モチベーション

無限のことを考えていたら「ふと曲線で図形を塗れるのか？」という問題が頭に浮かび、感覚的に「絶対に無理」と思っていたので証明を頭の中で考えていたのだが、意外にも深くて、だんだん分からなくなってきたので自身の思考を書いてみる。
問題提起としたのはこの記事を読んで全部が解決するわけではないからである。何となく、これに関係するんじゃないかというところまでは見つけたが、これから述べることは真面目に本とかを読んで考えてみたわけじゃないので要注意である。

曲線とは何か？

本質的に興味があるのは可微分性をどこまで仮定しているかだが、wikiで曲線の定義を調べると、時間に対しての連続性は仮定しているようである。つまり、時間に対してペンを紙から離したりせずに二次元(高次元)を塗っていく過程そのものが曲線である。
ただし、描く速度も連続にするということも仮定すると簡単である。実際にペンを紙につけて曲線を描画していくときに速度の不連続ということは考えにくい。

描画速度が連続の時

任意の図形の塗りつぶし問題を考える際に「１cmの正方形を塗りつぶせるのか？」という問題を考えるのが（スケール変換を加味すれば）一般性を失わない問題になるのでそれを考えればいい（面積が正値なら何かしらスケール変換された正方形を含むことは明らか）。
ということで描画速度が連続の時、かつ任意有限時間Tまでで描画できる範囲を考えてみると、これは簡単に「塗りつぶせない」ことが分かる。
T秒描画してる時の最大速度はTの関数Mで与えられるので正方形はMセンチの長さの直線を含むかどうかを考えれば良いだけであるがこれは含む。このことは図形の中にyが1/2cmの時、1cm、1/4cmの時も1cmのx軸に並行な直線が存在することを考えれば良いので、Mcmがどのくらいであろうがそれを超える。即ち図形のたった一部分すら描画することはできない。（※正確にはこれは曲線描画速度以上の長さの直線を描画しきることは無いということを使ってるが正しいだろう）
故に任意有限時間で描くことは不可能なので無限時間で描くことは不可能である。しかし、無限時間で描画の実行計画を立てるのが不可能とは言っていない。これは対角線論法、時間の分割付近にある簡単なことな気がしたが案外すぐには分からなかった。（問題提起１「漸近的描画性（※造語です）」）

描画速度が連続でない時

上記証明は本質的に速度連続を用いている。即ち最大速度が決定してしまうところに用いている。wikiによると曲線の長さという定義に速度連続性はいらないので、描画速度連続でなくても有限時間にて曲線の長さ有限であれば上記議論、、というかもっと直接的に描画不能なことが言えそうであるが、正確な議論は分からない（問題提起２「速度連続性が無く長さ無限時の描画性」）。

ハウスドルフ次元

妄想してたら色々分からないことが出てきたのでちょっとネットで調べてたら、フラクタル次元というのがあるらしい。１次元というのは直線のこと、２次元というのは２本の直線ではられる空間のことである。ここで私は「曲線も直線相当であり１次元というのは考えるまでもなく明らか、読者に次元の差の本質を紹介する記事書いたろ！」と思っていたが考えていると自分自身分からなくなってきたという経緯がある。
つまり次元というのは１とか２とかそこには確固たる差があるのだが、曲線で描かれる次元は１次元と本質的に違うものがあり２次元でも無いのだが、むしろ２次元に近い曲線が存在する（真に１次元より大きく、真に２次元より小さいと考えるべきもの）ということだ。（※多分！）
１０年以上前に読んだ新井仁之先生のルベーグ積分という本の後半に書いてる気がする（後半からは読んでない）。（※これも多分！）
問題提起３「ハウスドルフ次元」とは何か？

まとめ

執筆用に考えてたら自分が沼にハマってしまったので、後から考えるかどうかは兎も角、思考のメモ、ヒントを残すために記事に起こした。

自明に見えて案外自明では無いことってあるんだなぁ、って自分自身とても勉強になりました。今回はほとんど妄想に近いところがあるので信頼しないでください。いつかしっかり分かったらちゃんとした記事に起こすかもです。

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