと文通していたようです。
　また、この方は、有名なフェルマーの最終定理の解決にとても貢献しました。

おわりに

　素数の美術館、いかがでしたでしょうか？

　不規則な中に、先人たちが規則を見つけようとした様子が見られたでしょうか？

　また、特別な素数についても紹介しました。
　このような特別な素数は、こちらの記事でも紹介しているので、ぜひご覧ください！！

　もし興味が湧きましたら、整数論という数学の分野を覗いてみてください！

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！