前回の記事はこちら。

GSE――Goleden Sturmian Edge――のStumian（スターミアン）のほうが気になって書いたのが前回でした。

ということで、ようやっと愛でます。

GSPのなかにGSEが２つ

前回、GSEを説明する際に図を用いました。

黄色と赤色が１列に並んだ箇所です。
これをGSE、と示したのですがちょっと違ってまして、これはGSP――Golden Sturmian Patch――になります。

先の図を９０度回転してGSEの周辺を切り取ったのが下の図になります。
上（緑線）と下（青線）の２箇所がそれぞれGSEです。

で、これを１８０度回転します。

なんじゃこりゃ？
タイルはひっくり返っています。
GSEもひっくり返って（色も入れ替わって）いるはずなのに、形状は同じです。

これがGSEの特徴の１つです。
論文「An alternative proof for an aperiodic monotile」の１０ページにも、強調した図があります（「Palindrome」は、日本語だと「回文」です）。

菱形の盤面は省エネ制作？

日本テセレーションデザイン協会代表の荒木義明さんから提供していただいた、アインシュタインタイルマスの２つの盤面があります。

それぞれの盤面の中央を横切るGSPですが、これらはGolden Hex SubstitutionのPD₂とZD₃に含まれています。

左図がPD₂です。
右図は、赤の部分がGSPで、黄色の部分がT₂です。
GSPの下のGSEにT₂が接しており、GSPの上のGSEに新たなＴ₂を組み合わせると、４×４の菱形の盤面ができます。

左図がZD₃です。
右図は、赤で囲った箇所がGSPで、黄色の部分がT₃です。
これも同様に新たなＴ₃を組み合わせると、１２×１２の菱形の盤面ができます。

これを応用すれば、他（例として、下図はPD₃）から菱形の盤面を作ることもできます。

ちなみにGolden Hex SubstitutionのPD、ZD、ZTは、名称にGSEが関わっています。

GSEとスターミアン文字列

GSEは２つの向きのタイルを１列にならべたものです。

回転して向きが変わっているだけではなく、一方は他方の裏返しになっています。

前回の記事で触れましたSturmian Word（スターミアン文字列）をつかって表すことができます。
論文「An alternative proof for an aperiodic monotile」の９ページにあります。

$${S_0=0,S_1=001,S_n=S_{n-1}S_{n-2}}$$

最初の数項を書き出すと、

第０項　0
第１項　001
第２項　0010
第３項　0010001
第４項　00100010010
第５項　001000100100010001
第６項　00100010010001000100100010010
………

となります。

論文「An alternative proof for an aperiodic monotile」の１０ページに、Golden Hex SubstitutionにあらわれるGSPの変遷が図解されています。

上図では、２つのタイルをaとDで表しています。
aを0、Dを1として置き換えると、

です。
上の段は、奇数番目（１、３、５、……）の項の文字列から右２文字分（０１）を除いた文字列が並んでいます。

第１項　001　　　　　　　　　→　0　（-01）
第３項　0010001　　　　　　　→　00100　（-01）
第５項　001000100100010001　→　0010001001000100　（-01）

そして、それぞれの文字列は回文になっています。

下の段は、偶数番目（０、２、４、６……）の項の文字列が並んでいます。
これも同様に（第０項は例外として、）それぞれの文字列から右２文字分（１０）を除くと回文になります。

第０項　0　（例外）
第２項　0010　　　　　　　　　　　　　　　→　00　（-10）
第４項　00100010010　　　　　　　　　　　→　001000100　（-10）
第６項　00100010010001000100100010010　→　
　　　　001000100100010001001000100　（-10)

前回の記事で触れた、フィボナッチ列（文字列）をビリヤード数列であらわしたような方法で、GSEの値を求めることができます。

フィボナッチ列は、黄金比から１を引いた数

$${\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = 0.618…}$$

でしたが、GSEは論文の１０ページをみると、

$${\frac{5-\sqrt{5}}{10} = 0.276……}$$

となります。
ところで、なぜGSEにGolden（黄金）と含まれているかというと、フィボナッチ列の値をGSEにあわせて分母を１０にすると、

$${\frac{1-\sqrt{5}}{2} =\frac{5-5\sqrt{5}}{10}}$$

とあらわせるからでは、と思われます。

締めとおまけ

ということで、GSEそしてGSPを愛でてみました。

配置パターンによって敷き詰めが広がっていくと、GSPがどんどん増えていきます。
例えば、ZT₃には下図のように赤および青の点線を引いた箇所がGSPになっています。

はい、おまけでした。
次回もよろしくです。

では。