モチベーション

高校で数列の極限を習ったが、大学ではそれをきちんと定義する。「何故定義しなくちゃいけないの？」とか「定義はどんなの？」とかそこら辺でつまづく人が多数いるので解説したいなと思ったから。
本質を説明するので既に分かっている人も必見である！初めての人も必見である！
なお、これから解説するのはε-N論法と呼ばれるものであるがε-δ論法も殆ど変わらない。

何故再定義するの？

まずは高校の復習。例えば(1/n)と言う数列がある時、nを大きくすれば1/nは限りなく０に近づくと言えるので1/nの極限を０とする。
さてこれで極限というものが何の曇りもなく分かったと言えるが、次の数列を考えてみよう$${b_n = (a_1 + … + a_n) / n}$$、ここで$${(a_n)}$$はαに収束する数列とする。つまり各要素が元の数列のn番目までの平均となるような数列を考えるということだが、これの極限は分かるだろうか？
実はこれはαに収束する。状況としては「分子は限りなくαに近いものが限りなく増えていく状態であるが、分母として分子の項数を取ってるから〜…」という感じなのだがいまいち分かりづらい。むしろ「(n-1)項目を考えた時、n項はよりαに近いものが追加された分の平均を取ってるのでα方向に補正される。この補正が続けば極限はα以外考えられない。」と思った方が素直だろうか？
今の解説で分かる人とどうも分からないという人が出てくるだろう。私は、まぁここまでは分かるが、これ以上複雑だと混乱する自信がある。
問題なのは途中で代数的なヒントがなく、一気に考えぬかなければいけないという所でありある意味「限りなく〜…」とは文学的な定義なのだと言える。

大学以降の定義

大学以降では私のような凡才の為にεとNという代数を使った定義が用意されている。
「任意の正数ε>0に対してある自然数Nが存在し、N以上の任意の自然数nに対して$${|a_n - α| < ε}$$が成立する。」
え、訳わからん。。。でもちょっと待って。解説しますので。
まず(1/n)が限りなく０に近づくと言うことを分析してみたい。まず数列の各要素は０じゃない。しからば何を持って限りなくなのか？我々は０じゃない、でも０に近い任意の数よりも近くなることを望むだろう。それが最初のεである。
εを妄想し、それより近くなるタイミングはNである。nがN以上の任意とは、逆にN以上の何かあるnで近くなければ、「どんどん近づいてる状況だったのに！もう！」と言いながら近づいてる判定がリセットされるだろう、故に任意性を持たねばならぬ。そうしたεとNとの代数関係において最後の式が成立してることを要請しているのだ。そうみれば文学的表現から数学的、少なくとも代数の恩恵が受けれそうな収束の定義が構成できたと言える。

レッスン

問題のための問題的な所はあるが、いきなり先ほどの問題を考えるのは難しいので$${(a_n)}$$がα、$${(b_n)}$$がβに収束してるときに数列の和がα+βに収束することを証明してみよう。(※数列の極限は常に直感的に推定されなければならない。その推定が正しい事を他人に伝えるのがε-Nである。)まず、
$${|a_n + b_n - (α + β)| \leqq |a_n - α| + |b_n - β|}$$
と言う変形(※三角不等式という(絶対値はマイナスを強制的にプラスにプラスはそのままなんだから絶対値の数を多くすりゃそりゃ大きい))をヒントにする。
任意の正数εをとって固定する。この時前提からN以上のnにおいて右辺の両方がε/2未満と思えるので、εとNのそのような代数関係において左辺はε未満である。

問題の証明

平均の数列の収束の証明は次の式変形をヒントにする。
$${|(a_1 + … + a_n)/n - α| \leqq (|a_1 - α| + …+ |a_L - α|) / n  + (|a_{L+1} - α| + …+ |a_n - α|) / n}$$
式変形には例によって三角不等式を使っている。正数εを固定する。右辺第二項の分子のそれぞれの絶対値はLを大きくすることで前提から大体0と見做せるので、とあるNより大きいLの元ではそれぞれがε/2未満、即ち右辺第二項自体ε/2未満とみていい。そのεとNとLの関係においてLを固定しておき、更にNを再び動かすと右辺第一項の分子はNに依らない定数である。その状態でnを無限に飛ばすと第一項は０に近づくので(※この事実、即ち自然数の非有界性をアルキメデスの公理と言い、簡単すぎて証明不可な事実である。)、結局第一項もNを更に大きく取ればその先のnにおいてε/2未満と見れる。故左辺は最初に設定した正数εに対してε未満と言える。（※ヒントとして、もしε/2ではなくεで計算してしまった人は最後がf=2εとなるが、そうなった後にfの逆関数を考え証拠隠滅をし、「私は最初から分かっていたのよ」と言えばいいので惑わされがちだがそこは本質じゃない。）

まとめ

どうだっただろうか？「数式使え！」と思った方もいると思うが、なるべく読者の思考のトレーニングになるように書いてみたので難しかったかもしれない。分かることだけが数学じゃない、色々訳のわからぬことを考えて試行錯誤という無駄を積み上げてこそ血肉となる部分があるのが面白い所だと思う部分もあるので挑戦的にやってみた。
あと皆と同じ事を書いても面白味にかけるというのもある。
ただし数学(論証)に関しては書いてることは１００％正しいのでそこはある意味安心して悩み抜いてほしい。

最後にスキ、応援コメント、フォローがあると泣いて喜びます。ではまた！