こんにちは！！
　閲覧いただき、ありがとうございます。

　前回までの記事では、
　 $${1+2+3+・・・+n}$$
$${=\frac{1}{2}n(n+1)}$$

　$${1^2+2^2+3^2+・・・+n^2}$$
$${=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$
になることを、ペットボトルキャップを使って示せました。

前回までの記事↓↓

　今回は、
　$${1^3+2^3+3^3+・・・+n^3}$$の公式を導きます。

　最後まで読んでいただけると、嬉しいです。
　よろしくお願いします。

１　前編・中編で分かったこと

• $${2^2、3^2}$$などは、正方形の面積で表すことができた。

• 公式を導くときは、上手く図形を作ればよい。

　このことを念頭に置いて、今回も公式を作っていきます。

２　2^3や3^3はどうやってペットボトルキャップで表現する？

　$${2^2、3^2}$$は、正方形の面積で表すことができたのであれば、$${2^3、3^3}$$は、立方体の体積で表すことができそうですね。
　つまり、図１のように表現するようにします。

３　1^3+2^3+3^3+・・・n^3=??

・　1^3+2^3=

　$${1^3+2^3}$$は、ペットボトルキャップで、このように表現することとします。

　では、ペットボトルキャップを積み重ねて、$${1^3+2^3}$$を効率よく求めていきます。
　まず、図２の組み合わせを４つ用意して、一番上のキャップ（$${1^3}$$）を移動させる。（図３）

　次に、図３の①の上に②を積み重ねる。（図４）

　次に、図４の立体の上に図３の③を積み重ねる。（図５）

　最後に、図５の立体の上に図３の④を積み重ねる。

　４種類の立体を積み上げると直方体ができました。
　底面のキャップの個数は、図６の上から見た図より４個、高さは横から見た図より９個だから、この直方体にあるキャップの個数は、
$${4×9=36}$$個。
　４種類の立体を積み上げたから、
　$${1^3+2^3=36÷4=9}$$（個）
です。

・　1^3+2^3+3^3=??

　$${1^3+2^3+3^3}$$は、ペットボトルキャップで、このように表現することとします。

　では、$${1^3+2^3}$$と同じように、図７の$${1^3、2^3}$$の部分をずらしたものを４種類準備します。

　図８の①の上に②を積み重ねます。

　次に、図９の立体の上に図８の③を積み重ねる。

　最後に、図１０の立体に図８の④の立体を積み重ねます。
　ですが、下の図１１の通り、出来上がる立体のキャップの個数が異なってしまい、$${1^3+2^3}$$のときのように、直方体はできません。
　これでは公式を導くことはできません。
　失敗です。

４　考察

　なぜ直方体が出来ない（公式を導けそうにない）のか、考察してみます。

　この記事の【前編】と【中編】では、それぞれ
　$${1+2+3+・・・+n}$$
$${=\frac{1}{2}n(n+1)}$$・・・①
　$${1^2+2^2+3^2+・・・+n^2}$$
$${=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$・・・②
の公式を導きました。

　この公式の右辺を展開する（かっこをはずすと、）
　①は
　$${\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n}$$
　②は
　$${\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n}$$
です。

　①は二次式、②は三次式ということがわかります。
　また、①の公式を導くときは長方形（二次元）、②の公式を導くときは三角柱（三次元）を利用しました。

　つまり、①は面積、②は体積を表しているという見方もできます。

　では、
　$${1^3+2^3+3^3+・・・+n^3}$$
の公式を導くには、どんな図形が必要なのか。
　そう、四次元の図形が必要だといえそうです。
　でも、四次元の図形をペットボトルキャップで表現するのは難しいです。

　つまり、ペットボトルキャップで公式を導くのは、
　$${1^2+2^2+3^2+・・・+n^2}$$
$${=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$
が限界のようです。
　もし、
　$${1^3+2^3+3^3+・・・+n^3}$$
　の方法を見つけたら、TwitterでDMください（笑）

５　おわりに

　今回、三編に分けるという、とても長ーい記事を書いてしまいました。

　この後編の「５　おわりに」を読んでいただけている方は、とても忍耐強いお方です。
　ここまで読んでいただき、本当にありがとうございました！！

　これからもペットボトルキャップや段ボールなど、不要だと思うものを活用して数学ができないか考えていきます。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！