モチベーション

ちょっと古いかもだが「三角関数なんて使わない、要らない」的な発言が有名政治家から出てたのがある。「いやいや、それはおかしいだろ」、「反知性主義なのかな？」的な感情は色んな所で目にしたが、皆こっそり「定義ってなんだっけ？」、「いや実際に何に使うんだろう？」って心の底では思ってるかもなと思い書くことにした。
有用性を特に知らなくても数学が科学の発展に大きく寄与していること、数学できる人が「必要」と言っていることは明らかなので、それを「要る」の根拠にすることは「分業」として何らおかしいとは思わないが、折角ならその意味、その奥深さを今度こそは理解するぞ、というのも良いのかもしれない。
内容は中学生以上向けで特に数式を使うつもりはなく、そんなに難しくないが本質に触れるのでそこの難解さは残るかもしれない。

定義

角度θに対して直角三角形の(横)/(斜辺)をcos θと言い、(高さ)/(斜辺)をsin θと言う。
しかし、二次元座標を取った方が見通しが良いので原点Oに対してx軸を基軸にして反時計回りにθを取っていった直角三角形を考えよう。（※今後それを念頭に話していくから適当に図を検索して並べて読んでみてね）

定義と円の結びつき

検索した図には円がきっと付属しているだろうが、まず単位円を考える。円上の（第一象限だけで本質は分かる）好きな点を取ってそっから直角三角形を描いてみると、斜辺は１だからcos θ ＝x、sin θ ＝y …(❇︎)である。
逆にむしろこれを定義と思ってみると、定義としてwell-defined（※定義可能の意）では無くなる。角度θからは原点からの半直線が思い浮かべれるのに対して、xというのはその半直線上からの一意の値を意味してないからだ。
一意性を出すためにはθから自然に出る半直線と単位円の交点、そのx座標をcos θとしなければならない。
つまり(❇︎)をwell-definedにしたもの（スケールrに対して正規化）が定義であり、単位円のx座標、y座標がcos、sinと思うことが本質である。

円の方程式との繋がり

$${x^2 + y^2 = 1}$$は単位円の方程式であるが、三角関数にも似たような式が成立する。$${cos^2 θ + sin^2 θ = 1}$$。これは単位円のxはcosの事、単位円のyがsinの事なんだから、なんてことはない当たり前の式である。
単位円上の点(x, y)を考えることは(cos θ, sin θ)を考える事と同等である。
特に三角関数の変換を前提に思うと、(x, y)がθという文字に縮約される。二次元の情報が一次元に縮約される原因は、(x, y)に対して単位円という制限があることによる。

極座標って何だろう

次に、二次元座標に対して原点を中心とした同心円を無限に考えてみる。
①同心円は全て単位円のスケールrを変えて作られるものである
②全ての同心円を持ってすれば二次元座標の全てが自然に埋め尽くされる
という事実がまずすぐに分かる。
①の事実と単位円上の点は三角関数を念頭に置いてθを持って縮約されて表せれるという事実から同心円の全ては、二次元の情報(r, θ)として保持できてるということになる。
また②によって(r, θ)を考えることは(x, y)を考えることと同等であるということが分かる。
この時、二次元空間を(r, θ)という変数で捉えたものを極座標と呼ぶ。ここで三角関数は(x, y)~(r, θ)を繋ぐための糊となっている。

便利な極座標

極座標とx-y座標は問題によって切り替えるのがよろしいし、我々は現実でも素直にそうしてる。例えば東京は北緯３６度、東経１４０度だが、これはx-yとしての意味で位置を示している。
「あっちの方向に１００mくらい行けばコンビニがあるよ」というのはあっちの方向(θ)、と１００m(r)として極座標で位置を示している。
現在の緯度経度が分かっており、目的地が今の地点を原点に極座標的な物言いでなされる時には、三角関数という糊を使って足し算を行い、目的地の緯度が分かるわけだ。

まとめ

他にも三角関数には実は指数関数との結びつき、フーリエ変換との結びつき、工学への応用、数学への応用とか初等的な意味を超えて深い意味が眠っているのだが、かなり高度なのでいつか有料で書くかもしれない。
今回のオチは座標の読み方（地図）ということにしておこう。読者の皆様は単位円のx, yこそがcos, sinという事から全てが始まったということ、単位円のスケール変換（同心円上の広がり）というのを意識してみると良いかもしれない。
座標を考えたら方角θを考えるのが普通であるし、方角θが入ったら、三角関数を入れないと演算不能なので、結局座標を用いるケースにほぼ必ず入れる概念になっていると言う事だ。今後「三角関数って何で習うの？」と言われたら手始めにこれらを返してみたらどうだろうか？

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以上ご清聴ありがとうございました。