解析学の位置付け

代数学、幾何学、解析学というのが純粋数学における３大ジャンルとされている。
代数学は大きさのない点、それ即ち何を思っても良いというものをまるで代数学というものそのものの単位元と思えるような学問に対して、解析学というのはその「点」を関数というものに具体化したものといえる。関数とは２変量の関係があって初めて定まるものであり、その意味で本来は単位元にならないが、例えば線形代数における行列Aは線型写像の表現であり、関数である。故にこれを主に取り扱う場合線形代数は解析的な分野と思える。(※「代数と言いながら解析なのかい！」と思うかもしれないが、分野分けはあるものの拘る必要はない。)
分野分けは深く考え過ぎると、「現状で解析学と言われているものが解析学」としか言えなくなるので大体雰囲気で分かったら後は適当でいい。

解析学の目的

「勉強する上でのオチが無いと勉強する気にならない」という態度は正しい。
オチというのは学べば学ぶほど「自分は未熟だからそんな事言える立場じゃない」などと思いがちで、結局「皆勉強する中で調べたりして感じろ」という責任放棄になりがちなので、私が今知り得る限りで、私の言葉で誠心誠意(饒舌に語るのは純粋数学をやったものからすると「怖い」と思えるかもしれないがキニシナイ)伝えよう。

1. 偏微分方程式論
   オチとして多分これを専攻している人間が一番多い。例えば$${(\partial_t - \Delta)u = }$$は熱方程式といい最も簡単な偏微分方程式の一つであるが、ここでのuというのは時空間における関数である・・・ということから単位元という舞台設定を点の中でも関数という具体性をもってやっているので解析学なのだ。
   そして具体的にはこれを解くということや、解の性質を追うということをやりたいのがオチである。

2. 確率論
   上記関数uは時空間変数が与えられれば確定的と思っていい。(※未知変数という意味では確定的では無いのだが、その意味とは違う)。確率論としてはこのuを確定的でなくし、確率変数というものにする(即ち関数が時間変数のみ持っているとして時間が与えられた時に分布のみが確定的)。つまり基本的な解析学にワンステップ挟み、より汎用性を持たせたのが確率論である。

3. 多変数複素解析
   今は昔、解析学といえば複素解析であった。解析には大きく分けて実解析と複素解析というものがあるのだが、複素数を使えばこれである。確率論と同様、基本的な解析の関数の変数xを複素変数zと思えば複素解析であるので、より汎用的とも言える。
   私はあまりやったことない。
   どっかで目にしたことがあるのだが、調和解析が実解析的論展開が出来るようになってから研究は鎮火気味。的なのを聞いたことがあるがどうか(※不正確です)。

まあ解析学はストレートに進めば偏微分方程式論であるし、修士院生レベルが最先端に触れることが出来やすいのもそこと感じるので、それをオチとして以降学び方を書いていこう。

微分積分学・線形代数学・集合と位相

これは教養数学の３大分野と言ってもよく、何らモチベーションがなくても残念ながら避けては通れないと思う。。なので大学入学後はまずここをやろう！
またこれを知らない数学者は存在しないので、極端に変なものでなければ本は何を使ってもいいと個人的には思っているが、まあ一応後で私のセレクトを紹介する。

微分積分学

微分とは２変数の相関関係を捉える学問であり、積分とは２変数が作る面積という特徴量を出力する取り組みである。微分と積分は逆作用にあるというのが微積分の基本定理と呼ばれるものであり、それ故微分方程式は同等なる積分方程式とも思えることができ、その方が都合の良いことがある。
またユークリッド空間上の連続関数を仮定しており、基本的な関数に関する増減的性質検査的学問である。
特に数列の極限の捉え直しから始まるのだが、解析学を通してユークリッド空間のような距離空間と呼ばれるものに対しては、空間における局所的(極限的)性質が全て数列の言葉に還元可能であるからやるのである(キザな言い方をすると空間は第２加算公理を満たすからである)。
最初に注意した通り、微積の本など何でも良いのだが、例えば以下は標準的テキストである。

また下の本はスパイスが効いており、多分何年か修行した後でないと読めないと思うが、真の実力がつく。

あと、一応名著と呼ばれているものをあげておくがかなり読みにくいと思う。

注意として、数学と言うのは知識ゲーでもなく、名著読みましたマウントゲーでもない。真の価値をよく考えましょう。

線形代数学

有限次元ユークリッド空間上の線形作用素論と思って良い。
解析学の単位元は関数。ということから解析学では関数空間を扱うのだが、関数空間は明らかに有限個の関数で張ることは再現不可能である(ある有限個の関数を固定しておいて任意関数がそれらの重ね合わせで表現できたら天地がひっくり返りますね)。無限個でも不可能な気がするかもしれないが、これは後に構成するルベーグ測度により位相を構成すれば実は出来る。
線形代数は線形作用素が行列Aによって表現されており、単なる$${n \times n}$$個の数値の解析によりスペクトル理論が完成されている。その摂動として無限次元をどれだけ把握できるかどうかは兎も角、無限次元をやる前にやろうというステップとしては自然である。しかし無限次元の推論だけでなく、数理モデリングによっては有限次元の解析そのもの、即ち線形代数論を使うことも多くあり、その意味で（特に応用系にとっては）有限次元の理論自体も独立して大事である。
これも別にどのテキストでもいいが、下の本は解析学におけるスペクトル分解を意識している。そして論証がかなり丁寧で読みやすい。

上が一旦読めた後、私は下を辞書がわりに使っていた。辞書というのはあまり無駄な事が書いていない方がいい。

応用系、例えば機械学習などの方は上記では足りない行列代数的な知識が必要と思うが、上が読めたら後は自力で探せるレベルになると思う。

集合と位相

位相空間という解析において最も重要と思う概念について学ぶ。
・・・疲れてきたので概略は昔私が書いた記事を読んでください。

これもどの本でも良い。例えば下の本は全ての数学書の中で私が初めて通読できた本である。２年の夏休み・・・。

微分積分で梶原譲二先生の語り口にハマった人は下の本も良いだろう。不思議なことにこの本は独習微分積分とあまり難度が変わらないように思う。位相空間の項では位相を入れる為の様々な手法の同値性が懇切丁寧に説明されてある。

特に位相空間の分野で駄目な本は一冊も見たことないので、逆に駄目に書く方が難しい分野なのではないかと思っている。

・・・下は加筆予定

疲れたのでまた今度！スキとかいっぱいしてくれるとやる気が上がって書くかもしれません！！

ベクトル解析

複素解析

常微分方程式

フーリエ解析

ルベーグ積分

関数解析

超関数

ソボレフ空間

偏微分方程式論

その他(ウェーブレット、調和解析、確率微分方程式等・・・)