前回の記事はこちら。

配置パターンを愛でる予定でしたが、2回ほど寄り道しております。
今回は、いよいよです。

配置パターンとは

タイル敷き詰めの「配置パターン」をおおざっぱに説明すると、

これらのタイルは、
こうしたらうまく敷き詰められますよ、
というルール

です。
このように書くと「非周期的敷き詰めといいつつ、ルールがあるというのは、周期性があるってことで、おかしいじゃないか」と思われる方もいます。

むちゃくちゃ鋭いです。

以前の記事でもリンク先を引用した「周期的タイル張りのみ可能なタイルの話」にある「タイル張りの周期的・周期性・非周期的とは」から、引用します。

「敷き詰めたタイル全体を１方向にざっと動かしてみると、動かす前の状態にぴったり一致するようなものが２つ（以上）ある」ということです（左図は一致する方向が２つあるので「周期的」、右図は一致する方向は１つしかないので「非周期的」、とご理解ください、です）。

さらに、「HAT」や「TURTLE」などのタイルが非周期的であることを「非周期的タイル張りのみ可能なタイル「hat」を使った周期性を持つ敷き詰め模様のベルト」にて詳しく考察しております。

まさに、今回愛でるH7、H8は、上のブロク記事で考察していたものです。

H7、H8とは

H7、H8は論文「An aperiodic monotile」の１８ページにある、「HAT」などのアインシュタインタイルを複数個（H7は７個、H8は８個）組み合わせたユニットになります。

まず、こちらが「HAT」のH7になります。

真ん中のタイルは唯一裏返しになっています。
そしてこちらが「HAT」のH8になります。

H7の左側に「HAT」（裏返しでない）１個を追加しております。

さて、どのように愛でようかと考えまして、以前の記事でおこなった「回転したもう１つのユニットと重ねてみる」ことにします。

H7を回転して重ねる

やってみると、１２０度・２４０度、そして１８０度がなかなかの重なり具合でした。

まず、１２０度。

左図は「HAT」のH7。
右図は左図を時計回りに１２０度回転して、外の輪郭のみを残した図形となります。
では、重ねてみます。

結構重なっていますが、むしろ重なっていない部分が面白い。
左側をみると、まるまる「HAT」１個分重なっていません。
反対に、右側は「HAT」のあの回転主翼１個分が重なっていません。
これらの重なっていない部分は、下側にはみ出しています。

※ 「HAT」は、ヘリコプターのように回転主翼（黄）と回転尾翼（青）の２つの点対称図形に分けることができます。

次に、時計回りに２４０度回転。

こちらも１２０度と同じように「HAT」１個分と回転主翼１個分の重なりなしとはみ出しがありますが、反転しています。

さて、１８０度回転です。
先に言っておくと、なんじゃこりゃ？でした。

１２０度、２４０度よりも、重なり度が厚くなっています。
重なっていない回転尾翼１個分が、左右にあります。

……って、この回転尾翼、「HAT」のじゃなくて「TURTLE」のですがな！

ちょっと待てちょっと待て。
気になったので、「TURTLE」のH7も１８０回転して重ねてみよう。

今度は、こっちに「HAT」の回転尾翼が登場したではないか。
そうきましたかあ。

H8を回転して重ねる

いろいろ語りたいことはあるのですが、H8も確認してからにします。

まずは「HAT」のH8を１２０度、そして２４０度回転して重ねます。

重なっていない部分が、H7よりも固まってスッキリしています。

では、多分問題であろう、１８０度。

重なっていない部分は、今まで見たことのなかったプロペラ（点対称の図形）です（……というか、H7で重ねたときにもちらっと見えてはいました）。

これって結局、「HAT」に「TURTLE」の回転尾翼を重ねた残りの図形なのです。

そうなると、「TURTLE」に「HAT」の回転尾翼に差し替えてみると、以下の図になります。

「TURTLE」のH8の１８０度回転重ね合わせをみると、この変形（？）回転主翼が登場しています。

「HAT」「TURTLE」以外も回転して重ねる

さて、そうなると他のアインシュタインタイルのH7、H8はどうなのか。

以前の記事で書いたTile($${{3\sqrt{3},1}}$$)（左図）とTile($${{1,3\sqrt{3}}}$$)（右図）だと、どうなのか。

それぞれのタイルのH7は、下の図。

このように並べてみると、同じ系列の図形とは思えませんね。
まずは、Tile($${{3\sqrt{3},1}}$$)のH7を１８０度回転して重ねます。

重ならない部分は、Tile($${{1,3\sqrt{3}}}$$)の回転尾翼になります。
「HAT」「TURTLE」のペアと同じく、Tile($${{3\sqrt{3},1}}$$)にTile($${{1,3\sqrt{3}}}$$)の回転尾翼（青）が重なります。

次は、Tile($${{1,3\sqrt{3}}}$$)のH7を１８０度回転して重ねます。

以前の記事を読まれた方は「ああ、そうだった」と思い出したかも知れません。
他のタイルと違い、３つの図形に分かれています……が、どういうことなの？

せっかくなので、H8を１８０度回転して重ねてみます。

こちらだと、変形した後の回転主翼の形が見えています。
Tile($${{1,3\sqrt{3}}}$$)にTile($${{3\sqrt{3},1}}$$)の回転尾翼（青）が重なると、下図になります。

H7の３つの図形は、回転尾翼（青）と新しく出現した図形（緑）です。
左右それぞれに分かれてはみ出したり重ならなかったりします。

H8で、はみ出したり重ならなかったりする回転主翼は、黄色と緑の図形の組み合わせになります。

締め

ということで時代に逆らい、前の論文の配置パターンを愛でてみました。
Tile(1,1)に全く触れていませんが、もうすでにお腹いっぱいです。

ということで、次回はやり残したTile(1,1)での配置パターンの回転重ね合わせです。

では。