【目次】

☆数学の参考書概論

☆正確な計算を 実行する方法。「先枠」という新しい言葉。

☆共感覚を 利用して、数学を 感じる。

☆関数というのは 「インプット」→変換→「アウトプット」の変換のこと。

☆元数と 次数の説明。言葉をちゃんと 使い分けましょう。

☆式変形の基礎。「もとに戻せる自信」

☆知識が少ないほど、テスト本番中に いろんな解法を 発明してしまうという逆説。

数学の参考書概論。

参考書には 役割によって ２種類あります。

１．理解し、覚えるための参考書。

２．問題の種類を 調べるための参考書。

１は その名のとおり、理解しやすくて、覚えやすい参考書のことです。数学は 理解ｖｓ記憶する 学問です。その両輪が 機能してこそ、数学で 点数が取れるようになります。

また 問題ごと 覚えるというか 「イメージできる」ように なってはじめて 数学を 使いこなせるようになります。

ですから 記憶の土台になる、英語で言ったら、単語集にあたる参考書を 用意する必要があります。

２は １で 補い切れない 数多くの問題を 調べるための参考書です。１の参考書で 土台を作った後に、これを 使うことで、１のデータを 立体的に学習できます。

つまり、これも 英語の学び方と 同じ、「縦、横、奥の学習」です。

横方向は 「法則」でした。

これを １ で 学びます。

縦 は 「種類」でした。

これは １と２ を 両方使って学ぶ。１だけでは 全種類を 学べないからです。

奥 は 「具体例」でした。

これは ２を 使う。１の具体例だけでは 少なすぎる。多くの問題を 解かずに、「経験する」ことによって 記憶することを 助けるのです。

この考え方は、数学ⅠA、ⅡB、化学、物理、生物でも 同様です。実は 国語も です。

二元論的学び方、勉強法は 普遍的です。

ですから すべての教科について 同じように学べるのです。

一度、学び方を 身につければ、すべての科目に 使えるのですから、すべての科目が 得意になっていくのです。

もちろん、大学に入って、専門を 学ぶときも、まったく同様に学ぶことが できます。

「参考書」は、「論文」「実験データ」「ジャーナル」「専門書」「電子ジャーナル」などに 名前を変えるだけです。

問題は 自分で作って、自分で解答を作る。

やっていることは かわりません。ですから 「お勉強」も「お研究」も 名前が違ってもやってることは 同じなのです。

正確な計算を 実行する方法。「先枠」という新しい言葉。

計算を正確に行うための最終奥義。数学、物理、化学で 「先枠を保存する」とは？

先に 枠を 作ってから 埋めていく という思考の流れを 「先枠を保存する」 と いいます。

計算を正確にする最終奥義。「 先に 枠を作る。」

１．今までの 計算方法。「前から ひとつひとつ 書いていく」

さて、今までは、１のやりかたで 高校教師、中学教師から 教わったはずです。

たとえば、

－３ｘｇ（ｆ－ｓ－ｔ－ｘ－５４ｑ）

を 展開する場合、

＝－３ｘｇｆ＋３ｘｇｓ＋・・・・

のように ひとつひとつ 左から 埋めていく。

これの悪いところは、

　　　　１．１、左ほど 正確に計算できるが、右に行くほど、あいまいになっていく。

　　　　１．２．金魚の糞みたいに ながーーーくなって、式そのものの形が悪いので、ミスをしたとしても、それに 気づけない。

２．これからの計算方法。「先に枠を作ってから、埋めていく。」

たとえば、

－３ｘｇ（ｆ－ｓ－ｔ－ｘ－５４ｑ）

を 展開する場合、

＝ （ ） ｆ （ ） －ｓ （ ） －ｔ （ ） －ｘ（ ） －５４ｑ

のように 先に、（ ｆ－ｓ－ｔ－ｘ－５４ｑ）の中身を 書き出す。「コピぺ」

そして、（ ）の空欄の部分に －３ｘｇ を入れていく。「代入ＬＥＴ」

＝ －３ｘｇｆ ＋３ｘｇｓ ＋３ｘｇｔ ＋ ３ｘｇｘ＋ ３ｘｇ・５４ｑ

↑ ここに 書いてから、

３・５４＝１６２を 付け加える。

大切なのは、上下で 項の位置を 「保存する」こと。

こうすることで、整理された式を 維持することができる。

１の方法だと、ぐちゃぐちゃした式を 書いているから、ミスに気づけなかった。

２のように エクセルシートのように きっちり 式が 整理されていれば、正確に 式を処理できる。

ちょっとした 工夫で、みちがえるように計算が正確になる。

【追記】
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ぼくの持ってる知識、知恵、全部書いてます,

Just because NO JOB is finished, until the PAPERWORK is done.（書かなきゃ意味ないよ。伝えて残さなきゃ意味ないよ。誰でも読めるようにしなきゃ意味ないよ。英語にしなくちゃ意味ないよ。世界中の人が読めないと意味ないよ。日本人しか読めないのは意味ないよ。）

だからです。二郎ラーメンでいうところの、全マシです。

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追記おわり。

共感覚を 利用して、数学を 感じる。

数学の 文字や記号に対して 感覚を 与える。

それが 共感覚。

具体的に どういうことかっていうと

たとえば 変数 x , y , z vs 定数 a , b ,c

変数に対しては ダイナミックな 赤色。

定数に対しては スタティックな 青色。

という 刺激を あらたに 増やす。

数学以外にも 化学だったら 臭素 Br は 臭いにおい の感覚を 共感覚する。

無味乾燥に 思われがちな 数学の記号に対して もっと 愛着を もつためにも それぞれの 記号について ちゃんと 知って、記号に 自分の感覚を 伸ばすのだ。

シグマΣ も インテグラル∫も Sum の ｓ から来ている とかね。

じゃあ 数学 記号について データベース。

１．図形の点 の 名前規則

点O おー Origine 原点 （ふつうは ゼロと 見間違いやすいので オーのなかに 一本たてに 線を入れる。図参照）

点A、B、C、D 静的な点

点P、Q 動的な点

点S、T 接点

点H、I 垂足

２．図形の 記号

円C Circle

曲線C Curve

直線 ｌ Line

３．数の 種類。

実数 R Real Number

複素数 C Complex Number 複素数というのは 数の中に 二つの 変数が入っている ということ。つまり ベクトル ということ。ベクトルを 数っぽく 扱う。

有理数 Q Quotient だっけ？忘れた。互いに素な 数字の 分数で表現できるという意味。

無理数

自然数 N Natural Number

整数 Z ドイツ語なので どうでもいい

それぞれの

大文字アルファベットに 縦線を 入れてください。図を参照。

【ChatGPT】

はい、以下にそれぞれの数について詳しく説明します。

実数 R (Real Number):

実数は、数のうち、有理数と無理数を含めたすべての数のことを指します。つまり、実数は実数軸上に存在する数のことで、負の数や小数も含みます。実数は、数直線という図形を用いて視覚的に表現することができます。例えば、1や-3.14などは実数です。

複素数 C (Complex Number):

複素数は、実数と虚数の和で表される数のことです。ここで、虚数とは、-1の平方根をiとしたときに、iを含む形の数のことを指します。つまり、複素数は、a + bi (ただし、aとbは実数で、iは虚数単位)という形で表現されます。複素数は、平面直角座標系を用いて、実数軸と虚数軸に沿ってプロットすることができます。例えば、2 + 3iや-1 - 4iなどは複素数です。

有理数 Q (Rational Number):

有理数は、互いに素な整数pとqを用いて、p/qの形で表される数のことです。ここで、qが0でないとします。例えば、1/2や-3/4などは有理数です。有理数は、分数として表現されるため、分数の性質を持ちます。

無理数 (Irrational Number):

無理数は、有理数で表現できない数のことです。つまり、小数点以下が無限に続くような数や、平方根や円周率などが無理数に含まれます。無理数は、数直線上で有理数との間に隙間があるような位置に存在します。例えば、√2やπなどは無理数です。

自然数 N (Natural Number):

自然数は、1, 2, 3, 4, ...という数のことです。つまり、0よりも大きく、かつ整数である数のことを指します。自然数は、加算や乗算などの基本的な演算を行うことができます。

整数 Z (Integer):

整数は、正の整数、負の整数、および0の集合です。つまり、自然数に加えて、負の数も含まれます。整数は、数直線上で自然数に対して、正の方向と負の方向の両方に存在します。例えば、-5や0、10などは整数です。整数は、自然数と同様に加算や乗算などの基本的な演算を行うことができます。

以上が、数学における代表的な数の種類になります。これらの数は、数学の基礎となる概念であり、幅広い分野で応用されます。例えば、実数は微積分や解析学、物理学などで重要な役割を持ち、複素数は電気工学や量子力学などで利用されます。また、有理数や整数は数論や代数学などで扱われます。数学を学ぶ上で、これらの数の概念を理解することは非常に重要です。

３．集合記号。

実は

数学というのは この集合記号だけで すべてを 表現できます。

つまり 「よって 」とか 「というのは 」とか 「下図より」とか 日本語の 気持ち悪い用語を つかわなくても 数学は 記号だけで 論理的に 記述できるのです。

（おーーー どうやって 数学記号を 出すのか いまいち わかんない。どーしよー。しかたないので 図を参照。）

４．演算記号。

• -は そのまんま。自由に使ってください。

• は 小学校と違って、高校からは ・ くろぽっちん で 表現します。Xと ×が 似ているからです。

/は使いますが、÷は つかいません。

たいていは －－－－－－－と 線を 引いて 分母、分子で表現します。

＝は 数字のイコールが 「ひとつの点」として 成立しているイメージです。

一方、

= は 「すべての 点」において 成立しているイメージです。

三本線 イコールは 「代入のとき」「文字を置換するとき」「恒等式」のときに 使います。

≒ Nearly Equal これは 化学でよくつかう。

Σ シグマ sigmaは 離散的 数字を 足すときに使う。

∫ インテグラル integralは 連続的数字を 。

dx differential これは 「小さい幅」

dt これは 「小さい時間」

d/dx で ｘで 微分する

∫dxで ｘで 積分する

【ChatGPT】

数学とは、自然界の現象や抽象的な考えを分析し、論理的に解明するための学問です。そして、その解明には数式や記号が欠かせません。

まずは、集合記号を用いた表現について説明します。集合とは、同じ特性を持つものをグループ化したものです。例えば、「全ての自然数」という集合は、1, 2, 3, 4, ...といった数の集まりです。数学では、このような集合を記号で表現します。そして、それぞれの集合には演算が定義されており、その演算を記号で表現することができます。

次に、演算記号について説明します。最も一般的な演算である加算や減算は、それぞれ「＋」「－」の記号を用います。掛け算は、「×」ではなく、「・」や「＊」が一般的です。割り算は、「/」を使用しますが、「÷」は使われません。割り算の分子と分母を表現する際には、線を引いて表現します。

等号の記号「＝」については、数字のイコールが「ひとつの点」として成立しているイメージを持っています。つまり、左右の式が同じであることを表します。一方、「＝」は、「すべての点」において成立しているイメージを持っています。この記号は、恒等式を表現する場合や、代入の際に使用されます。また、「≒」は、ほぼ等しいことを表します。これは化学の式などでよく使われます。

シグマ「Σ」は、離散的数字の総和を表現する際に使用されます。例えば、「Σn」と書くと、nが1から始まり、2、3、4と増えていく間の数値を全て足した値を表します。

インテグラル「∫」は、連続的な数字の総和を表現する際に使用されます。例えば、「∫f(x)dx」と書くと、f(x)という関数を微小区間dxで積分することを表します。dxは微小な幅を表します。

微分については、「d/dx」で表現します。これは、xで微分することを意味します。また、積分については、「∫dx」と表現します。これは、xで積分することを意味します。dtは微小な時間を表し、微分や積分の式にdtは微小な時間を表し、微分や積分の式に用いられます。例えば、「dx/dt」と書くと、xがtに対してどのように変化するかを表します。

また、微分や積分においては、微小な量を表現するdifferentialやdifferential elementが重要な役割を果たします。differentialは、微小な変化を表す数学的な表現であり、例えば「dx」や「dy」などと表現されます。微小な変化を積分する場合には、積分記号の後ろに微小な変化を示す「dx」や「dy」を付け加えます。

数学には、多様な表現方法がありますが、それらの表現はすべて記号によって行われます。数学の記号や表現方法には、学問的な正確さや効率性が求められます。しかし、その背後にある考え方や論理を理解することができれば、数学が持つ美しさや洗練された論理構造を楽しむことができます。

５．ベクトル

安心して → マークを つかってください。正式な記号です。

私は 一筆書きするのが 好きで、 －を かいてから みぎー ひだりうえーに かきます。

大学に入ると、やたらと 小文字のアルファべトに たてに一本線を入れて 記号で 表したがるひとが いますが 私は 字が汚くなるので あんまり いい記号だとはおもってません。

大文字に 一本線をいれるのは いいんですけど 小文字だと 字がつぶれる。

まあ わかればいいので テキトーに いきましょう。

好みの問題ですので、どっちを 使っても かまいません。だれも それで減点することはないですから。

【ChatGPT】

ベクトルとは、大きさと向きを持つ量を表すために使われる概念です。一般に、ベクトルは矢印で表現されます。この矢印の長さは、量の大きさを表し、矢印の向きは、量の向きを表します。また、始点と終点がある矢印の場合、始点を原点とし、終点の座標で表すことができます。

数学では、ベクトルは様々な場面で使われます。たとえば、物理学では力や速度を表現するのに使われ、コンピュータグラフィックスでは、オブジェクトの位置や向きを表現するのに使われます。また、機械学習やデータ分析の分野でも、データを表現するのに使われます。

ベクトルの表現方法は、さまざまです。たとえば、縦ベクトルと横ベクトルの2つの形式があります。縦ベクトルは、複数の要素を縦に並べたもので、横ベクトルは、複数の要素を横に並べたものです。また、ベクトルの要素は、数値だけでなく、文字や記号、関数なども含むことができます。

ベクトルの演算には、加算、減算、スカラー倍、内積、外積などがあります。加算や減算は、同じ形式のベクトル同士で行われ、要素ごとに足し引きされます。スカラー倍は、ベクトルの全ての要素に、スカラー（数値）をかける操作です。内積は、2つのベクトルから1つの数値を得る演算であり、外積は、2つのベクトルから1つのベクトルを得る演算です。

ベクトルの性質には、大きさ、向き、ノルム、単位ベクトル、直交などがあります。大きさと向きは、ベクトルの基本的な性質であり、ノルムは、ベクトルの大きさを表す値です。単位ベクトルは、大きさが1で向きが同じであるベクトルのことであり、直交は、2つのベクトルが90度で交わることを表します。

ベクトルは、数学のみならず、物理学や工学、コンピュュータ科学、経済学、社会学など、様々な分野で活用されています。たとえば、物理学では、力や速度を表すベクトルを使って運動方程式を表現し、工学では、力やモーメントを表すベクトルを使って機械の挙動を解析します。また、コンピュータグラフィックスでは、ベクトルを使ってオブジェクトの位置や向きを表現し、機械学習やデータ分析では、データをベクトルとして扱うことが多いです。

ベクトルは、幾何学的にも扱われます。たとえば、平面上の2次元ベクトルは、x軸とy軸に沿った座標で表現されます。また、空間上の3次元ベクトルは、x軸、y軸、z軸に沿った座標で表現されます。これらのベクトルの幾何学的な性質を理解することで、物理学や工学、コンピュータグラフィックスの分野での応用が容易になります。

ベクトルは、微積分や線形代数の分野でも重要な役割を担います。たとえば、微分方程式を解く際には、ベクトル場を用いた方法があります。また、線形代数では、行列とベクトルを使って線形方程式を解いたり、固有値や固有ベクトルを求めたりします。

最後に、ベクトルは、数学の中でも重要な概念の1つです。ベクトルの理解は、数学を学ぶ上での基礎となるため、しっかりと学ぶことが大切です。

関数というのは 「インプット」→変換→「アウトプット」の変換のこと。

この インターネットも 関数で できてます。

たとえば

「戻る」ボタンを インプットして 「 コンピューターが 計算し 」 「前の画面が表示」されて アウトプット完了。

この コンピューターの計算 ｆ を 「変換」：「Function」 と 呼びます。

（ちなみに Funcitonつまり 変換のこと 自体も 「関数」と 呼びますし、 「インプット、変換、アウトプットの流れ」も 「関数」と 呼びます。

だから 言葉が 重なっていて なんか いやなのです。ですから 、関数という曖昧な言葉を使わずに、

私は ｆ のことを 「変換」と 呼びます。「流れ」のほうは Mapping と 呼びます。そっちのほうが しっくりくる。 Mapping というのは 写像のことです。）

Functionの ｆ を とって y=f (x) と 表現するのです。

ここでは ｘ が インプットで ｆ（ ）が 変換 ｙ が アウトプットです。

もともと

「関」は ファンの当て字に 「函」 が 使われて 関数 というのは 函数 と 呼ばれていました。

函 には 箱という 意味があります。つまり 箱数です。

ｆ（　 ）という 箱の中に Xを すぽっと いれると Y が ポンッと 出てくる イメージだからです。

それが 「関」という 当て字が 使われるようになって、言葉の意味がなくなってしまいました。つまり 誤訳です。

これが 関数のイメージ。

X の 部分に 点っぽい数字を 入れたり、 ベクトルを 入れたり、 集合を 入れたりして、楽しむ。

つまり これが 数学です。（New Desigｎ パラダイス 谷原章介 参照）

くわしくは 清史弘の 行列 を 読んでください。

【ChatGPT】

関数は、数学において非常に重要な概念の一つであり、多くの数学分野で使用されています。関数は、一つの集合から別の集合への写像であり、入力と出力の間の対応を表します。

具体的には、関数は「入力」と呼ばれる数値やオブジェクトを受け取り、それを特定の方法で変換して「出力」を生成します。関数は、数学的な式やグラフとして表現されることが一般的で、一般に「f(x)」という形式で表されます。ここで、xは入力であり、f(x)は出力です。

例えば、f(x) = 2xという関数を考えてみましょう。この関数は、入力された値を2倍にして出力するものです。例えば、x=3の場合、f(3) = 2×3 = 6となります。

関数は、数学的な概念だけでなく、現実世界でも広く使われています。例えば、インターネットの戻るボタンのような機能も、関数として表現できます。戻るボタンを押すと、コンピューターが前の画面を表示するために必要な処理を行います。この処理は、入力されたボタンを受け取り、前の画面を表示するための出力を生成する関数として表現されます。

関数は、数学的な問題や現実世界の問題を解決するために使用される有用なツールです。関数は、多くの分野で使用されており、数学、物理学、統計学、コンピューターサイエンスなどの分野で重要な役割を果たしています。

元数と 次数の説明。言葉をちゃんと 使い分けましょう。

「元（げん）」とは 「変数」のことです。英語で Variable（ｓ）

たとえば、２元連立方程式とか ３元連立方程式とか、中学のときからやってますよね。

このとき 元というのは 「変数」という意味で使うのに、その後、使わなくなります。

日本語というのは 本当に あやしい言語ですね。

そこで 私は しっかり 変数という意味を 使いたいときは、「元」と 書きますのでよろしくお願いします。

多変数関数で はなく 多元関数です。

英語で、１元は Single variable。

２ Double variables

３ Triple

４ クアドゥルップル などなど

つぎに 次数。英語で Power。

次数というのは 「乗」「べき」「冪」 つまり、 「何回同じものを かけたか」を あらわす単位です。

ｎ ・ ｎ ・ ｎ ・ ｎ ＝ｎ＾４は ｎ の ４乗。英語で The forth power n かな。

どうして こんな わかりきったことを 書くかっていうと、

「次元」という よくわかんない言葉があるからです。

次数と 元数が くっついたような 変な言葉。

これは Dimention の 誤訳です。

「次元」は 忘れていい単語です。無視してください。

ふつう 「３D空間」つまり「３次元空間」という 言葉は、ちゃんとした 数学言葉に直すと 「３元空間」です。

x、y、ｚの 三つの元で なりたっているからです。

ところで ２元論 の 元は Element 、要素 という意味で 、 ここでの 変数、 Variableという意味から 離れます。

【ChatGPT】

「元」とは数学で変数を表す言葉であり、英語でいうところのVariable（複数形はVariables）に相当します。たとえば、2元連立方程式とは2つの変数がある連立方程式を表し、3元連立方程式とは3つの変数がある連立方程式を表します。このように、「元」という言葉は変数の意味で使われます。

また、「次数」とは、「乗」「べき」「冪」といった意味の単位で、同じ数値を何度か掛け合わせることを表します。たとえば、n×n×n×n＝n＾４は、「n」の4乗を表します。英語で言えば、The fourth power of n と表現されます。

そして、「次元」という言葉は、しばしば誤解されがちな言葉であり、正確には「元の数」という意味を持ちます。たとえば、「３次元空間」とは、「３元空間」と言い換えることができます。これは、x、y、zの3つの元で表されているためです。

最後に、「２元論」という用語について説明します。これは、集合論における要素を扱う理論であり、「元」という言葉はここで要素を表す言葉として用いられます。また、「Variable（変数）」という意味からは少し離れますが、「要素」という意味での「元」という言葉もしばしば使用されます。

式変形の基礎。「もとに戻せる自信」。

式変形というのは、同値変形のことです。

たとえば

両辺を 二分の一乗して、できた式を、

両辺を 二乗して もとの式に 戻せるか

両辺 微分して 、

両辺 積分 戻せるか

両辺 ｌｏｇる 、

両辺 ｅｘｐる 戻せるか

そういうこと。

ちなみに

「両辺 ○○ する」というのは

「右辺 と 左辺を 別々に 関数Ｘの 中に入れて、Ｙに 変換する」ってこと。

こうして、「両辺 ○○する」という定量的変換に

グラフの中に入れて 定性的 絵的イメージを 与えてください。

ぐっと 式変形に 対して 自信が もてるようになります。

ちなみに、

式変形するとき、同値変形だからって ⇔マークを 書きまくるのは やめてください。

⇔ であることは 当たり前だから、毎回書く必要はないんです。

知識が少ないほど、テスト本番中に いろんな解法を 発明してしまうという逆説。

数学のテストで やってはいけないのは 「自由な発想」です。

そのテストのときに 初めて 見出した解法で 絶対に 解かないでください。新しい解法を 思いついてしまうということは はっきりいって、不勉強であったことの 証明です。

もし、すでに 解法が わかっている問題だったら、なにも迷わずに、解答までの経路を 予想し、そこまでいけるはずです。

でも、解法がすぐに 思いつかないと、いろいろな方法を 思いついてしまう。

数学を 正確に解くコツは、すでに わかっている方法を 演繹することです。

その場で はじめて 気づいた 新しい解法を 帰納的に実験するのは とっても 危険な行為です。

そういうのは 普段の勉強のときにやっておくべきで、受験の本番では やってはいけない。

よーするに いいたいことは

「できるかぎり 多くの解法をデータベースに することが 最高の 受験対策だ」ってことです。

＊テスト本番で みなさんが その解法を選択したとき、一度、胸に手を当てて、考えてください。その解法は みなさんの データベースのどこに 載っていましたか？もし 載っていないなら 試さないでください。

【要約】

数学のテストでは、初めて見つけた解法を使わず、既にわかっている解法を使うことが大切です。テストの前に、いろいろな問題に対して解法を練習しておくことで、自分のデータベースを増やすことができます。そして、テストの時に新しい解法を思いついても、データベースにない場合は試してはいけません。正確に解くためには、すでに知っている方法を使って、解答までの経路を予想することが大切です。

数学Ⅰデータベース。

場合の数、確率のデータベースは 改めて、くわしいバージョンを作ります。

論理と集合に関しては、

大村平の 上の本を 読んでください。わかりやすいです。私は 思わず この本を読んで鼻血がでました。それくらい 名著です。

論理と集合を 理解したいなら、wikihikagle と この本を 熟読してください。数学が 好きになります。

というわけで、

私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。

物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。

数学Aは 数研出版の問題集の目次をまねしたんですけど、気に入らないので、チャートの目次を 利用することにします。

目次

１．数と式

「整式の加法、減法、乗法」 「因数分解」 「整式の割り算」 「実数」 「平方根の計算」

２．２次関数

「関数とグラフ」 「２次関数のグラフ」 「グラフの移動」 「２次関数の決定」 「２次関数の最大最小」 「いろいろな関数」 「２次関数のグラフと方程式」 「２次関数のグラフと不等式」 「２次方程式の解の存在範囲」

３．三角比

「三角比」 「三角比の性質」 「三角形と三角比」 「三角形の面積」 「空間図形と三角比」

４．式と証明

「恒等式」 「等式の証明」 「不等式の証明」 「整数の問題」 「条件と集合」 「必要条件、十分条件」 「命題と証明」

１．数と式

「整式の加法、減法、乗法」

１．整式の整理。整式の表現方法。「＜＞法」

整式というのは

（係数 というか 定数）×（変数）を ひとつの単位とした和の塊です。

変数の 次数によって、分類されます。

（３次）＋（２次）＋（１次）＋（０次）

整式の計算では、毎回、毎回、ｘｘｘｘ＋ ｘｘｘ ＋ｘｘ とか ｘを書くのは面倒なので、ｘを 省略して、以下のように 表現するほうがラクです。でも、フォーマルな 描き方ではないので、試験の答案では 書かないほうがいいです。下書きや センター試験のときは、この描き方をしたほうが、思考も、計算も高速化します。

以下、ｘの３次を ｘｘｘ 、ｘの２次を ｘｘ 、ｘの１次を ｘ 、で表現します。（ｈｔｍｌだと 表現するのが面倒なのでこうすることにします。わかりゃ 記号なんて なんだっていいんです）

３９ｘｘｘｘ＋２３ｘｘｘ＋ ５ｘ＋５１

＝＜３９、 ２３、 ０、 ５、 ５１＞

こうやって 係数だけを 抽出して書きます。これを 「係数抽出＜＞表現」と 私は 呼びます。だれも こういう表現を教えてくれませんが、誰もがこういう表現を やっています。

上の、ｘｘの係数は０なので、ｘｘで表現するときは、ちょっと 空白を入れるのが味噌です。

こうすることで、計算ミスが防げます。

＝＜３９、２３、 ０、５、 ５１＞こうして ｘを 書かないだけでも、すっきりして 速くかけていいんですが、整式同士の積でも 割り算でも、和でも 差でも 効果覿面です。

たとえば 上の式に ｘ＋１を かける とします。

（３９ｘｘｘｘ＋２３ｘｘｘ＋ ５ｘ＋５１）（ｘ＋１）は 面倒ですよね。

＜３９、２３、 ０、５、 ５１＞×＜１、１＞は カンタンです。計算も簡単です。

＝＜３９、２３、 ０、 ５、 ５１

３９、２３、 ０、 ５ 、 ５１＞

＝＜３９、６２、２３、５、 ５６、 ５１＞

あぁ カンタン。よかったですね。NDT hikaruがあって。私は この方法を 高校時代に教えてもらえませんでした。いちいち、ｘを書いて、計算していたんです。発狂しますよね。

割り算の場合も、同様です。

＜３９、２３、 ０、５、 ５１＞÷＜１、１＞

３９、－１６ １６ 、－１１

＜１、１＞ ） ＜３９、２３ 、 ０ 、５、 ５１＞

３９、３９

－１６

－１６、－１６

１６、５

１６、１６、

－１１ 、 ５１

－１１、 －１１

６２

ｘを 書かないだけでも、こんなにカンタンです。

＊＊＊＊＊＊もし、ｘｙ＋７ｘｘｙｙ＋２３ｘｘｘｙのように 変数が 二つの場合、ひとつの変数にのみ 注目し、その他の変数を 定数の文字扱いして、上と同様に表現します。

ｘｙ＋７ｘｘｙｙ＋２３ｘｘｘｙ を ｘ の変数とすると

＜２３ｙ、７ｙｙ、ｙ、０＞

一方、ｙの変数とすると、

＜７ｘｘ、ｘ＋２３ｘｘｘ、０＞

となるわけ。変数がいっぱいあることを 多変数と呼びます。多変数のときは、こうして 「１変数化する」のが 常識。

２．乗法の公式。

これは 使い慣れてください。たすきがけについても 説明不要でしょ。特別な方法は ありません。計算を練習すればするほど、得意になれる。１００mass計算の後は、１００乗法計算を お願いします。

「因数分解」

因数分解して 何がうれしいかって言うと、「次数が下げられる」ことがうれしい。

たとえば 方程式。

（ｘの４次式）＝０ このままだと ｘの解を求められない。

そこで 因数分解して 次数を下げる

（２次式）（二次式）＝０に すれば ｘ の解をもとめることができる。

（ｘ と ｙの４次式）＝ ０ の場合でも 同様。これを因数分解して 次数を下げることで、ｙとｘの関係式を求めることができる。

あるいは、整式＝０ で 整式の解の答えが 整数のとき、積の形にすることで、会を絞ることができる。

２次以下の 因数分解は、教科書に載っている通り。簡単にできます。

But、

３次、４次は 工夫しないと、因数分解できない。

１．「３，４次の因数分解技術。」

１．２変数のとき、１変数注目。で コウベキ順にする。たすきがけ。

２．ｘｘ＝ｔ のように 置換できるか 試す。

３．３変数のとき、一番小さい変数で くくる。

４．一番高次の係数と 定数 を比べる。因数定理。

５．多変数で 整式が 対象式のとき a＋b＋c abc, ab＋bc＋caで くくりだせる。（交代式の場合、二変数なら a-b でくくりだせるんだけど、これを 使わずとも、上の １、つまり １変数注目で たすきがけすることで 求めることができるの）

＊＊。問題の製作者が 普通、因数分解を 考えるとき、積の形を あらかじめ作っておいて、それを 展開して、受験生に「 展開した式を 積の形のしろ」と 言ってくる。だから、ときどき、普通 思いつかないような 式変形が 解法の中ででてくるときがある。

でも 良心的な問題を 作る大学なら、そういう変形を つかわないと 答えられないような 問題は作りません。

「整式の割り算」

１．整式の割り算は かならず 上で紹介した「＜係数＞簡易式」で やる

センター試験で かならず出される整式の割り算。もし あなたが 時間が足りなくなるとしたら、変数を 書いてるから。計算スピードは そのものは 速くならないけど、（そろばん暗算チャンピョンでもない限り） 工夫することで 書く文字を減らすことで、迷いがなくなることで、全体の解答スピードは 上げられる。

「実数」

１．無限小数の分数化。

差分して、繰り返しを打ち消すイメージ。

２．絶対値を くっつける 心理は 「計算の結果 正負どっちでもいいから 結果は正として扱いますよ記号」

たとえば物理で ｜FoーF｜＝ｆ どっちが大きい力か わからないけど、ちからの大きさが ほしいとき、絶対値をつける。

だから 方程式に わざわざ ｜ｘ－３｜＝６ のように 絶対値を つける気にはなりません。これは 計算記号を むやみに いじってるだけです。絶対値で 遊んでいるだけ。

絶対値で 遊ぶためにも、「絶対値を消す」

２．１．「絶対値を消す方法」

絶対値の中身が 正のときと 負のときで 場合わけする

以上。

だから 式の中に、絶対値が ２個あったら、４回場合わけする。このとき グラフを利用しながら、場合分けするのが 二元論。

「平方根の計算」

１．√に 対して 気持ちわるさを抱くのは、絵を描けないから。

二元論を 数学で 使うというのは 「 定式ｖｓグラフを 常に ペアにする」ということです。

√ のグラフは なぜか √を 習ったときに グラフを 見せてもらえないから、気持ち悪いんです。

２．「両辺、平方根をとる」ｖｓ「両辺、二乗する」の 恐ろしさ 、図がないと 同値性を 保てない。だからこそ、絵を書く必要がある。

「ｘｘ＝A を 解くと、ｘ＝＋√A 、－√A 」という 呪文を 唱えさせられるのが 「中学校のお勉強」でした。

こういうことをやるから、数学を 嫌いになるんです。

「方程式を解く」というよくわからない演算を 強制的にさせられるのが 中学までの 数学のお勉強です。

「解く」って なんですか？

「解く」じゃなくて、「関数の中に入れる」というが 正しい感覚です。

ｙ＝ｘｘ の 二次曲線を 、放物線を 思い浮かべてください。（絵は 後日 入れます。）

A＝ｘｘ ですから、ｙ＝Aです。今、ｙ軸上のAから ｙ＝ｘｘ 曲線に 二つの方向へ

☆ ←A→ ☆ 飛び出して、曲線にあたって

↓ ↓

★ ★ ｘ 軸上 に 落としてください。

－√A ＋√A

これが 「解く」ではなく、「ｙ＝ｘｘの逆関数の中に入れる」という感覚です。

これを 逆関数といいます。普通は、ｘ軸から 飛び出して、ｙ軸へ という流れしか １，２年では 習わないんですけど、本当におかしい。３年になってやっと学ぶ逆関数。文部科学省は いったい何を考えてるんでしょうか。

これと 同様の感覚が log でもあります。

「両辺に log を とる」=「両辺 logる 」という言葉がある。これも 「ｙ＝log ｘ の関数の中に入れる」 という 感覚です。

というわけで、√を 考えるときは、つねに ｙ＝ｘｘ と ｙ軸上の点を 思い浮かべてください。

３．有利化。有理化。

√定数を 有利化するのは 対して、大切じゃないんです。

√変数を 有理化するのが 大切なんです。

積分計算や 極限計算をするとき、√変数の形で、計算できないときがある。それを 有理化することで、計算可能にする。それが 有理化の役割。

定数の有利化は 単なる 数字遊びです。

２．「２次関数」

「関数とグラフ」

１．ｆ（ｘ）＝（ｘ の式）というグラフ。

今まで、整式を やってきましたけど、整式も グラフの形にして はじめて 生命として 呼吸し始める。グラフが 描けない 数式は 死んでいるようなものです。

だから 、みなさんは 整式の展開や 因数分解が 嫌いになるんです。何のために やっているのかわからないから。数と文字で 遊んでいるようにしかみえないのが、グラフのない整式計算です。

整式の 展開や、因数分解は 結局、グラフを書くための 道具でしかない。展開で、グラフを 書いて、因数分解で 交点を求める。

じゃあ、今までの 整式を、グラフしてみましょう。

２．ｙ＝ｆ（ｘ）という 写像。Mapping。Image。

ｘ∈X →function → ｙ∈Y

Xという定義域（Domain）の要素ｘ が Yという値域（Range）の要素ｙ へ 変換する。

たとえば 缶ジュースを買いたい。

「１１０円を 入れて、スイッチを押す」（Input）→変換→「缶ジュースが 出てくる。」（Output）

自動販売機で ジュースが 買える皆さんは 、すでに この変換作業を うまく 使いこなせているんです。

Function とは 「変換」であり 「関数」です。

ｘ と ｙ の関係を （x、ｙ）空間で 描いたものが ｙ＝ｆ（ｘ）グラフです。

Graph とは Graphic Formulaを 短縮したもの。Graph の意味は、「描いた絵」です。

あるｘ に 対して、どんな ｙ の値をとるかを 一目瞭然に 絵にしたものが グラフです。

「２次関数のグラフ」

１．「２次関数の絵の描き方。」

１．１．「２次関数の 形」基本は 「３変数」

３つの変数が 決まると、２次関数は ひとつに決まる。

１．１．１．ノーマル

ｙ＝axx+bx+c

１．１．２．頂点型

ｙ＝a（x - p)（x - p)+ q T (p,q)

これが 一番よく使う。

この形にしてはじめて、具体的な グラフの位置がわかる。

平行移動の問題は この形で移動させる。

１．１．３． 解型

y=a(x-α)(x-β)

(x-α)(x-β)＝０ にして ｘ軸との交点を 求める。

「グラフの移動」

１．１．２．頂点型

ｙ＝a（x - p)（x - p)+ q T (p,q)を 移動させるだけ。

「２次関数の決定」

１．「２次関数の３変数を 等式条件から 求める」

「３変数」＝「３つの等式条件」

変数の数と 等式の数が 一致しているとき、かならず 変数を 求めることができる。

たしかに いろんな 等式条件があるんですけど、データベースに するまでもなく カンタンです。

結局、値を代入して、等式条件を だすだけ。

イメージは

（条件）→（等式条件 ｆ（a,b,c,）=0 ）（等式条件 ｆ（a,b,c,）=0 ）（等式条件 ｆ（a,b,c,）=0 ）、合計三つ。→ 変数a,b,c が求まる。

＊＊ コメントで リクエストを いただければ、等式条件の データベースを 紹介します。

「２次関数の最大最小」

１．動かない ２次関数の ｍ＆M を 定量

minimum and Maximum ｍ は 小さいので、小文字。M は 大きいので 大文字。

１．１．「２次関数」の曲線を描く。

定義域から 値域を 求める。値域のｍ と M を 求める。カンタン。

つまり 「グラフを書くこと」と 「ｍ＆M を もとめる」は 同値です。

２．動く２次関数の ｍ＆M を 定量

２次関数が動く場合、必ず、定義域は 定数です。

２次関数の位置によって、ｍ＆Mが 変化するのを楽しみましょう。

U型 の２次関数で データベース。

２．１．M ｍ型

頂点が 左に飛び出てる。

２．２．M ｍφ型

頂点が 中に入ってるけど、左側に頂点がある。φは 端の点が Mでないってこと。ファイ。空ってこと。

２．３．M m M型

ちょうど 頂点が 定義域の中間にある。

２．４．φｍ M型

２．２．と 同様に、右側に偏ってる。

２．５．mM 型

２．１．と 同様に 右に 頂点が飛び出てる。

この場合わけをすれば、すべての ｍ ＆M を とられることができる。

３．止まった２次関数と 動く定義域の ｍ＆M 定量

主語と 目的語は 違うけど、うえの ２ とまったく同様の 場合わけをすることになる。

定義域の 動き方は、

３．１．片方 びよーん型

０＜ｘ＜a のようなタイプ。

３．２．カニ歩き型

a＜ｘ＜a＋１ のようなタイプ。

幅一定で、カニ歩きするように 定義域が 動く。

「いろいろな関数」

1. 上下に動ける２次関数と 動く定義域の ｍの関数。

動かす変数は a で 共通。

ｍ を a で 表現して、（a,f(a) ）の平面でグラフする。

「２次関数のグラフと方程式」

１．「２次方程式を解く」という言葉は 忘れてください。

これからは

「２次関数のｘ軸の交点を 定量する」と 行ってください。上の言葉は 百害あって０．１利もありません。

グラフという命を 式に与えてあげれば、

「判別式Dの正負 は 頂点の位置を表している」と わかります。

２．「解の個数問題」というか「交点の個数問題」

「解」という言葉は、グラフが 頭にない人が 作った言葉です。

たとえば 普通の数学の問題は

「2xx-8x+a=0 の解の個数をもとめよ」と書かれています。

でも グラフで 考える人は、

「ｙ＝2xx-8x+a と ｙ＝０ との交点の 個数をもとめよ」と 解釈します。

「２次関数のグラフと不等式」

１．「２次方程式」という よくわからない言葉から、「２次関数のグラフとｘ軸との交点」という生きたイメージを 捉えられるようになったら、今度は、「２次不等式」を・・・

「２次不等式」を「２次関数のグラフと、ｘ軸との関係」という生きたイメージへ。

判別D式だけで 定式できます。

２．動く２次関数（１変数入り）の 不等式を満たす条件定式。

定義域によって、定式が変化するのが、動く２次関数の不等式の特徴。

２．１．不等式を満たすような 定義域の範囲データベース。

２．１．１．直線型定義域。

ｘ∈R、定義域は ｘ軸 すべての直線。

－∞ ーーーーーーーーーーーーーーーー→＋∞

上の １は、この場合のみを 考えてます。

２．１．２．半直線型定義域。

＋ーーーーーーーーー→＋∞

たとえば －３９から ＋∞までの定義域

２．１．３．線分型定義域。

＋ーーーーーーーーーー+

たとえば -29 ＋５１

２．２．動く２次関数と 線分の位置関係定式データベース。

U と ＋ーーーーーーーーーー+が どういう位置関係になるか。

これは 絵で 説明します。

今まで、なんとかく 行き当たり、ばったりで こういう問題を解いていたから、数学がよくわからないんです。こういうのは トリビアですけど、しっかりと体系的に、データベースになった 知識を 手に入れれば、どれも 同じ問題に見えてくる。

「２次方程式の解の存在範囲」

１．解の存在は 「ちょうちょ図形」で 定式。

ｘ軸上の線分と ２次関数グラフが 交わったことを示す定式。

ちょうちょ図形で 成立している定式は３種類。

ｘ軸上の線分の端の点の座標を、ｐ、ｑ とすると、

１．１． ｆ（ｐ）とｆ（q）の正負式

１．２．頂点が軸より上下式。

これは 判別式Dの正負によって 定式。

１．３．頂点が 線分よりも 左中右式。

２次関数の頂点のｘ座標が ｐ や ｑ と どういう関係の場所にあるか定式。

２．固定した２次関数と 動く直線との交点の個数 定式。

「固定した２次関数と 動く直線との交点の個数」の解釈を 変えて、「動く２次関数と ｘ軸との交点の個数」 扱いできる。

たとえば、

ｙ＝xx＋ｘ＋１ と ｙ＝aｘ+２の交点を 求める。ｙを消して、

xx＋ｘ＋１ ＝aｘ+２ として 整理すると、

「xx＋（－a＋１）ｘ－１ ＝０ の 式のｘ軸との交点の個数」

このように 解釈を 変えることで、「直線と曲線の交点の存在性 」を、「ｘ軸との交点の存在性 」という身近な存在に買えることができる。

というわけで、後日、絵を 入れます。

３．三角比

「三角比」

「三角関数ではなく 円関数である」とは 西岡康夫の言葉である。

１．sin、cos、tan の定義式は 円関数。

ｘ、ｙ平面上の、原点中心の 半径１ の 円を 「単位円」と 呼んで、特別扱いする。

この円の上の ある点を 点P（X,Y ）とする。

この単位円を ぐるぐる回るグラフが 円関数。

円関数の定式は （X、Y）＝（cosθ、sinθ）

P は Point のｐ。

原点O（オー）（Origine の O）と 点P を 結んだ線分OP のことを 「動径」と呼ぶ。動く半径という意味。

ｘ軸を 始線と 呼び、ｘ軸と動径との左回りのなす角度を θとする。Theta。シータ。（左回りを 正とする。右回りを負とする。ふたつの方向があるベクトル的な シータという変数。通称、媒介変数。パラメーター。Parameter 。ぱらぁ↑メター。XとY は 独立な変数であるθに 従属している。）

このP から ｘ軸と ｙ軸に、直交するような 線分を 垂らす。

ｘ軸との直交点を C、ｙ軸との直交点を Sとする。

それぞれの 交点の座標は、

C（X、０）＝（cosθ、０）

S（０、Y）＝（０ 、sinθ）

と 置換する。これが cosθ と sinθの 定義。

ちなみに、tanθの定義は、「OPの傾き」です。

tanθ＝Y/X ＝sinθ/cosθ

ここでまとめます。

「OPのX成分のおおきさが cosθ」

「OPのY成分のおおきさが sinθ」

「OPの傾きのおおきさが tanθ」

どこにも 三角形が 出てきませんよね。だから 三角比とか 三角関数とか 言わないで、円関数って いったんです。

たしかに 直角三角形で 幾何学的に、定義するのは cos ＝ｘ/ｒ 、sin＝ｙ/ｒ を 覚えるためには 有効なんですが、それ以上の 効果はありません。

２．θは つねに３０度か ６０度の絵を描く。

絵を描くときは、常に具体的な θ＝３０ とか ６０ にする。４５ 度だと、わかりにくくなる。

３．９０－θ、９０＋θ、１８０－θ、１８０＋θの変換式。

（cosθ、sinθ、tanθ）＝（ｃ、ｓ、ｔ）と 置換する。

θの値が すべての式で 一定の問題中では、θを 書くのが めんどうなので、よく置換します。そちらのほうが、計算が楽だし、計算ミスしにくくなる。

また 置換することによって、見やすくなる。

３．１．θのplus→minus変換。

さっそく 見やすくやりましょう。

（円関数 －θ系）→（円関数 θ系）

ｃ →ｃ 、ｓ→－ｓ、ｔ →－ｔ

３．２．「９０度系変換。」

９０度系変換をしたら、ｃがｓに ｓが ｃ に とりあえずなる と覚える。正負は 変換後に あわせる。

ｃ →ｓ 、ｓ→ｃ、ｔ →１/ｔ

じゃあ 正負を 考える。やることは カンタン。３０度の絵 と １２０度の絵と６０度の絵と－３０度の絵 と －１２０度の絵と－６０度の絵 のように ５枚用意する。

１２０度→３０度

たとえば cos１２０を sin３０で 表現すると どうなるか？

cos１２０＝－ sin３０

↑負 ↑正 だから minusを くっつける。

他も同様。

３．３．「１８０度系変換」

１８０度系変換をしたら、正負は 変換後に あわせる。

ｃ →ｃ 、ｓ→ｓ、ｔ →ｔ

これも５枚の絵。３０度の絵 と ２１０度の絵と１５０度の絵と－２１０度の絵と－１５０度の絵 のように ５枚用意する。

たとえば cos２１０を cos３０で 表現すると どうなるか？

cos２１０＝ cos３０（×－１）

↑負 ↑正 だから minusを くっつける。

他も同様。

大切なのは、暗記ではなく、具体化して 導き、思い出すこと。

「三角比の性質」

１．円関数方程式。

あくまで 三角関数とは 呼びません。指導要領に そむきます。

だって、２次関数は 二次曲線を 表現するのだから

円関数は 円 を 表現する という 当たり前なことが 「三角関数」という言葉だと 伝わりませんから。

円関数は 解釈の違いによって、２種類のグラフを用意できます。

ひとつな θによる ｘ、ｙ平面の 円のグラフ。円グラフ。

もう片方は ｙ＝cos ｘ によるｘ、ｙ平面 の くねくねグラフ。

この両方を駆使して、sin、cos、tanを 二元論的に 理解していきましょう。

１．円グラフと 直線の交点 定式。

たとえば、sinθ＝１/２

○ と Y＝１/２ の ２つの交点。sinθは Y軸に おろした点S の ｙ軸の大きさでしたね。だから Y＝１/２ なんです。

同様に、cosθ＝１/２なら X＝１/２ と ○ との交点。

同様に、tanθ＝１/２ なら ｍ＝１/２と○との交点。

tanθ＝ｍ （傾きは 普通、小文字 ｍ で 象徴させる）

特に、tanの傾きｍの値は、円の点（１．０）の接線上のｙ座標と 一致するのを 利用する。

ところで 傾きというのは

θは 有名角 なので 求めることができる。

これを 「有名角の θ定式」と 呼ぶ。有名角は ０、３０、４５、６０、９０ と その他。

１．２．くねくねグラフと 線分との交点。

たとえば、sinｘ＝１/２

ｙ＝sinｘ＝１/２ は サインカーブと ｙ＝１/２ との交点。

１の円関数と違って、交点が いっぱいあるというイメージが広がる。

実は、１の円関数でも 交点が いっぱいあるイメージは 広げる必要があるんですが、それは 数学Ⅱで やります。

３．円関数と 不等式。

上の２と 同様に、二つのグラフを使う。

円関数のほうが、わかりやすい。

４．sin、cosの 入った方程式を解く。

たとえば

３ｃｃ－ｓｓ＝２

ｃ と ｓ は 結局、範囲が －１から １の変数でしかない。

だから ｙ＝（２次関数）＝０ で 「２次関数とｘ軸との交点定式」と まったく同じイメージで、この方程式を解けばいい。別に新しいことは何もないのだ。

でも、小手先の変換に 新しいものがある。

ｃとｓの関係において、成り立つ式があるからだ。「２次関数とｘ軸との交点定式」と まったく同じイメージを 利用するために、この成り立つ式で変換作業をする必要がある。

ｃ と sは このままだと、２変数なので、ｃｃ＋ｓｓ＝１ という等式条件で 変数を減らす。

このデータベースは 数学Ⅱで まとめてやります。それは すべての変換は 数学Ⅱで 出揃うからです。すべての変換を 利用することで、方程式がはじめて 解ける。

というわけで 数学Ⅱのデータベース参照。

「三角形と三角比」

１．平面幾何学に cos、sinを 利用して、辺の長さや 角度を求める。

平面幾何学において 一番大切なのは、「三角形の成立条件を 満たしているか 先に調べること」でした。

その三角形が SSS、SAS、ASA（SSAも）の どれに当てはまっているかわかれば、正弦定理を 使うべきか、余弦定理を使うべきかわかります。

また、円の中の 二つの三角形（一個の四角形）の場合、 SSS、SAS、ASA（SSAも）のどれにも当てはまらないにもかかわらず、ひとつの三角形に決定することができる という特殊条件もあります。それは 「○と□データベース」で 紹介します。

２．正弦定理。というか sin定理

sinのことを 明治時代のひとは 正弦という名前をつけたらしい。余弦は cos。

だから サイン定理という名前のほうがぴんとくる。

２．１．正弦定理の特徴は？

２．１．１．三角形の中で、ひとつの角とその対辺の長さがわかっているなら、S→A。もうひとつのわかっている辺の長さから 、角の大きさがわかる。

A→S。もうひとつのわかっている角の大きさから 、辺のの大きさがわかる。

この言葉の意味を理解してください。

SASあるいは、ASAによって、三角形が ひとつに決まるからこそ、上の定式が 可能なんです。

定式は A、Bが 角度で、a,bが対辺の長さとすると

a：b＝sinA：sinB

あるいは

a÷b＝sinA÷sinB

あるいは

a：sinA＝ｂ：sinB

あるいは

a÷sinA＝ｂ÷sinB

（A対Bの 「対」につかう ： コロンマークは もともと ÷ と 同じ意味ですから！印刷ミス防止のために ：が÷に なっただけですから！ざんねん）

２．１．２．外心の 半径がわかっているなら、

S→A。もうひとつのわかっている辺の長さから 、角の大きさがわかる。

A→S。もうひとつのわかっている角の大きさから 、辺のの大きさがわかる。

この 言葉の意味を 理解してください。

これが 外心円○とその△の 三角形の成立条件です。三角形の形は ひとつに決まりませんが、円周角と その対辺の関係は 常に一定というわけです。

定式は

（直径の長さ）sin（ある円周角の大きさ）＝（その円周角の対辺の長さ）

３．余弦定理というか cos定理。

３．１．SSSでAを出す。あるいは、SASで Sを出す。

cos定理は 常に同じ式で書きましょう。私は

（ある角の対辺の長さの２乗）＝（ある角の左隣の辺の長さの２乗）＋（ある角の右隣の辺の長さの２乗）－２（ある角の左隣の辺の長さ）（ある角の右隣の辺の長さ）cos（ある角の大きさ）

の形で いつも書いています。なれないうちは、この形のみで書きましょう。

式は、三平方の定理を 改造したものと思ってください。

正確にデータを 上の式に 代入するコツは 注目する角のとなりに 辺の長さ ｂ とｃ を 書いて、そのｂ とｃ の両方を ひとつの ○で 結ぶことです。

とくに 右辺の最後の項は ５つの要素によって成り立っています。５つを指差し確認しながら、代入しましょう。

（－１）（２倍）（左の辺）（右の辺）（cos 注目角）

さて、

センター用に、速く計算するコツを 紹介します。

SSS型の三角から、cosAを 求めたいなら、まず、ｂｂ－ｃｃ－aa を計算して、2bcを ÷する必要がある。

まず ｂｂ－ｃｃ－aaについて。

最初から ノートするとき、

ｂｂ

－）ｃｃ

？？

－）aa

★★ ÷２ｂｃ

のように 縦書きで 計算すると、効率がいいです。これ、私のオリジナルの速算。

４．センター試験の 数学ⅠA特有の ○と□ の定式

これは 絵を交えてやります。

「三角形の面積」

１、三角形のS式。

Space 定量。これはSAS型。

S＝（ｂｃsinA）/２

この式が 数学の△を求める定式のなかで 最もよく使います。

ヘロンは 屁論です。絶対に使いません。

２．三角形面積から 内接円の半径定式。

S＝（ｂｃsinA）/２＝（a+b+c）r/２

このように 面積の式によって、辺の長さを求める定式は 「明示されない定式」として 有名です。

名前がつかない定式 とでも 言いましょうか。知っていないと、絶対に テストで 答えられない定式なのに、教科書、教師は 絶対に この定式に 名前をつけません。

どうしたことでしょうか。「ヘロンの公式」などという 一度も使わない定式には 立派な名前がついているのに、

S＝（ｂｃsinA）/２＝（a+b+c）r/２

には 名前がない。名前がないから 対象化できない。覚えられない。整理できない。定式できないの 悪循環が 起こってしまう。

じゃあ、どぞ。「三角形面積から 内接円の半径定式。」こういう名前で どうでしょうか。

「空間図形と三角比」

空間図形も 包丁で切ってしまえば、平面図形と まったく同じですから、新しいことは 何もないんです。

４．式と証明

「恒等式」

１．恒等式のイメージ。

方程式は 二元論的に、絵にすると、「ｙ＝ｆ（x）のグラフとｘ軸との交点」という解釈ができました。

恒等式は どうなるでしょうか？

答えは、二元論的に、絵にすると、「ｙ＝ｆ（x）のグラフとｙ＝ｇ（ｘ）グラフが 寄り添うように くっつきながら グラフが 一本になる。」です。

どのｘ を とってみても、ｆ（x）とｇ（x）は 同じ値になる。

all ｘ∈R で、ｆ（x）＝ｇ（x）が 成り立つとき、この＝は ＝ という 三本線の イコールに変わります。つまり

ｆ（x）＝ｇ（x）

これが 恒等式のイメージ。

上の式は、

ｆ（x）－ｇ（x）＝ ０ としても 同じです。

恒等式は、別名 「置換」です。

たとえば 「ｘ＋１ を ｔ で 置換する」と言った場合、

ｘ＋１＝ ｔ ｘとｔの 恒等式なんです。

あるいは 「代入する」という言葉も 恒等式です。

たとえば ｘ＝ ３９ を ｙ＝ｘｘ＋ｘに 代入する というのは 恒等式を 入れているってことになる。

たとえば、整式の割り算の基本関係式。これも 恒等式。置換してるだけだから。

２．方程式と 恒等式の比較。

方程式は 点。Some。∃

恒等式は 線。 All 。 ∀

ALL のA を ひっくりかえした∀ 記号は よく使います。

「すべての実数ｘ で 」という言葉を 記号で 表現すると

「∀ｘ∈R」

シンプルで カンタンに かけますよね。慣れると、こっちの描き方が 楽になります。書きたくなります。

「ある実数ｙ で」なら

「∃ｙ∈R」

「よ」のカタカナ に そっくりな ヨ と∃。実際 区別はつきませんが、 たしか ExistのEを ひっくり返した文字だったような。たぶん。

じゃあ、ふたつを並べて、明示します。

方程式は 「∃ｘ∈R」で ｘｘ－ｘ－２＝０

恒等式は、 「∀ｘ∈R」で ｘｘ－ｘ－２＝０

つまり

方程式の答えは、ｘ＝２、－１

恒等式の答えは 「∀ｘ∈R」で は ｘｘ－ｘ－２＝０ が 成立しない が 答え。

たとえば、

「∀ｘ∈R」で、「∃ｓ、ｔ、u∈R」 は sｘｘ－tｘ－２＋u＝０

の場合、上の恒等式が 成り立つには、s=t=0,u=2 が 必要であるとなる。

恒等式は、∀ｘ∈Rの ｘ の次数の数だけ、等式条件が 作れる。

さて

ALL の ｘのすべてで ずらーーーーーーっと条件を満たす イメージ。

そして

Some の ｘが ぽつ ぽつ と 条件を満たすイメージ。

が お分かりいただけたと思います。

これで

すべてのｘ のとき あるｙ では ｙ＝ax＋ｂ＜０ が成り立つような aと bの定式をもとめろ とかいう問題でも 怖くないですよね。

（ちなみに、あるｙのとき、すべてのｘ では ｙ＝ax＋ｂ＜０ が成り立つような aと bの定式をもとめろ という問題と 上の問題は まったく別の条件だということが わかりますか？ふっふっふ。絵で 紹介します。アフィリエイトしてくれたらね。）

「等式の証明」

等式とは ＝ です。でも たとえば

「a+b+c=0のとき aaa+bbb+ccc=3abc となることを 証明しろ」

という問題での = は 恒等式です。方程式ではないので注意。（まあ、そんなことは テストで 出ませんけどね。一応、方程式の＝ なのか 恒等式の＝なのか 区別してくれませんから、敏感になってください）

１．A＝Bの等式の証明方法は ３種類。A→B、A→T←B、A←B

右辺から 左辺の形にするか、または その逆。

左辺をいじって、右辺をいじって 同じ形にするか の ３種類。

どっちにしても

A－B→０ の形にするのが、一番ラクかな。どうせ 同じになるんだ と 思って、変形していけば、その通り、同じになります。

等式条件が ある場合、等式条件の使い方データベース。

１．変数を ひとつ減らす。

２．形を保存したまま、対称式の要素を くくりだす。

３．連比なら 第３の変数で すべての変数を表現する。

ここらへんは 一般的に、どの参考書も、データベースが あまり 作られていない分野です。

私の細かいデータベースは 後日。お楽しみに。

「不等式の証明」

１．A＜B の証明。

１．１．「０＜B－A」 を 証明する。

０よりも 大きいことを 証明する方法は いろいろあるので、片方ゼロにしたほうが 証明しやすいのです。

私は この形を 「うさじい」と 呼んでいます。「左右 ジロー」「うさ じろー」「うさじい」NHK のマスコットは どーもくんと うさじい ですから。

また 両辺をあらかじめ、２乗して

０＜BB－AA を 証明することを 「うさじじい」と 呼びます。

これ以外の パターンは あんまりない。logを 使うときもありますけど 出ません。

１．１．１．「０より大きい」の 証明データベース。

A。２乗を作る。

強制平方完成。対称式の平方完成。

B。条件から 正のみで 表現する。

C。相加相乗絶対不等式をつかう

D。シュワルツ絶対不等式を つかう

「整数の問題」

1.mod の使い方に慣れる。

modulus モデュラス こと モッド。

感覚は、すべての整数を mod 5 なら、５列に 分類する イメージ。

２．積の形を作ることで、絞る。「セキボ」

３．連続した数は Combination

４．整数解をもつ 方程式という条件で 変数を 絞る。

５．素数系問題。

「条件と集合」

数学Aのデータベースで どうぞ。

「必要条件、十分条件」

数学Aのデータベースで どうぞ。

「命題と証明」

数学Aのデータベースで どうぞ。

数学Aデータベース

場合の数、確率のデータベースは 改めて、くわしいバージョンを作ります。

論理と集合に関しては、

大村平の 上の本を 読んでください。チョーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーわかりやすいです。私は 思わず この本を読んで鼻血がでました。それくらい 名著です。

論理と集合を 理解したいなら、wikihikagle と この本を 熟読してください。数学が 好きになります。

というわけで、

私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。

物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。

本編の前に 今日のコラムを どうぞ。

「独学で 数学を 得意になるコツ。わかっている人に、イメージを 教えてもらうのが 最短の近道。」

数学が得意な人と、不得意な人の違いは、データベースにおいて 「条件→定式」が 整理されているｖｓされていないの違いであるということが 私の主張することです。

数学は 科学ですので、誰にだって 理解し、使いこなすことができます。

科学は、一般的なものです。一般的な頭の持ち主が 利用できなきゃ、一般的じゃないでしょ。

不得意レッテルを はがして、くちゃくちゃにして ゴミ箱に捨てて、利用可能レッテルを 貼ってください。

「条件→定式」を 練習すれば、誰にでも 「利用可能」なんです。

数学は 骨董品のように 並べて、遠くから鑑賞して 「エレガントやねぇ」と感想を 漏らすものではなく、単なる道具です。

先人の築いた そういう陳腐なエレガント主義は いいかげん 科学に持ち込むのはやめましょう。

だって、

たとえば 化学を学んでいて、酸素を吸い込んで、二酸化炭素を 吐くという行為に対して、「エンレガントやねぇ」と は 思いませんよね。

たとえば、Ti チタンよりも、フッ化水素のほうが 強くて かっこいいんだ！なんて 思いもよりません。

化学に えらいも えらくないも エレガントも エレガントじゃないも 存在しない。同様に、数学に 正弦定理より チョビチェフ関数のほうが かっこいい という思想は やっぱり 変なんです。

そういう 自分が 張ってしまっているレッテルを ちゃんと 対象化して、リセットすることを オススメします。

前置きが 長くなりました。とりあえず、場合の数と確率から やっつけてしまいましょう。

目次

１．場合の数と確率

「集合」 「集合の要素の個数」 「場合の数」 「順列」 「円順列・重複順列」 「組み合わせ」 「二項定理」 「事象と確率」 「確率の基本性質」 「独立な試行の確率」 「反復試行の確率」 「期待値」

２．論理と集合

「命題と条件」 「必要条件・十分条件」 「逆、裏、対偶」

３．平面図形

「三角形の辺と角」 「三角形の外心、内心、重心」 「円周角」 「円に内接する四角形」 「円と直線」 「方べきの定理」 「２つの円の位置関係」

１．場合の数と確率

「集合」

１．集合。Set。における 記号に なれる。

元。要素。Element.

集合の例。Kat-tun。Smap。 Kat-tun を K 、Smap を S と 象徴させる。

元は カットゥーンだと 亀梨和也、田口淳之介、田中聖、中丸雄一、赤西仁、上田竜也。

集合記号で 書くと、

亀梨和也、田口淳之介、田中聖、中丸雄一、赤西仁、上田竜也∈K

たとえば カットゥーンのメンバーの中で、新しく ユニットを つくったとする。ユニット名「たんぽぽ」。これは 集合T とする。たんぽぽのメンバーは 田口淳之介、田中聖。

つまり

田口淳之介、田中聖∈T

このとき 集合同士の関係を T⊂K

∈ の描き方は、C を 書いて、←棒を 加える。

∈の記号は ドイツ語の Enthalten ：「含まれる」の Eに 由来している。

⊂は C と 同じ描き方。大小記号の ＜ と 同じ起源をもった 記号。

右に 大きいものを 書く。

数学一般に言えることだけど、

小さい→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→大きい

という 順序で 書いてください。こうしないと、記号に対して イメージを 描きにくい。

田口淳之介∈Kat-tun Kat-tun のほうが 大きいというイメージ。集合に 含まれている 要素のイメージ。

たんぽぽ ⊂ Kat-tun のほうが 大きい集合というイメージ。

K⊂T、T⊂K の場合、K=T 、つまり、たんぽぽのメンバーである田口淳之介、田中聖 以外は カットゥーンを 脱退してしまって、二人で カッテゥーンを やっている場合、K と T が 一致する集合なので イコールで 結ぶ。

数でも、集合でも、結局、大小の感覚は 同じってこと。

集合における ゼロは φ。ファイ 。空集合 と 呼ばれる。

描き方は、丸 かいて、１ を 突き刺す。表記によっては、ゼロに 斜線とか Φ のようにかかれるので、見慣れないと、 きもちわるい記号のひとつです。

集合の表現には、

K＝{変数の宣言｜左の変数の特徴}

↑ 縦棒。

というのもあります。

たとえば

{Kut-tun メンバーの名前｜１９８３年生まれ}＝A

という 集合があったとする。

Wikipedia によると

A＝{上田、中丸}

というわけ。

２．ベン図。Venn's figure。John Venn という人が 考えたから、ベンズ。

○ と○ と □ によって 表現される。

全体集合を U 。ゆー。Universeのユー という 記号で 表したり、? 。オーム で あらわしたりする。普通、? は □で 表現する。

芸能界で 例えるなら、U は ジャニーズ事務所。あるいは ハロプロでも いいですね。

U の 中に、スマップやら News やら いろいろ な 集合がある。

互いに 掛け持ちしているメンバーがいない集合同士を 「K∩S ＝φ」。「K と S は 互いに 排反である 」という。

補集合。集合記号の 上に、バー を つけて 表現する。コンピューターだと 「￢A 」で 表現する。

まあ、表現しづらいので、

ここらへんは 図で 解説します。

「部分集合 の考え方。」

SMAP という集合の中に、x、y、ｚ という 要素が あったとする。

Smap の 部分集合は ？

{x、y、ｚ} {x、y}{y、ｚ}{x、ｚ}{x、}{y、}{ｚ} { φ }

の 計８種類。＝２の３乗。ｘと ｙ とｚ に 入るかｖｓ入らないか 聞いていくと、部分集合の数になる。

大切なのは、{φ} の 空集合お 部分集合に かぞえるということ。

３．集合を 整数で 考える。

上の例で、ジャニーズで 考えましたけど、普通は 数字で 考えます。

数の集合記号データベース。

Z は 整数。N は自然数。（大学受験では １からはじまる。正の整数。) Cは 複素数。

Q は 有理数。R は 実数。

互いの集合の関係は、

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

「集合の要素の個数」

１．集合に 含まれる 要素の個数を あらわす記号

ｎ（KAT-TUN）＝６

ｎ（SMAP)=5

ｎ （集合名）＝ メンバーの数。

ｎ は Numberの ｎ。 ｎ の代わりに ♯ を 使ってもいい。日本では 圧倒的に ｎ を 使う。

たとえば

ｎ（K U S)= ｎ（KAT-TUN）＋ｎ（SMAP) －ｎ（K ∩ S)=１１

これも 絵を描けば 一発です。後日 絵を入れます。

「場合の数」

場合の数。これは 英語の直訳だから こんな 変な日本語なんです。

場合の数 と 確率 の 数え方の違いは、

「場合の数は 見た目の数」であるのに対し、「確率は 自然現象である」ということ。

この違いを ちゃんと 対象化しましょう。

たとえば さいころの目に 「１２３４５６」の かわりに 「１２２３３３」としましょう。

さいころを転がしたとき、出る目の種類は 「１」「２」「３」種類。これが 見た目。

自然現象は １ は 出にくい。２ は まあまあ 出やすい。３が もっとも 出やすい 。ということ。

つまり ２ と ２ が 見た目では 区別できなくても、「同一視」することができずに 「２－１」と 「２－２」が あるようなものなんです。

だから ２ が出る確率は 「２－１ が出る確率」と「２－２が 出る確率」の 和 である。

というわけで 結論を 言いますと、「確率を考えるときは、すべての 要素を区別する」ということなんです。（すべてを区別したあとに、すべての

事象を 「等分割する」ことによって、計算を 速くするという方法があります。これは C、コンビネーションを使った数え方です。）

一方、場合の数は 「見た目」ですから、区別がつかない要素 どうしは 区別しない。

イントロダクションは これぐらいにして、とりあえず、

「区別のある要素」ｖｓ 「区別のない要素」を 数える技術を それぞれ マスターしましょう。

数える技術は、「数え漏れ」を 防ぐこと、ｖｓ「数えすぎ」を 防ぐこと を 目標に作られています。

上の両方を 防ぐことに成功したとき、答えが合うわけです。

０．数える技術。「帰納的に数える」ｖｓ「（一度、帰納してから）演繹的に数える。」

０．１帰納的に数える。

ひとつ ひとつの 場合を 実際に イメージすることによって、数えていく方法。

０．１．１．樹形図で 数える。

辞書式で 数えるというのも 樹形図で 数えるのと同じ考え方です。

樹形図といっても、わざわざ 木みたいに 書く必要なくて、今、私が インデントしているように

０－０１－０１１－（０１１１、０１１２、０１１３）

－０２－０１２

－０３

（かっこ）の 中に まとめて書いたり、自由に 書いていい。別に 描き方が決まっているわけではない。与えられた条件によって、形を 自由に変えて、一番 数えやすい方法で この樹形図を 利用する。

樹形図というか インデント図なのだ。形を 保存して書くことによって、数えやすくして、数え漏れを 防ぐ工夫をする。

０．１．２．図形を 描いて 数える。

たとえば 一筆書きの方法が いくつ存在するか という問題の場合、樹形図で 数えようとすると、抽象化してしまって、うまく 数えられない。

そこで、図形を 描いて すべてのパターンの図形を 書き出すことによって、数える。

化学で ベンゼン環の ２置換体の 数を 数えるときも、この方法。

このとき 大切なのは、「基準」を つくること。

形を 保存的に 書くことによって、数え漏れを 防ぐ。

この 絵の描き方だったり、樹形図の利用というのは、問題によって 変化するので、具体的に、ひとつひとつの 数え方を 問題ごと 覚えることによって、数えることに 自信が ついていく。

じゃあ、それぞれ 具体的な 数え方は、絵を 使って、後日。

０．１．３．テーブルを 作って数える。

テーブル化というのは、四角のマス目を 書いて、２次元的に、すべての場合の数を 視覚化すること。

さいころを ２回振って、どの目が出るかというのを 表にしますよね。あれが テーブルです。

０．２．帰納的に 数えてから、演繹的に 数える。

数えるときの基本は、具体的例を 自分で 絵を描いて、ひとつひとつを 明確に イメージすること。

そして、そのイメージを 演繹的に 拡張することで 一気に すべて 数える。これが 演繹的に 数えるということ。

どんなに 簡単な問題でも、かならず、帰納的イメージから 演繹的イメージを 導き出すという 処理を 行うのが 場合の数、確率が 得意になるコツです。

演繹的に 数えるというのは、具体的には、「積の法則」を 使って、数えるということです。

積の法則のイメージは 樹形図が ぱぱっと ひらくイメージ。

これは 清の 受験数学教科書の 確率を 見てください。私が 説明するまでもなく、きれいに説明してくれています。

１．積の法則は ２種類。「ボールを 箱に 一個ずつ、入れるイメージ。」もうひとつは「 部屋の中に、人を 振り分けていくイメージ。」

１．１．ボールを 箱に 入れるイメージ。

１．１．１．P型で 数える。

とりあえず、ボールと、箱に 区別がある場合を例にすると、

積の法則を 使うときは、常に、ボールと それを 入れる箱が イメージされます。たとえば、「トランプを 左から順に４つ並べる」の場合、トランプが 「数えられる番号つきのボール」で 左から順に、「１の箱」「２の箱」「３の箱」「４の箱」が あるイメージ。

このとき ５２まで 番号のついたボールを 箱のなかに １から 順にいれていく。（あるいは、「条件の強い箱から入れていく。」）

積の法則のイメージは 樹形図で ５２の枝が 現れ、そのすべての 枝の先に、今度は、５１の枝があらわれる。そのすべての 枝の先に、今度は、５０の枝があらわれる。そのすべての 枝の先に、今度は、４９の枝があらわれる。

枝の数は いくつ存在するか？

５２×５１×５０×４９

これが 「区別があるボールと 区別がある箱」の 数え方。

このときの 帰納的な 数え方は、

たとえば、

（１，２，３，４、） とか

（９，５，３，４３、）とか

（３，３１，５，５２、）とか

ボールは トランプ型を 抽象化して、１から ５２の番号で 識別しなおしたと 思ってください。

そして

箱は （□a、□b、□c、□d、）

のように 左から、Aの箱、Bの箱、Cの箱、Dの箱、の 区別があるイメージ。

このように、順番が 決まっているときは、（ □、□、）のように 「まるかっこ」で 表現することにしましょう。

これは 私のオリジナルの表記なので、ご了承ください。

なぜ P型か というと Permutaiton のP からです。P型は 順列型と いわれてます。

表記として、５２P4＝５２×５１×５０×４９

ですけど Cほど この表現は 使いません。書き出したほうが速いからです。

じゃあ、これ以外に 数え方は なにがあるか テーブル化しましょう。

このボールと 箱の関係は、４種類ある。

ボール 箱

区別が ある ある →「P型で 数える」

ある ない →「C型で 数える」

ない ある →「神のりんご型で 数える」

ない ない →「神のりんご÷３！型で 数える。」

さて、すべてが 明らかになったところで C型。

１．１．２．「C型で 数える。」

上の例のように、

ボールには、１から ５２の 区別があるんですが、

箱は （□a、□b、□c、□d、）から {□、□、□、□、 } と 表記します。「ちょびっと かっこ」と 私は 呼んでいます。

箱どうしに 区別がないこと。

これが トランプの例だと、

「トランプを 左から順に ４枚ならべる｣から 区別をなくすと「トランプから ４枚選ぶ」です。

１．１．２．１． 脱区別化する

÷４！をすると 脱区別化できます。

たとえば

（１．２．３．４）は ５２×５１×５０×４９ 通り の ひとつ。

（１．２．４．３．）も ５２×５１×５０×４９通りのひとつ。

でも 上のふたつは 「 １ と ２ と ３ と ４ が 選んだ ボールの中に入っている」 という意味では 同じですよね。

（●、●、●、●、）のように １ と ２ と ３ と ４のボールを 並べる方法は ４！通り。

というわけで

{１．２．３．４．} のように、５２個のボールから ４つ 選ぶ方法は

５２×５１×５０×４９÷４！ ＝５２C４

C は Combinaiton のC。

これが C型の 数え方。

この１ と ２ の P 型の数え方 とC型の 数え方を 組み合わせて、演繹的に 数えるんです。

１．１．３． かっこ どうしを 数えるという積の法則。

丸かっこ （ ） と ちょびかっこ { } によって 数えるというイメージを 紹介しました。

この かっこどうしを かぞえる というのも 積の法則なんです。

たとえば （ ） と あとに { }を 数える例。

上の例と同様に、

「５２個のボールを 左から順に４個 並べて」、次に、「残った４８個のボールから ４つ 選ぶ」ときの 場合の数は？

帰納的に書いてから → 演繹的に 計算する。

（１．２．３．４．）×{５．６．７．８．} →（５２×５１×５０×４９） × ４８C4

というわけ。

このように かっこ どうしを 数える場合も 積の法則に 従います。

かっこどうしの場合も、区別の仕方は ２ 種類。

① かっこ どうしが 区別できる。 → 単に かけるだけでいい。

② かっこ どうしを 区別できない。→かけた後、「脱区別化する」

① は 上の問題で 例示しました。

② について。例示します。

「５２個のボールを ４つ選んで」、次に、「残った４８個のボールから ４つ 選んで」、次に、「残った４４個のボールから ３つ 選んだ」ときの 場合の数は？

帰納的に書いてから → 演繹的に 計算する。

{１．２．３．４．}＊{５．６．７．８．}×{９．１０．１１}→５２C4×４８C４×４４C3÷２！

↑これ と ↑これ

の ふたつの かっこ は 区別が つきません。

かっこ どうしが 区別が つかない場合、脱区別化して、数えすぎた分だけ 減らす必要がある。

ここまで 書いて、

（ボール→箱 ） そして それを 包みこむ 「かっこ」 が 存在するというのを イメージできるように なったかな。

丸かっこ （ ） は 互いに 区別のつく かっこ

ちょびかっこ { } は 互いに 区別のつかない かっこ

かっこ は 箱を 入れる大きな 「カーゴ（Cargo）」 つまり、貨物 だと イメージしてください。

なぜ このように 区別がの つく ｖｓつかないが 大切なのかというと

「場合の数は 見た目のどれくらいの ボールの入った箱たちとその貨物の組み合わせが 存在できるか」を 数えているからです。

この ボール、箱、貨物 の 三つの要素からなる構造を 明らかにすることができれば、数える感覚が 身についた証拠です。なんの 不安もなく、場合の数を数えることができるようになります。

２．１．「部屋の中に 人を 入れていくイメージ。」

さて ボールと箱（そして 貨物）の イメージでは うまく イメージできない 数え方もあります。そのときは 「部屋の中に 人を 入れていくイメージ。」を 使うのです。

このボールと 箱の関係は、４種類ある。

ボール 箱

区別が ある ある →「P型で 数える」

ある ない →「C型で 数える」

この 上の 数え方は、うまく 箱と ボール（と 貨物）で 数えられるのですが、

以下の、数え方は、上だと イメージしにくくなるので モデルを 変えます。

ない ある →「神のりんご型で 数える」

ない ない →「神のりんご÷３！型で 数える。」

新しいモデルは 「部屋の中に 人を 入れていくイメージ。」です。

この部屋の中に入れていくイメージで P型と C型を 数えることもできます。

すなわち、モデルが 変わると 数え方も 名前を変えます。

ボール 箱

区別が ある ある →「松竹梅型で 数える。」

ある ない →「松竹梅÷３！で数える。」

ない ある →「神のりんご型で 数える」

ない ない →「神のりんご÷３！型で 数える。」

２．１．２．「松竹梅型で 数える」（整式には 重複順列と呼ぶ。）

ホテルに 松 、竹、 梅の ３つの部屋が あるとイメージしてください。

そこに、上のトランプの例と 同様に、５２個の名前つきボールが 入っていく。

「箱とボールモデル」との大きな違いは、

「箱とボールモデル」では ひとつの箱に ひとつのボールしか 入れられなかったのに対して、

「松竹梅モデル」では ひとつの部屋に いくつボールが 入ってもよくて、空の部屋がある場合と、ない場合がある

ということ。

ボール１は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。

ボール２は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。

ボール３は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。

・

・・

ボール５２は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。

よって、空の部屋が あってもいい場合、部屋の入り方は、３の５２乗通り。

ここまで 読んで 気づくだろうけど、

さっきの 箱とボールの関係は、箱が ボールを 選んでいるという感覚、イメージだったのに対して、

今回のモデルでは ボールが 箱を 選んでいる という感覚、イメージなんです。

主語と 目的語の 関係が 逆転しているんだ。これが 二つのモデルの違い。

みなさんは この違いを イメージしやすいほうで 使えばいい。

ちなみに、空いている部屋を 許さない場合

（３のｎ乗）－３C２（２のｎ乗）－３C1（１のｎ乗） と 表現できる。

２．１．２．松竹梅モデル÷３！型

ボールは １から ５２の背番号が ついているけど

部屋に 名前がない場合の 数え方。

これは 単純に 「区別解除」「脱区別化」 を すればいいだけ。

{（３のｎ乗）－３C２（２のｎ乗）－３C1（１のｎ乗）}÷３！＝ｎS３ （ｎC３のような 表記。）

これを スターリング数 と 呼んで、ｎS3 と 表現します。

このｎS３は

スターリン漸化式 が 成り立ちます。意味は、「ｎ＋１人を ３班に 分ける方法の場合の数」

ｎ＋１S３＝ｎS２＋３×ｎS３

（ｎ＋１ 人を ３班に 分ける。場合の数）＝（私一人の班）×（残りｎ人を ２班に分ける場合の数）＋（私以外のｎ人で ３班を作る場合の数）×（私はその ３つのうち ひとつを 選ぶ）

２．１．３．神とりんご 型。（重複組み合わせ型）

今まで、ボールには 番号が書いてあったんですけど、りんごには かけません。りんごには 区別がない。

このりんごを 奥さんと 父と 息子で わける。その分け方は 何通りあるか。

○○○○○○｜○○○○ ○ ｜○○○○

↑ 奥さん ↑ ↑父 ↑ ↑息子

↑仕切り板 １ ↑仕切り板 その２

区別のつかないものどうしを並べる重複組み合わせは 一般に、ｎ！/ｘ！ｙ！ｚ！通りと定式できます。中学でもやりましたよね。（ｎ＝ｘ＋ｙ＋ｚ です。）

その仕切り板を含めたりんごの重複組み合わせ と、「母、父、息子 に りんごの分け方の個数」が 一致するんです。

このとき、仕切り板を 神の手と 呼びます。「互いに区別のつかない仕切り板を入れる」ことで、母、父、息子に 与えるりんごの数が 区別される。

どうして こういう ことを 思いついたのか とか 考えなくていいです。とにかく 利用すればいい。

りんごが ５２個だとして、母、父、息子に わけると、仕切り版が ２枚だから

（５２＋２）！/５２！・２！

一般的に、記号を使って、ｎH３と 表現できます。

ｎH３＝ｎ＋２C２ です。（３人で分ける場合は、Cで表現できるけど、４人以上の場合は、無理。便利な記号はありません。）

２．１．４． 神のりんご ÷３！型。

りんごを ○さんと ○さんと ○さんに わける。３人とも 匿名なので、区別がつかないイメージ。

区別がつかないボールを 区別がつかない部屋に 入れていく。

こうすると、もはや「部屋に 何個のボールがあるか」で 分けるしかない。

いきなり ｎ個のボールを ３部屋に わける と考えると、さっぱりわからないから、帰納的に 数える。

たとえば ６個のボールを ３部屋にわける。場合わけは ボールの個数の ダブル数。

①同じ個数が ３個ダブル。

{２．２．２．}

のみ

一般化しても、これは ひとつしかない。

②同じ個数が ２個ダブル

{０，０，６}

{１．１．４}

{２．２．２．は 上とかぶるので だめ}← ちゃんと ×と 明示するのが コツ。

{３．３．０}

一般化すると、６÷２＋１－１ これは 数えればわかる。０から ３まで 数えて、{２．２．２．}を引けばいい。

③同じ数が ない。

{１．２．３．}

{０．１．５}・・・・・いろいろがあるが 規則的じゃない。→他に 場合がないので 「余事象で定量する」

余事象を 使うためには、一度 ①と②を すべて 区別してから、「脱区別化」すればいい。区別したときの全体は 上の「神とりんご型」で 数えられる。

{６H２－①－②×３}÷３！ これが 答え。

（なんで ②に ３ を かけるか？３C２ ＝３だから）

①と ②と ③を ６ｍ として 一般化すれば、数えることができる。

一般化すると、

① {２m、２m、２m、} で １ ②{０，０，６ｍ}から {３m、３m、０ }まで、このとき {２m、２m、２m、}を 抜くので、３ｍ＋１ －１ で ３ｍ ③{６ｍH２－①－②×３}÷３！

以上で 積の法則による 数え方の技術を すべて お伝えしました。

これが すべての基本の数え方です。

３．銀杏型の数え方。

たとえば、１３，１４、１５・・・・・・・・・５１、５２まで の数字は 何個ありますか？

これは 数字で 抽象的に考えると、わかりづらい。だから カード に 上の数字が 書いてあると イメージしてください。

１から ５２まで 数字は ５２個あるというのは 直感的に わかりやすいですよね。

じゃあ

１から １２ までの数字は １２個ある というのも わかりしすいですよね。

じゃあ １から ５２までのカードのうち１から １２ までのカードを 銀杏を 串刺しするように、刺して、取り去ってください。

のこった カードは １３から ５２までのカード。

同じ質問をします。１３，１４、１５・・・・・・・・・５１、５２まで の数字は 何個ありますか？

５２－１２＝４０個。というわけ。

具体化すれば、カンタンですよね。

一般に ｋ、ｋ＋１、・・・・・・・ｎ までの数字の個数は ？

↑ ↑

はじまり がｋ 終わりが ｎ

ｎ－（ｋ － １）個 です。

ｋの ひとつしたの数字を 銀杏串刺しにして とりさることで 個数がわかります。

これは 馬場（マセマ）が この数え方を、ギンナンに 例えていたことへの オマージュで 「銀杏型で 数える」と しました。

「順列」

６個の積の法則による 演繹的数え方を 整理して 理解して いれば どれを 使えばいいかわかります。

あとは それぞれの問題について、特殊な 数え方を データベースしていけばいい。

P型。

１．条件の強い箱から 埋めていく。

１．１．数字を選んで、整数を作る。

１．１．１．「０ を 選ぶｖｓ ０を 選ばない。」

０ が 一番先頭に 来てしまうと、桁数が変わってしまうので、０ は 特別に扱う。先に、０以外の数字を 一番上の桁に 入れてから、その他の桁に ボールを入れていくイメージ。

２．隣合う ｖｓ 隣あわない

２．１．隣り合うなら、☆＝（１．２）あるいは （２．１）と 置換する。

新しい ☆というボールを 入れて、箱に入れていくイメージ。

２．２．隣合わないなら、箱と 箱の間に、空白箱を 入れる。

□□□□□という 箱が あるとする。たとえば 男と 女が 隣あわないなら、先に 女が 入る箱を ■と きめておくと、

□■□■□

男は □ の 中に 入ればいい。

３．決まった順番に 並ぶ。

たとえば SEMULATION という 単語を 並び替える。そのうち TIONが この順番で 並ぶ並べ方。

TION を ○○○○ という区別できない文字と 置換する。

SEMULA○○○○を 並べる。重複順列で ならべたときが 求める答え。

「円順列・重複順列」

１．円順列は 「ひとつを 固定する」と、動かなくなるイメージ。

固定しないと、どこが はじまりで どこが 終わりかわからない。そこで ひとつの箱に入るボールを 指定すると、右隣が はじまりで 左隣が おわりという 箱の並び方とすることができる。

２．じゅず順列も 円順列と同じ。違うのは、ひっくり返すと 同じに見えるということ。

どの円順列も ひっくりかえすと おなじ というものが 必ず存在するから ÷２すればいいだけ。

ただし、すべてのボールが 区別できる場合のみ 円順列は 単純に 上のように 考えることができる。区別できないボールが 混じると、積の公式が 使えなくなるため、ひとつひとつの形を 書いて数えるしか 方法がなくなる。

３．区別できないボールを 円順列させる。

たとえば １１１２２を 円順列させる。「ひとつを固定させる」 というのが 通用しません。ひとつが ないから。だから、ぐるぐるまわして、同一にならないと確認する必要がある。

このタイプの問題は ほぼ でません。あんまり 数学的じゃないからです。数学というより、算数っぽい。勉強のしがいがないからです。

４．重複順列。

スターリング数として 上のほうで 説明しました。

「組み合わせ」

C型も 説明済み。

Cそのものの 定性データベース。

１．ｎCrは パスカルの三角形で グラフする。

２．「ｎ人から ｒ人 選ぶ」漸化式。

ｎCｒ＝ｎ－１Cｒ－１＋ｎ－１Cｒ

（ｎ人から ｒ人 選ぶ）＝（私が 選ばれる）×（残りのｎ－１人から 残りのｒ－１人を 選ぶ）＋ （私が 選ばれない）×（残りのｎ－１人から ｒ人を 選ぶ）

スターリン漸化式と まったく 同じ概念です。こっちのほうが 単純。

３．「アメリカの大統領選挙」漸化式。

（アメリカ国民が ｎ人。その中から、ｒ人の 上院議員を選ぶ。そのｒ人から １人の大統領を選ぶ。）

というのは

（アメリカ国民のｎ人から １人の 大統領を選ぶ。残りの国民のｎ－１人から ｒ－１人の上院議員を 選ぶ）

と 選び方が 一致する。

ｎCｒ×ｒC１＝ｎC１×ｎ－１Cｒ－１

これは Σ計算のとき、変数の次数を減らすのに 使います。本当に 受験では よく使われます。

４．重複組み合わせ。

（ｘ＋ｙ＋ｚ）！/x！・ｙ！・ｚ！

「脱区別化」を 何回も やっているイメージ。

なんとなく 理解して、使っているうちに 慣れるというのが コツ。

「二項定理」

二項定理 、二項展開。

（a＋ｂ）のｎ乗＝ΣｎCｋ（aのｋ乗）（ｂのｎ－ｋ乗）

これまた 本当に よく使います。

証明は、数学的帰納法で どうぞ。証明そのものよりも、この計算は よく使います。道具として 使いこなせるようになってください。

１．コツは０ から ｎ （あるいは ｎ－１） まで そろえること

↑これが 肝心 ↑ これは どーでもいー。

０から 始まっていれば、ｎでも ｎ＋１でも （a＋ｂ）の○乗 の 形になる。

０からじゃないと、始まってくれない。初項よければ、すべてよし。

だから （a＋ｂ）の○乗 の 形に したいなら、「初項を つくって 消す」をやる

つまり 「＋Xo－Xo 」

「はじっこを 調整する」というイメージ。

２．ΣC から 定数を 求める。

ΣC は ΣC（１のｎ乗）（１のｎ乗）という隠れた数字が 存在している。これはメタファー。

（１＋１）の ｎ乗が 先にありき。ΣCは わざと 作られた人工物というイメージ。

f（x）＝（１＋ｘ）のｎ乗 という関数で 積分したり、微分したりすることで、おいしい 関係が得られる。

「事象と確率」

場合の数は「見た目の数」だったのに対し、確率は 「自然現象のおこりやすさの度合い」です。

だから すべてを 区別する必要がある。

場合の数ではボールどうしの区別が つかないというのが合ったけど、確率においては、すべてのボールを 区別して扱います。

しかも、箱も 絶対に 区別します。つまり 基本は P型の数え方しか許されないのです。

さて

１． 「起こりやすさの定式」は ２種類あります。

２種類目は 私のオリジナルのイメージです。たぶん、どこの教科書にも乗ってませんが、ただしい考え方です。

じゃあ、一般的に 教科書に載っているイメージ。

１．１．ｎ（?）とｎ（A）を すべて 定量するイメージ。

集合で 考えると わかりやすい。

事象というのは、たとえば さいころを振って、「１がでる」ということ。これを 「１が出る事象」と呼ぶ。「１が出るパターン」と言ってもいい。

もうすこし、このさいころのイメージを 今までの 場合の数のイメージで考えると、

「ボールが ６個あって、１から ６までの数字が それぞれに書かれている。そのボールを １個、箱の中に入れる。」

あるいは ボールと 箱の 主語と目的語を 逆転させて、人 と部屋の関係で、

「ボールが ６個あって、１から ６までの数字が それぞれに書かれている。ボールの中から １個選ぶ。」と 考えてもいい。どちらでも 好きなほうをどうぞ。

全パターンの個数を ｎ（?）とする。

あるパターンの個数を ｎ（A）。

ｎ（A）とｎ（?）をP型の積の法則で 定量する。

Probablityの P で P（A）＝ｎ（A）/ｎ（?）

さいころの例なら、ｎ（１を 選ぶ）＝１通り 、ｎ（１から６のどれかを選ぶ）＝６通り

１．２．素確率を 求めて、それに （起こりやすさ）かける。イメージ。

これは 私のオリジナルの考え方です。

どこにも 書いてません。

でも、独立試行 という名前で 定式されています。

たとえば コインを投げる。裏が ５回中３回出る確率を 考える。

場合の数の ボールと 箱で 考えると

「 １、２ と書かれたボールが２つある。箱は ５個。箱にボールを入れたら、入れた後に、すぐに 戻して 再利用する。」

素確率というのは 「３回でる事象」のうちの たったひとつのこと。

たとえば 裏が １ 表が２だとすると、

（１１１２２）左から順に こうやって、ボールが 入ったとする。

素確率は 上の（１１１２２）は １通り。ｎ（?）は ２の５乗

よって P（１１１２２）＝１/２の５乗

これに対して、起こりやすさは？

１１１２２ は 区別のつかないボール。区別のつく５つの箱に入っている。

重複組み合わせより、５C3通り。これが 「起こりやすさ度」

P（５回中３回裏が出る）＝P（１１１２２）× 「起こりやすさ度」

＝１/２の５乗 × ５C3

というわけ。

この 帰納的な 確率の求め方 を マスターしてください。

そうすれば、自信を持って、確率を 定量できるようになります。

２．確率の 等分化。

なぜ、新しい言葉、素確率なんて 言葉を持ち出したかというと 理由があります。

それは 確率には、かならず 「 １ /ｎ（?）」があるからです。

↑ これを 素確率 と呼びます。

樹形図でイメージすると、すべての 枝の先を 足し合わせたのが ｎ（?）で 一本、一本の枝が 「１ 個」と 数えられる。その一本一本の枝は 同じ確率で 「起こりやすい」。ことが 保障されている。

その一本一本の枝は 同じ確率で 「起こりやすい」ことが 保障されていることを 「同様に確からしい」 と 呼びます。

そして この 一本一本の枝を 同じ性質のグループでまとめて すべての枝を 同じ数ずつのペアで 結びつけることができる。これが 等分化のイメージ。

たとえば、「白球が３個。赤球が ４個入った袋から ２個取り出すとき、赤球がでる確率を求める」

これを 場合の数っぽく解釈すると、「W1、W2、W3 、R1、R2、R3、R4 の ７つのボールがある。それを 区別のない 箱の中にいれる。」ということ。

でも、確率というのは 箱は 必ず 区別するんでした。「区別のある箱を 区別のない箱にすることを 等分化 と呼ぶ。」

箱は 区別しなくても、ｖｓ 区別しても、確率が かわらないときに 等分化が 成立する。

箱を 区別した場合、 たとえば

（R1、R2）の 素確率は １/４２

（「起こりやすさ度」は １２）

じゃあ 箱の 区別をなくす。「脱区別化」だ。まるかっこ から ちょびかっこ にするところに注目！

{R1、R2 }の素確率は １/２１＝２/４２

（「起こりやすさ度」は ６ ）

比較すると わかりやすくなったと思うけど、

（R1、R2）の枝は １ 本

{R1、R2 }の枝は ２つまとめられていて 日本の枝が セットになっている。セットは ２！本

すべての枝が ２つセットに 結び付けられているイメージ。

この結びつける作業を 等分化 と 呼ぶことにする。

この等分化を 利用することで、確率の計算の中に C型の 積の法則による数え上げが 可能になる。

文系の国立志望のひとで、確率が なんとなく わかっているよーな という人は、このC型の 数え上げを まったく使わずに、答えればいい。それでも 困ることはないし、計算が 多くて 嫌になるということもない。計算が 多くなったとしても、２倍になるだけだから。

「確率の基本性質」

１．選んだボールの背番号の数の 最大値を指定する確率。

たとえば さいころを ３回振って、出た目の最大値が ５以下である確率。

これは 本当に よく出る 読み替え。

（１から ５の どれかが ３回でる）－（そのうち、５が 出ないものを くりぬく）

素確率は （１．５．２．）＝１/２１６

起こやすさ度＝（１から ５の どれかが ３回でる）－（そのうち、５が 出ないものを くりぬく）

＝ ５の３乗 － ４の３乗

「独立な試行の確率」

独立な試行も 上のような 従属な試行も 「素確率×起こりやすさ」という 定式だと 変わらないことに 気づいていただけたでしょうか。

これが 私が 考えた 確率のふたつめの定義の 強さです。

「反復試行の確率」

独立な試行も、反復試行も 上のような 従属な試行も 「素確率×起こりやすさ」という 定式だと 変わらないことに 気づいていただけたでしょうか。

これが 私が 考えた 確率のふたつめの定義の 強さです。

「期待値」

１．Expectation。定式

センター試験で かならず でるので、やりがいがあります。

E（X）＝ΣXk・P（Xk）

Xkが 確率変数。その確率変数のときの 確率を P（Xk）で あらわします。

確率変数は 賞金だと おもってください。P は その賞金の 当選確率。

お金が大好きなみなさんは 目の色を変えて 期待値計算を 勉強し始めるはずです。

１枚の宝くじを 買ったときの、期待値。

EX＝１００００００００００００円×０．００００００００００００００００００００００００００００００００００００００１＋０円×０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９

＝０．０００００００００００１ 円。

こんなに 期待値が 少ないことにお金を 使うよりも、勉強して、頭よくなって、もうける科学を 学んで、起業することに お金を使ってください。つまり、アフィリエイトしてください！本を買うにも、Amazonで リンクを クリックした後に お願いします。

２．E計算、テーブル化

大切なのは、Pを起こりやすさ度のみで 表現すること。XPの足し算をしたあとに、一気に 分母で割る。

↓起こりやすさ度 を 書く。確率で 掛け算をするのは 遠回り。

X P ＝ XP

１０ １ １０

２０ １ ２０

３０ １ ３０

４０ １ ４０

５０ １ ５０

６０ １ ６０ （＋

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

２１０

÷６ ＝ ３５円。￥

こうすれば、整数の足し算になって、はるかに計算効率がいい。

これは 誰も 教えてくれない技術ですけど、普通に 考えれば、こうしますよね。

イントロダクションとしての 場合の数、確率は ここまで。

データベースとしての 確率は 別のデータベースで やります。

２．論理と集合

「命題と条件」

１．二項演算とは？ふたつの項を 操作（Function）して、ひとつの項を つくること

論理というのは 二元論が 成り立つってことです。じゃあ 二元論を 狭義で あらわす

「二項演算」を 紹介します。

二項演算とは 「ふたつの項を 操作（Function）して、ひとつの項を つくること」です

たとえば じゃんけん

じゃんけんも 二項演算です。

（ちょき）☆（ぐー）＝（ぐー）

↑ ↑ ↑

２つの項 から １つの項を 作る。☆が Functionです。ちなみに この☆マークは 適当な 記号です。別に記号は なんだっていいので ＊ でも ￥でも ％でも ＄ でも ?でも なんでもいい。

すべての演算のうち、「二項演算」以外には、たとえば 「多項演算」があります。数列の和は 多項演算です。１＋２＋３＋４＋５＝１５

もちろん、二項演算として 代表的なものは 四則計算。

１?１＝２ ?に あてはまるのは ＋ です。

３９●３＝１３ ●に あてはまるのは ÷ です。

もうすこし 一般化すると、

（１項目）☆（２項目）＝（Output）

です

２．R（実数）が ＋ × ÷ － の 四つの演算で 閉じている とは どゆこと？

それは Rどうしの 二項演算の 結果が Rってことです。

つまり

R☆R＝R （Rどうしを ＋ × ÷ －で 計算しても Rのままってこと）

このように 要素どうしの二項演算以外にも、集合どうしも 二項演算することができる。

こういうのを 「拡張」する っていいます。

一方、奇数の集合をDとすると、＋ × ÷ －で D は 閉じていません。

D×D＝D は 成立しますが、＋ ÷ － では 二項演算が 成立しません。

というわけで 、数の集合N Z Q R で テーブルを 作ると、

＋ － × ÷

N ○ ○

Z ○ ○ ○

Q ○ ○ ○ ○

R ○ ○ ○ ○

○が 閉じている二項演算です。

（ ◎。Augustus de Morgan

バー によって ひっくり返す。証明は、Ben'z で お願いします。）

３．真偽も 二項演算で やっつける。

いままで どうして 二項演算を やってきたというと、真偽を 判断するのに、二項演算を 使うからです。

ここで 数学的に、デジタルで 真偽を 扱いましょう。真は True で 「１」とします。 偽は False で 「０」とします。

３．１．命題というのは 真偽を 判断できる「SがVである」という文章のこと

命題：Proposition

「私は ２０代である」というのは 命題ですが

「私は 天才である」というのは 命題ではありません。

違いは、２０代かどうかは １ か ０ に決められますが、天才である は あいまいすぎて、 決められないからです。

じゃあ、命題どうしを くっつけてみましょう。

「私は ２０代である」かつ「私は 木村拓哉である」

このとき、命題そのものを 文字に置換しましょう。

ｐ かつ ｑ

もっと 数学記号を つかって、抽象化しましょう。「かつ」を 「∧」という記号を 使って表現します。「アンド記号」といいます。「∩」の積集合を つくったときと まったく同じ起源を持つ記号です。∩ →∧ 、∪→∨ という 関係を持っている。

ｐ ∧ ｑ 。

じゃあ 今度は 「または」

「私は ２０代である」または「私は 木村拓哉である」

ｐ ∨ ｑ

じゃあ 次は 否定

「私は ２０代 ではない」

￢ｐ

（ほんとは バーを ｐ の上に 書きたいんですが、HTML では 難しいので、 左上に 「￢」記号を くっつけます。これも 正式な表現です。）

さて、二項演算。

このｐ∧ｑ は 二項演算に 見えてきませんか？

じゃあ 「真偽表（真偽テーブル）」を 作ってみましょう。

ｐ ｑ ￢ｐ ￢ｑ ｐ∧ｑ ｐ∨ｑ

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0

1 が 真。 0 が 偽を 表現してます。

「私は ２０代である」が うそ 、つまり ０ で

「私は 木村拓哉である」が 本当 つまり １ である場合、

「 「私は ２０代である」または「私は 木村拓哉である」 」 は 本当 つまり １ というわけ。

ここで 大切なのは、日本語で 考えないこと。

日本語のような感覚的な 言葉と 論理って 違和感があるんです。

あくまで 「演算」として 捉えてください。

じゃあ ∧ と ∨の 二項演算を まとめましょう。

ｐ∧ｑ＝ （∧は 両方とも １ じゃないと １にならない。

１∧１＝１

１∧0＝0

0∧１＝0

0∧0＝0

p∨q= （∨は 片方１ なら １になる）

１∨１＝１

１∨0＝１

0∨１＝１

0∨0＝0

上の 二項演算が 正しいかどうかは、ベンズを 書けば すっきりわかります。みなさんは それぞれを 絵をかいて、ほんまやでー と 納得してください。

３．２．「ならば」も 二項演算に できる！

ｐならばｑ

ｐ→ ｑ

たとえば

「私は 亀梨和也である」→（ならば）→「私は ２０代である」

じゃあ 真偽テーブルを 作ってみましょう。

ｐ ｑ ｐ→ｑ ￢ｐ ￢ｐ∨ｑ

1 1 1 ０ １

1 0 0 ０ ０

0 1 1 １ １

0 1 1 １ １

これで わかることは、「ならば」というのを 日本語で 考えてしまうと、さっぱり わからない ということです。

「私は 亀梨和也である」が うそ つまり ０

「私は ２０代である」 が 本当 つまり１

このとき

「私は 亀梨和也である」→（ならば）→「私は ２０代である」 は 本当 つまり １

意味が わかりません。これが 論理と 日本語の解離です。

でも 論理は 正しい。

そこで 「ならば」という二項演算を 別の角度から 眺めてみる。（数学的に「解釈するのを 逃げる」 ともいいます）

じつは

「ｐ→ｑ 」という二項演算 は 「￢ｐ∨ｑ 」と 結果が同じになります。

（数学的に「解釈するのを 逃げる」というのは、このナラバ の例に限らず 、

（３の０乗 ）＝１ とか ０！＝１ とか ｎCo＝１ として 逃げるのと 同じです。）

これで 「ならば」も 二項演算 の中に入れることができた。

３．３． 「ならば」を ベンズ によって 証明する。

上の例では、「グラフで 表現できない 命題について」 の 「ならば」でさえも、真偽を 判定する方法を 紹介しました。

でも、試験では でません。でるのは 「グラフで表現できる 命題」だけです。

たとえば

「｜ｘ｜＜３ ならば ｘ＜３ 」とか。

これを 上の命題のように ちゃんと 主語述語の関係にしてみましょう。

「ｘが ｜ｘ｜＜３ を満たしている」ならば「ｘが ｘ＜３ を満たしている」

ｐ → ｑ

ｐ が １ ならば ｑが １ が １か どうか 調べる。

「ならば」 における 正しさは

「ｐが小さい集合 → ｑは ｐよりも大きい集合で、ｐ を 包み込んでいる」 が 成り立つとき、この ｐ→ｑ は 真。つまり １ である。

この定式の 覚え方は、「例えること」によって覚える。

人類という集合 ｖｓ 動物という集合。

「私は動物である。ならば 私は人間である」は ０． うそ

「私は 人間である。ならば 私は動物である」は １．ほんと。

集合が ぶわ っと 膨らんだら、真である って いうイメージ。

結局のところ、グラフを書いたら、それで 終わりってこと。カンタンです。

もし、ぶわっとふくらみ きらずに、ｐが はみ出していたり、ｑの方が 小さかった場合、上の「ならば命題」は 偽 、０ ということ。

「必要条件・十分条件」

ｐ→ ｑ において、真が 成り立つ場合、どっちかが 必要（Necessary）条件、十分（Sufficient）条件。

覚え方は 簡単。N は North。Sは South。（North← の こじつけ方は、馬場敬之 を参照）

ｐ→ｑ が １ で 、

ｓ→ｎ 矢印は North を向く。つまり ｑ が 必要、pが 十分条件ってこと。

今度は、

ｑ→ｐ の真偽を 調べて、ｐが 必要条件になりえるか調べる。

両方成り立つなら、ｐ と ｑ は 必要十分条件というわけ。

もし ｑ→ｐが 偽なら、ｐ は 十分条件であるが、必要条件ではない となる。

とにかく 「ならば」は 絵を描いて、ぷくーっと 膨らむかどうか 調べればいいだけ。

「逆、裏、対偶」

１．覚え方。

「キューピーちゃん 腕と 足が 逆だよ！」

「BAR の 裏。」

「対偶 バーで逆。」

で 覚える。

バーは ￢ ってこと。

「ｘが ｘ＝２ である」の否定は 「ｘ が ｘ＝２ でない」「ｘが ｘ≠２である」

ドモルガン より、記号が ひっくり返るのが、否定。

Venn図で 調べれば すぐにわかる。白と黒を 反転させるのが 否定。

２。間接証明。

２．１．対偶法

証明する条件の中に、「ならば」という言葉が 入っていたら、対偶で 証明するんだな と 思いましょう。

これを 「ナラバ、タイガーアッパーカット」と 呼びます。（うそ）

２．２．背理法

証明する条件の中に、否定的言葉が 入っていたら、背理法で 証明するんだなと 思いましょう。

これを 「否定命題 背理法」「ひーてめー ハイリー！」と 呼びます。

合成命題であるｐ→ｑ のタイプの命題なら ￢ｑ が 真と仮定して、その値を使って、ｐ が 偽であることを 導く。

単純命題であるｐ。つまり 「√３ は 無理数である」なら、￢ｐ が 真と 仮定して、その等式が 成り立たないように 矛盾点を 見つける。

否定命題データベース。

１．◎と ○は 異符号である

同符号として

２．○は 無理数である。

○を 有利関数と仮定して 定式する。

３．○≠☆ である。

イコールと仮定する。

４．

３．平面図形

平面幾何学で 定式していることというは、「辺の長さを求める」と 「角の大きさを求める」だけです。

「他にも、比を求めるとか、相似を証明するとか あるはず」と 思ってる方も いらっしゃるかもしれませんが、比を求めるのは、辺の長さを求めたいからです。相似を証明するのは、辺の長さを求めたいからです。

つまり、比を定量するのも、相似を証明するのも、辺の長さを求めるための定式のひとつでしかないんです。

「三角形の辺と角」

三角形は、最小の単位です。だから、四角形も 二つの三角形が くっついたもの という解釈が 成り立つ。だから、四角形に特有の定式というのは 円に内接する四角形に のみ存在できます。

０．すべての基本は 「三角形の決定条件」

問題に出された三角形が 「たったひとつに 決まる」というのが 三角形の決定条件。

これが 何よりも大切です。もし、この三角形の決定条件を 満たし、ひとつに決まる三角形なら、必ず、辺の長さと 角の大きさを 求めることができます。

ですから、角度や 辺の大きさを求めようとする前に、とりあえず 、三角形の決定条件を定式してください。

決定条件は ３＋１種。

「SSS」と「SAS」と「ASA」の三つ。（「ASS」というのは 可能な形が２つ生まれる。ので ＋１）

Sは Side つまり 辺。A は Angle つまり 角。

よく 三辺相等、二辺侠角相等、二角侠辺相等とか よくわからない言葉で 中学とかで 習うと思いますが、忘れてください。SSS と SAS と ASA でいいです。

http://library.thinkquest.org/20991/geo/ctri.html

上の サイトは 参考になります。英語で Geomertyを 記述すると、いかに 日本語が 毒されているか わかると思います。ますます 日本語で 数学を記述するのが 嫌になりますよね。

１．辺の長さを定式する。

１．１．方べき

１．２．三平方

１．３．三角形の相等、相似による 辺から辺への相等

１．４．チェバ

１．５．メネラウス

１．６．トレミー

１．７．中線定理

１．８．同比、同長系

１．８．１．平行線系

１．８．２．二等辺三角形

１．８．２．有名定規三角形

４５，４５，９０ とか ３０，６０，９０．は 角度が わかれば、比がわかる。

１．９．面積からの定式

１．１０．円周定式

２．角の大きさを 定式する

２．１．「９０度」系

２．１．１ 直交

２．１．２．接線と接点と中心

２．１．３．直角直径

２．２．「和が １８０度」系

２．２．１．内角とその外角

２．２．２．三角形の内角の和

２．２．３．平行線の同傍 内角

２．２．４．補角どうし

２．２．５．円に内接した四角形の内角と対頂角。

２．３．同じ角度系

２．３．１．両底角

２．３．２．対頂角

２．３．３．平行線の 錯角、同位角

２．３．４．円周角

２．３．５．ヨット角

２．４．倍角系

２．４．１．中心角と円周角

３．辺から 角度、角度から 辺を 行ったり来たりして 求める。

３．１．正弦定理

３．２．余弦定理

３．３．面積の情報から 角、辺を求める。

３．３．１． 三角形の面積公式

３．３．２．円の面積公式

３．４．直角直径

さて

幾何学のコツ。

１．絵を 正確に描く練習を。

２．絵をくるくる 回して、いろんな角度が 眺めること。

３．薄く点線で書いて、修正しやすいように。

４．最初は データだけの適当な図 を 描いて、その後、正確な 辺の大きさと 角度の図を描く。

正確な絵が書ければ、半分以上解けたようなものです。

あとは 定式の方法を 覚えるだけ。

以下、自分でデータベースを作ってください。

言葉で表現できるのはココまでです。

「三角形の外心、内心、重心」

自分でデータベースを作ってください。

「円周角」

自分でデータベースを作ってください。

「円に内接する四角形」

自分でデータベースを作ってください。

「円と直線」

自分でデータベースを作ってください。

「方べきの定理」

自分でデータベースを作ってください。

「２つの円の位置関係」

自分でデータベースを作ってください。

数学IIデータベース

私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。

物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。

数学は チャートの目次を 利用することにします。

目次

１．図形と方程式

「点と座標」 「直線の方程式」 「円の方程式」 「円と直線」 「軌跡と方程式」 「不等式と領域」

２．三角関数

「一般角と三角関数」 「三角関数の性質」 「加法定理」 「倍角・半角・積と和の公式」 「加法定理の変形」

３．指数関数と対数関数

「指数の拡張、累乗根」 「指数関数」 「対数とその性質」 「対数関数」 「常用対数」

４．微文法

「微分係数と導関数」 「関数の増減、極大・極小」 「最大値・最小値」 「グラフと方程式・不等式」

５．積文法

「不定積分」 「定積分」 「積文法と微文法」 「面積」 「体積」

１．図形と方程式

「点と座標」

１．分点は たすきがけ

２．幾何的な定性を 座標空間に入れることで、定量しやすくする。

「直線の方程式」

１．直線の定式は ３種類。これ以外は 必要ない。

１．１．傾きとｙ切片式

ｙ＝ｍｘ＋ｎ

１．２．法線ベクトルによる定式

ax+by+c=0

（法線ベクトル）＝（a,b）

直線上の定点A（ｊ、ｋ） と 動く点 P（ｘ、ｙ）として 内積定式

（ベクトルAP）・（法線ベクトル）＝０

（ｘ－ｊ、ｙ－ｋ）・（a,b） ＝０

a（ｘ－ｊ)+b(ｙ－ｋ） = 0

ax+by+ c=0

１．３．ベクトル表示定式

ベクトルOP＝ベクトルOA＋（方向ベクトル）・ｔ

ｔ は Time のｔ。ベクトルOP＝（x、ｙ）とすれば、ｔのパラメータ表示。

さて

あんまり 実用じゃないけど、でてくるその他の直線。

１．４．ふたつの定点AとBの 垂直２等分線。「大きさ＝大きさ」の軌跡

｜ベクトルAP｜＝｜ベクトルBP｜

１．５．束による ２次曲線どうしの共通弦定式。

ｆ＋ｋ・ｇ＝０ で二次項を 消す。

１．６．傾きが うごく ぐるぐる直線。

たとえば、ｙ＝ｔ（ｘ－３９）＋５１

１．７．接線定式。

ｙ＝ｆ’（ｔ）（ｘ－ｔ）＋ｆ（ｔ）

１．８．法線定式

ｙ＝－１/ｆ’（ｔ）（ｘ－ｔ）＋ｆ（ｔ）

１．８．極線定式。

１．９．角の２等分線

２．Hesseの点と直線の距離式。あるいは 点と平面の距離式

２．１．円と直線の関係。

２．２．球と平面の関係。

「円の方程式」

１．円定式

３変数。

１．中心と半径式

２．一般式

ｘｘ＋ｐｘ＋ｙｙ＋ｑｙ＋ｒ＝０

「円と直線」

１．交点の判別式 は ２種類。

１．判別D式

ｙか ｘ の変数を 消して、２次関数扱いする。

２．Hesseによる半径と 直線と中心の距離 の関係式

「軌跡と方程式」

軌跡については、上記 オススメの参考書である 「軌跡・領域」（今野和浩著）を 読めばわかります。と、この本をオススメして、私は 静かな大学生活に戻りたいところなんですが、確かに 理解はできるんですけど、この本を 完全に理解しても、立体的にイメージすることは できないんです。

やっぱり、平面的な 参考書に書かれた内容を 立体的に 豊かなデータベースに 昇華していく必要がある。

ここで 「値域」→「軌跡」→「領域」の 三階構造を はっきりさせましょう。

この考え方は 私のオリジナルです。上の参考書には 載ってません。

１．「値域」→「軌跡」→「領域」の 三階構造

じゃあ この三つを 比較しましょう。テーブルを作ります。

たとえば ｓ、ｔ∈R で 次のような 条件式があったとします。３種で 条件と その定式が どういう形をしているか 比較してみましょう。

パラメータの条件式。 欲しい範囲を表現する定式

値域はX軸上の線。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＝３ｓｔ ｓ＋ｔ＝X の範囲

軌跡は XとY平面上の線。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＝３ｓｔ ｓ＋ｔ＝Xと ｓ・ｔ＝Yの範囲

領域は XとY平面上の面。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＞３ｓｔ ｓ＋ｔ＝Xと ｓ・ｔ＝Yの範囲

違いを はっきり 対象化できたでしょうか。これが データベースです。

値域は １次元の線分。軌跡は ２次元上の線。領域は、２次元上の平面。

２．「値域」→「軌跡」→「領域」に 共通する 定式イメージ。

たとえば 軌跡だと、

「（Ⅰ）点の分析的な定式群」→→→変数ｔ を 消す。→→「（Ⅱ）軌跡の 総合的な定式群」

①X＝（ｔの式） ① ｆ（ｘ、ｙ）＝０で グラフ。

②Y＝（ｔの式） ② グラフの範囲。ｘの範囲

③X、Y、ｔの範囲。少なくとも実数。

↑ ↑

↑ ↑

「（Ⅲ）ｆ（X,Y,ｔ）＝０ の式から、 「（Ⅳ）Vector OP＝（x、y）で 等式を作る」

（X,Y,）＝（（ｔの式）、（ｔの式））の 点を 抽出する。」

値域の場合、 （Ⅰ）→（Ⅱ）

領域の場合 上の軌跡の形とまったく同じ流れを持つ。

３．軌跡の 定式。（Ⅲ）→（Ⅰ）→（Ⅱ）の分析的定式系

１．頂点

２．重心、中点、内、外の分点

３．直交、交点

３．１．点と 直線

３．２．直線、直線

３．３．直線、放物線

３．４．直線 、円

３．５．放物線、放物線

３．６．円、円

４．反転点

５．条件点

こうして （X,Y,）＝（（ｔの式）、（ｔの式））を 抽出したら、

Y＝ｆ（X）になるように、ｔを 消す。

ｔ を 消すと 点→ 線分に 変化するイメージ が 大事。（ｔ はTime のt。時間に関係なくなるということは、存在する場所が 定式できたという証拠）

このとき、ｔの範囲によって、Xの範囲が 決まることに注意。

４．軌跡の定式。（Ⅳ）→（Ⅱ）の直接的定式系

１．距離系

１．１．点と点から １：１の距離に分布 すると、中線

１．２． 点と点から １：ｋの距離に分布 すると、アポロニウスの円

１．３． 点と線から １：１の距離に分布 すると、放物線

２．距離の和、差、積 一定系

１．１．距離の和一定 楕円

１．２．距離の差一定 双曲線

１．３．距離の積一定 反転（条件により、線か、円のどっちかになる）

３．Scale 一定系

１．１．内積一定系

１．２．三角形の面積一定系

改めまして、

軌跡の解き方データベース。

１．軌跡で使う記号を 定義しましょう。（いつも おなじ 文字を 使うことを オススメします。問題に与えられた文字を すぐに 置換しましょう。たとえば α、βが あたえられても、ｓ、ｔ と置換します。）

点P系 の １変数のときは Time の ｔ。２変数のときは ｓ と ｔ

点Q系の X と Y。これは Y＝ｆ（X）の形になったとき、ｙ＝ｆ（x）に 戻します。わざわざ XYのように 大文字にしたのは、ｘ、ｙ平面 を 意識するためです。というのも、このX、Yは 変数というよりも 定数のような感覚で 扱うからです。

２．軌跡とは なにを やっているかというと、ある決まったルールに そって、点Pを 動かすとき、ある決まったルールに従って、Pと連動して、点Qが 動く という変換（Mapping、Image）を やっているんです。

P→ｆ→Q です。これが 関数の基本でしたね。

Qが線上（ｘｙ平面内）を 動く場合、その線のことを 軌跡と呼びます。

Qが面上（ｘｙ平面内）を 動く場合、その線のことを 領域と呼びます。

Qがｘ軸上を 動く場合、その線のことを 値域と呼びます。

３．軌跡には ４つの 階層があります。

３．１．点P系の ｔ の動き

３．２．ｔの動きから X、Yを 抽出。

３．３．点Q系の Y＝ｆ（X）の動き

３．４．点Q系の 図形的不変量を抽出。

４．XYの抽出作業。

４．１．交点の中点、分点

４．２．頂点

４．３．交点

４．４．円の中心

４．５．反転した点

４．６．抽出不可能な関数で飛ばしただけの点。No Image点

たとえば X＝ｓ＋ｔ 、Y＝ｓｔ のような 点のこと。

５．パラメータｔ あるいは パラメータ sinθ、cosθ あるいは ２パラメータｓ、ｔ を 消す作業。

パラメータというのは Time です。時間にそって、X,Yが 動くイメージ。

Time に大して X、Yが 一対一に対応するんです。

この Time を 消せば、ｙ＝ｆ（x）の 軌跡の点の集合である線が 抽出できます。

ただし、変数を消すときは かならず、範囲を 確かめてから 消しましょう。でないと、余計な ところまで 軌跡が 動いてしまう。

５．１． ｔ＝ｆ（X）を つくって ｙ＝ｇ（ｔ）の中に入れて消す。

５．２． X/Y ＝ｔ を つくって 消す。

５．３．ｃｃ＋ｓｓ＝ １ を 使って消す。

５．４． 上記４の 抽出作業を 省略して ｔを消す。

動く直線どうしの交点の軌跡

反転点の軌跡

で 省略します。

５．５． ｆ（ｓ、ｔ）＝０の等式条件から ｓとｔを消す。

これ以外、でません。安心して 軌跡の問題を 解いてください。

６．不変量から 直接 Y=ｆ（X）を 定式する。

距離系なら 三平方式、Hesse式

角度系なら tanθ茄子角式。内積式

これ以外の式で

幾何的に、距離が 一定になることで 円を 作り出す という流れが よくあります。

「不等式と領域」

軌跡から 領域になると （Ⅰ）において 点から線になる

「（Ⅰ）線の分析的な定式群」→変数ｔ を 消す。→→「（Ⅱ）領域の 総合的な定式群」

①ｆ（X、Y、ｔ）＝０ ① ｆ（ｘ、ｙ）＜０で グラフ。

②X、Y、ｔの範囲。少なくとも実数。 ② グラフの範囲。ｘの範囲

↑

（Ⅳ）図形の移動

１．線が動く軌跡が 領域。

上記の軌跡は 「点が動くことによって、軌跡として 線」ができました。

領域では 「線が動くことによって、軌跡として 平面」ができます。

つまり 線の通過範囲が 領域なんです。

さて、

領域の定式は 種類。

２．領域の定式。（Ⅰ）→（Ⅱ）の分析的定式

１．Fax 定式（直接的）

２．包み絡む定式（直接的）

３．媒介変数ｔの存在条件による間接的定式。

①ｔ が １次なら 「ジロー４flow」

②ｔ が ２次なら 「D判別式」

４．点上を ぐるぐる回る直線 と 平行に ズレながら うごく直線。

３．領域の定式。（Ⅳ）→（Ⅱ）の総合的定式

１．相似形の図形が ぐるぐる 動くグラフ。

これだけ。

というわけで、こういう感じで、データベースを 作ってみてください。

軌跡と領域の問題は チャート式では 太刀打ちできないことがよくわかると思います。

チャートでは 問題の種類が 少なすぎて、データベースが 不完全になってしまうからです。

今野和浩の 本で しっかり データを 増やしてください。

整理して覚えれば、確実に 試験中の 思い出せますよ。

２．三角関数

「一般角と三角関数」

とりあえず、数学ⅠAの 三角関数のところを見てください。

そこで「円関数」の考え方から、 一般角の概念も、得られます。

「三角関数の性質」

１．三角関数というか 円関数による 変数の ２次関数

数学ⅠAで 止まった２次関数の や 動く２次関数と動く定義域による ｍ＆M の変化について データベースしました。

そのデータベースにおいて、ｘ が cosや sin に変化するだけ。

「加法定理」

１．加法定理の覚え方は 記号化

S＋＝ｓｃ＋ｃｓ

S－＝ｓｃ－ｃｓ

こじつけ方。Sは plusは plusになる 素直なやつ。Sは ｓｃのように クロスタームになる。クロ「エス」タームになる。Cross term。そして、Sは ｓが 好きだから、ｓｃ の項が左になる。

上のsinの中の角度は α ＋β の順で、sinαcosβの順に、角度が 入っていく。

まあ、語呂合わせで やりたいひとは やってください。

次、

C＋＝ｃｃ－ｓｓ

C－＝ｃｃ＋ｓｓ

こじつけ方。Sは plusは minusになる あまのじゃくなやつ。ビタミンCといえば CCレモン。ｃｃやｓｓのようになる。そして、Cは ｃが 好きだから、ｃｃ の項が左になる。

こうやって SとCに 性格を つければ 私は 覚えられました。色をつけるっていうかな。

これは 私のオリジナルの覚え方です。

２．加法定理の証明。

私は 複素平面でやるのが 好きです。いろいろあるので 好きなやり方をどうぞ覚えてください。

「倍角・半角・積と和の公式」

加法定理が導き出せれば、すべての 三角関数の 定式を 思い出すことができます。覚えなくてもいいんです。

１．tanの加法定理。

これも 覚えなくてもいい。

ｔ＋＝ｓ＋/ｃ＋＝ｓｃ＋ｃｓ/ｃｃ－ｓｓ

「tanの加法定理は なす角定式」です

２．倍角というか 半角定式

２αの角のsin、cosを ’ を つけて 表示すると、

S'＝２ｃｓ （クロスタームを ｃとｓ で書くとき、普通は、ｃを先に書きます。それが 数学がわかっているひとと わかっていないひとを 見分けるリトマス試験紙みたいなものです。）

C’＝ｃｃ－ｓｓ＝２ｃｃ－１＝１－２ｓｓ

C’から 半角定式がでてきます。

これは 別名「三角関数の次数下げあるいは 次数上げ定式」であり「三角関数の √はずし定式」でもあります。

１．ｃｃ ｓｓ ｃｓ の２次項は すべて １次の項に 次数下げできます。

２．１＋ｃ 、１－ｃ は ２次式に 次数上げできます。これを 利用して、ルートを消す。

３．和→積、積→和 の定式。

これは 覚える必要なくて、導き出す必要がある定式です。２０秒以内に、定式を 思い出せるように 反復練習してください。

導き方は、カンタン。

S＋＝ｓｃ＋ｃｓ

S－＝ｓｃ－ｃｓ

を 足したり引いたりするか、

C＋＝ｃｃ－ｓｓ

C－＝ｃｃ＋ｓｓ

を 足したり引いたりするか だけです。

つまり ４通り。

S＋＋S－＝２ｓｃ

S＋－S－＝２ｃｓ

そして

C＋＋C－＝２ｃｃ

C＋－C－＝－２ｓｓ

和 ｖｓ 積

これを 右に行ったり、左に行ったりすればいいだけ。

「加法定理の変形」

１．asinθ＋ｂcosθ＝ｒ sin（θ＋α）は 加法定理だけど、加法定理を 使って、導かずに、絵を描いて、こじつけで すぐに定式できるようにする。

（a,b）という 座標を書いて、

＊。ここまでの すべての三角関数のｃとｓに関数する 定式を すべて 総動員して、三角関数の 方程式のデータベースを 作ります。

アフィリエイト次第で、データベースを 紹介しよーかなー

じゃあ、Teasing ついでに、ちょこっと 紹介。

「標準形。Acos（ω（ｔ＋T））」

１．cos、sin、tan の３元

２．ω の角速度元

３．ｔ の 時間元

４．Tの 時間ずれ元

この４つの元を 「一元化」することを考える。

１．cos、sin、tan の３元の一元化

１．１．三平方

１．２．tan消し

１．３．人と他人

１．４．ｃ＋ｓ合成

１．５．すべてを半角のt に変える。

１．６．すべてを ｃ＋ｓ＝ｗ の形に変える。

２．ω の角速度元の一元化

２．１．倍角式

３．ｔ の 時間元の一元化

３．１．等式条件 変数消し

４．Tの 時間ずれ元の一元化

４．１．加法

４．２．積和

４．３．和→積しぼり

「どうやったら 積の形にできるかだけを 考える」

（ｃだけの式）（ｓだけの式）＝０

「sin（ω（ｔ＋T））のωｔ＋Tの ωとTの形によって、定式を決める」式。

１．ω系。

１．ω＝＋１、－１系

θ＝３０具体化変換

２．ω＝２、１/２ 系

C’＝ｃｃ－ｓｓ

→二次同次化

←次数下げ

←同じθ化

→√消し

← 半角の式

S’＝２ｃｓ

→二次同次化

←次数下げ

←同じθ化

→ ｃｓ対称式化

３．ω＝３ 系

サンシャイン引いて夜風が身にしみる

４．ω＝４以上 系 は チョビチェフ

２．T系

１．T=＋－９０° 系

θ＝３０具体化変換

２．T=＋－１８０°系

θ＝３０具体化変換

３．指数関数と対数関数

「指数の拡張、累乗根」

１．指数を 考えるときも、つねに グラフと一対一で イメージし続ける。

ｙ＝eのｘ乗

２．「両辺を○乗する」ｖｓ「両辺を１/○乗する」

これは

ｙ＝ｘの○乗 グラフの中に入れて考える。

○が 奇数のときは ｘは 正でも負でもいいけど

偶数のときは ｘが 正のときのみ。でないと 複素数になる。これは 指数関数は 実数の時にしか考えない。

「指数関数」

１．名前を はっきりさせる。「指数」「底」「対数」の３変数。

ｙ ＝aの ｘ乗

↑ ↑ ↑

「指数」 「底」 「対数」

じゃあ これの逆関数はといと、 logを使って表現する。

ｘ ＝log a ( ｙ ）

↑ ↑ ↑

「対数」 「底」 「指数」

２．大小比較。数の大小関係を保存するような 変換を使う。

比較するための、定規を用意する。定規の種類は３つ

２．１．底 定規による ｙ＝aのｃ乗グラフ

たとえば

ｙ＝２のｃ乗グラフと

ｙ＝３のｃ乗グラフ を ２つのグラフで 比べる。

２．２．指数 定規による ｙ＝ｃのa乗グラフ

たとえば

ｙ＝cの2乗と

ｙ＝cの3乗をグラフ を １つのグラフで 比べる。

２．３． 「両辺ｎ乗」定規による ｙ＝ｘのｎ乗グラフ

目標の数字が カンタンに 比較できる 整数になるように ｎ乗することで、比較する。

これは 目標の数字が 実数で 正だと、

ｙ＝ｘのｎ乗グラフ が 単調増加だから 比較が可能になる。

たとえば

ｘ＝２の１/２乗 と

ｘ＝３の１/３乗 を

ｙ＝ｘの６乗 グラフの中に入れると、

それぞれ

ｙ＝２の３乗 ＝８ と

ｙ＝３の２乗 ＝９ と ｙ軸に イメージできて 比較が可能になる。

３．指数方程式。

今まで、 ２次関数の方程式のｘ を 三角関数のsinやcosやtanにして ２次関数曲線を 描いていきました。それが

２次関数の方程式のｘ を 指数関数の（２のｘ乗） とかで ２次関数曲線を 描いていきます。

三角関数の場合、

sinθ＝定数 で ２つ θが定量できたり、１つだったりしますけど

指数関数も対数関数も 単調増加、単調減少なので １つしかでません。

４．指数方程式の 有理数解シボリ式

（２のｘ乗）＝３ という式になったとき。

この等式は インポテンツ、つまり 絶対に 成立しません。よって

（２のｘ乗）＝（３のｙ乗）という式では つねに

ｘ＝ｙ＝０ が定式データベース来ます。

ｎの０乗は つねに １だから 等式が 成立するからです。こういう定式も たまーーーーーーに 出ます。

「対数とその性質」

対数は 指数の逆関数の位置関係です。おさらいすると次のようになる。

ただし、指数の違って、指数のことを 「真数」という。なぜ 名前を変えちゃうのかは 日本数学会に クレームを 入れてください。

ｙ ＝aの ｘ乗

↑ ↑ ↑

「真数」 「底」 「対数」

じゃあ これの逆関数はといと、 logを使って表現する。

ｘ ＝log a ( ｙ ）

↑ ↑ ↑

「対数」 「底」 「真数」

イメージは

（対数→底で 乗する→真数）

（真数→底で logする→対数）

です。

こういう 逆関数の例をいくつも知っていると、すんなりと することができます。

たとえば

ｙ＝ｘｘｘ の逆関数は

ｘ＝（ｙの１/３乗）

たとえば

ｙ＝sin ｘ の逆関数は

ｘ＝arcsin ｙ です。

（角度情報ｘ →円関数の変位ｙ）

（円関数の変位ｙ→角度情報ｘ）

絵でイメージすると

ｘ →ｆ ： 関数→ ｙ

ｙ →arc f ： 逆関数→ ｘ

ｘから 右に行くのが 関数。

ｙから 左に行くのが 逆関数。

２．対数を考えるときは、常に、グラフ上で考える。

対数関数のグラフは 指数関数のグラフを ｙ＝ｘで ぱったんと ひっくり返した形をしています。

関数ｆ と 逆関数arcfの

ｙ＝ｆ（ｘ）と ｙ＝arcｆ（ｘ） を 同じグラフにいれると

「常に、ｙ＝ｘ と 鏡の関係になる」

（ちなみに、ｘ＝arcｆ（ｙ） は ｙ＝ｆ（ｘ）と まったく同じ関数です。「ｙとｘ を ひっくり返す」という演算は、（x、ｙ）平面上のグラフを ｙ＝ｘ で 折り返すという行為と 同値なんです。）

変換だけを演算としてイメージすると、

arcf ・f ＝１

arcf ・f ・arcf ＝arcf

３。底の変換式。

これは 覚えてください。あんまり 深い意味はない。使いこなすことが大事。

くわしくは 受験教科書。清 史弘を どうぞ。

４．「両辺対数を とる。」というのは ｙ＝log ｘ のなかにいれるということ

たとえば ｐ＝ｑ の 両辺を対数をとる。というか 「logる」 という言葉のメタファーは

ｙ＝log ｘ より

P＝log ｐ

Q＝log ｑ

において、 ｐ＝ｑ が成り立つので、ｙ＝log ｘ は 単調増加で 一対一に対応するので、

P＝ Q も 成立する。

と、ここまでの 思考が メタファーになった言葉です。

５．どんな 指数も 対数にしてしまえば、どのくらいの数字か わかる。

たとえば ２の３０乗と ３の２０乗は どっちが大きいか。

「ログジュウ」つまり、「自然対数で logる 」と 大きさがわかる。

自然対数を log とすると、

log（２の３０乗）＝３０・log２＝３０×０．３＝９ つまり １０の９乗

log（３の２０乗）＝２０・log３＝３０×０．４７＝１４．１ つまり １０の１４．１乗

１０のｒ 乗 という形で、どんな指数も 表現が可能なので、指数を比較するのはカンタン。

そのためには log２、log３ 、log７を 覚えておけば ほとんどすべての指数を 表現できる。

log２＝０．３０１０３０ 去れ！一応 去れ！

log３＝０．４７７１２３ 死なない兄さん

log７＝０．８４５９８０ はしご 配れ

これは 亀田和久の覚え方。「ターミネーターから 逃げる主人公を 思い浮かべればいい」

追い詰められて、はしごで 逃げる様子を イメージ。

「対数関数」

１．対数関数の２次関数方程式化。

三角関数、指数関数の次は、対数関数を ２次関数の方程式っぽく します。

対数関数は 単調増加、一対一対応、範囲なし なので、気兼ねなく、置換して ２次関数っぽく計算できます。

２．対数関数の方程式の log（ ）＝ log（ ） くらべっこ 式

指数関数でも ２のｘ乗＝３のｙ乗 で ｘ＝ｙ＝０ で定式できましたし

三角関数でも sin（ ）＝sin （ ）で くらべっこ できました。

対数でも もちろんできます。しかも 頻度としては、指数関数のくらべっこや 三角関数のくらべっこよりも はるかに 多いです。

３．logの大小。定式

指数では １．底統一 ２．対数統一 ３．ｎ乗して 分母を払う。の 三種類によって 比較しました。

対数では、１．logの定統一。 ２．真数統一。

４．指数に logの変数が 入っていたら、logる 信号。

「常用対数」

１．数の基本的表記方法。

ｚを 整数として、ｋを ０から１未満の実数とする

（１から １０未満）×（１０の ｚ乗）

＝ （１０のｋ乗） ×（１０のｚ 乗）

＝ （１０のｋ ＋ｚ 乗）

＝ （１０のｋ＋ｚ 乗）

つまり ふつうの 次数ｒ ＝ｋ＋ｚ と 表現するってこと。

たとえば

－１２．３４＝０．６６＋（－１３）

こうやって 表記することで、すべての実数を、（１０のｒ 乗）のかたちで 表現することができる。

２．桁は 下駄を 履く メタファー式。

たとえば １０の１２．３４乗 ＝（１０の０．３４乗）×（１０の１２乗）

１０の１２乗だから １３桁。

これは 帰納的に導ける。

たとえば 「２」は 「１桁」

２＝（１０の０．３乗）×（１０の０乗）で 表現できる。

（０．３＝log２ だから）

３．小数第Ｎ位。のメタファー式。

たとえば

１０の－１２．３４乗＝（１０の０．６６乗）＋（１０の（－１３）乗）

１０の（－１３）乗だから 小数第１３位

これも 具体例から 導ける。

たとえば、０．２ は 小数第１位。

０．２＝（１０の０．３乗）×（１０の－１乗）

４．（１８の３５乗）の 最高次数の数字定量。

（１８の３５乗）＝（１０のｋ乗）×（１０のｚ乗）

の形にすればいい。logればいい。

それで １０のｋ乗を 整数で はさめば、求められる。

４．微分法

「微分係数と導関数」

１．微分とは？データベース。

微分は いくつか 意味があります。コアイメージから いろんな派生イメージが でてくるからです。

１．１．「ｘ、ｙ平面でのグラフの２点間の傾き→１点の接線の傾き。」

定式は ｙ＝ｆ（ｘ） ｄｆ（x）/ｄｘ

１．２．積分の逆演算。

ｄ/ｄｘ（ ∫ｙｄｘ）＝ｙ

１．３．「変位ｒ の 速度」

ｄｒ/ｄｔ＝ｖ

これが 一番最初に モデルとして 開発された。ｒ＝ｆ（ｔ）グラフから １．１．を 通して得られたのが 「瞬間速度」という概念。

瞬間という とられようもない小さな単位を 扱うのが 微分。量子的世界なのだ。

一方、

平均速度とか を扱うのは 人間の住んでる世界。日常的世界。

１．４．「グラフを 描く道具としての 微分」

ｆ’（x） で 増減を調べる。

２．極限計算は 数学ⅢC で まとめてやります。

３．微分計算のイメージ。

１の１．２．の定義より、「傾き的世界観」から 「単なる演算子としての 微分」になるのが 微分計算です。

ｙ＝ｘｘｘｘ－４ｘｘｘ＋３ｘｘ－２ｘ＋１

ｙ＝＜１、－４、 ３、 －２、 １＞

微分演算子は 独立変数ｘ に対して、ｘに従属な変数ｙ において ｙ’ あるいは ｄｙ/ｄｘ と 表記します。

つまり（ｄ/ｄｘ）を ｙ に かけているのと まったく同じ感覚の 演算なのです。

さて、微分するときは、数学Ⅰで 紹介した ＜＞簡易表現式を 使いましょう。

ｙ＝＜１、－４、 ３、 －２、 １＞

ｙ’＝＜０、４ 、 －１２、 ６、－２＞

ｙ’’＝＜０、０、 １２ 、－２４、６＞

ｙ’’’＝＜０、０、 ０、 ２４、 －２４＞

ｙ’’’’＝＜０，０， ０ ，０ 、 ２４＞

ｙ’’’’’＝＜０，０，０，０，０，０＞

ちなみに ２階微分は

（ｄ/ｄｘ）（ｄ/ｄｘ）ｙ です。

＝ｄｄｙ/dx・ｄｘ

３階微分は ｄｄｄｙ/ｄｘ・ｄｘ・ｄｘ

帰納的に文字を 使って遊ぶうちに、この演算子に 慣れましょう。×とか ÷を 小学生のときに練習したように。

４．関数方程式。

方程式というか すべてのｘで 成立する等式なので 恒等式なんですけど、一応、別の角度から見ると、

関数方程式とは、 ｆ（ｘ） ごと 変数になった方程式。

たとえば、２次関数方程式で

ｘｘ ＋ ３ｘ＋９＝０ とかいう 方程式があったとする。

このスタイルで 関数方程式 があるとしたら

ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋３ｆ（ｘ）＋９＝０

このように ｆ（ｘ）とｘ と定数だけで 表現される方程式を、関数方程式と 呼ぶ。

最終的な目標は、与えられた関数方程式から ｆ（ｘ）を ｘだけの式であらわすこと。

これを 拡張して、

微分された ｆ（ｘ）、つまり ｆ’（ｘ）が 式に入っている関数方程式を 特に 、「微分方程式」と呼ぶ。

積分されたｆ（ｘ）、つまり ∫ｆ（ｘ）が 式に入っている関数方程式を 特に 、「積分方程式」と呼ぶ。

この両方は、大学受験にも出てきます。というのも、微分方程式は特に、

常微分方程式、Ordinary Differential Equation つまり ODEとして 物理と 解くからです。

たとえば 落下運動 下方向に ｘ 軸をとって

運動運動方程式は ｍa=mg

ｘ＝ｆ（ｔ）と 式がほしい。

加速度a は ｘの２階積分。つまり 速度の微分だから

ｍa =mg

mｆ''（ｔ）=mg

これも 微分方程式。２回 積分すれば、f（t）が 求まる。

ｆ（t）＝ｇｔｔ/２

こういう考え方は、理工系なら 確実に大学でやります。物理学科は 微分方程式を ときまくる生活になると思います。コンピューターに シュミレーションさせるのは 微分方程式を PCに計算させることだからです。

地球シュミレーターで ２１００年の 地球の温暖化具合を 調べるのも 微分方程式を 解いている。雨がどれくらい降るかも 微分方程式。もちろん、ロケットがどれくらい飛ぶかも 微分方程式。F-1の空気力学を 調べるのも、微分方程式。トヨタのプリウス エンジンを 設計するのも、微分方程式。

さて

テストにでてくるのは、次のタイプ。関数方程式といっても 恒等式に違いないので、恒等式の定性を 使って解く。

恒等式の定式は 「なにをいれても成立する」ことを 頼りに立てる。

１．ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋f（y）型。

この型は ｆ（x）が sin、log、指数関数の 特徴を 使っている。

解き方は １通りしかない。知っていれば解ける問題の典型。この解法は あんまり 一般的じゃないので、データベースの中に入れて、覚えればいい。

アフィリエイト後にかこうかなー。

２．整式ｆ と ｘ と ｆ’の恒等式型。

整式というのが 味噌。

ｐｘｘｘｘｘｘｘｘｘ＋ｑｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘ＋ｒｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘ＋・・・・・・・・・・・・・

のうち 最高次数ｎ を 定量する。恒等式であるから、比べっこすれば ｎを求められる。

「関数の増減、極大・極小」

１．グラフを描く技術。微分。グラフを書くとは、最大値、最小値をもとめるのと同値。

なんで グラフを描くことが強調されるかというと 最大値、最小値をもとめるため。

ⅡBだと、３次関数までしか 描きません。

「最大値・最小値」

１．条件を 定式して、グラフを書いているだけ。

だから、新しく学ぶのは、「条件を定式にすること。」

↑ この部分だけを データベースすればいい。

そうすれば、得意になりますよ。

「グラフと方程式・不等式」

１．３次関数の ｘ軸との交点定量。＝ ３次関数の方程式の解の個数。

２次関数だと Dや ｆ（頂点）の正負によって、動く２次関数、動く定義域での 解の個数を定量したんですけど、

３次関数では ｆ（左の極値）とｆ（右の極値）の正負によって 動く３次関数、動く定義域での 解の個数を定量します。

絵を描いて、すべて場合わけするところは ２次関数とまったく同じです。

５．積文法

「不定積分」

１．積分の定義イメージ。

１．１．小さい長方形の無限足し算。

Σｆ（ｘ）Δｘ→∫ｆ（x）ｄｘ

１．２．微分の逆演算。

（∫ｄｘ）ｄｙ/ｄｘ＝∫ｄｙ＝ｙ

２．不定積分の計算は 微分の逆演算で 定式する。

定義の１．２．で 導出する。

「定積分」

１．積分の方向。積分ベクトル。

「囲まれた面積」は Scale。A地点から B地点への 道のり。

「定積分」は Vector。 A地点から B地点への 距離。 のイメージ。

ｘ軸の上の長方形は plus。

ｘ軸の下の長方形は minus。

ⅡBでは 出ませんけど、媒介変数表示した関数だと

右に動く関数の長方形は plus。

左に動く関数の長方形は minus。

２．積分計算のコツは 数学ⅢCで まとめて 書いてあります。

「積文法と微文法」

２．積分方程式。

微分方程式は、ｆ と ｆ’ と ｘ と定数によって 成り立っているものでした。

積分方程式は、 ｆ と ∫ｆｄｘ と ｘ と定数によって 成り立っているものです。

積分方程式は、微分方程式と違って、あんまり 実用じゃありません。どちらかっていうと、数式遊びっぽい。

形がいろいろあるので、分類しましょう。

まずは 見た目による場合わけ。

ｆ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ のALL型ｖｓ ｆ＝ｘ＋ｘｘ＋・・・＋∫ｆ（ｘ）ｄｘのHybrid型

そして もうひとつの分類が

∫ｆ（ｘ）ｄｘが 定数ｖｓ変数で 場合わけ。

２．０．ALL型ｖｓ Hybrid型

２．０．１ ALL型は ２種。積分範囲一定型ｖｓ 積分範囲変数型

２．０．２．Hybridも ２種。積分範囲一定型ｖｓ 積分範囲変数型

この種類による 角度では ４種類。

別の角度からみると、ちょっと 種類が増える。

２．１．∫ｆ（ｘ）ｄｘが 定数のとき。

２．１．１．積分範囲が 定数の場合、∫ｆｄｘは 定数ですので、その方程式は 積分方程式ではなくて、たんなる恒等式です。

（∫ｆ（ｘ）ｄｘの f（x）がわかっていて、計算できる場合と f（ｘ）がわからないで、計算できない場合の２種類があるんですが、ｆ（x）が わかって 計算できるなら、簡単すぎるので、ここでは データベースに入れません。）

∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Aとして

ｆ＝ｘ＋∫ｆ（ｘ）ｄｘ

＝ｘ＋ A

しかも

A＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ ＝∫（ｘ＋A）ｄｘ

この Aの関係を 「鏡像関係式」と 私が 勝手に名づけました。

２．１．２．一見、∫ｆ（ｘ）ｄｘの ｆの中に、変数が入っているっぽい式。

あえて、第一の変数を a、二つ目の 変数を ｘ とします。つまり、変数の関係を 逆にしてます。絶対値を考えるときに、わかりやすくするためです。

ｆ（a）＝∫（a-x）ｄx

この式は ∫（ ）ｄｘの中から、ｘ を 摘出できます。

これを 「ガン摘出手術」といいます。

= -a +∫x ｄx

＝-a + A

特に、面倒な ガン摘出手術は 「絶対値から ガン摘出手術」です。

ｆ（a）＝∫|a－x|ｄx （積分範囲は ０から１）

ｘとa の範囲によって 絶対値を はずすんですけど、変数が二つあるので、すごく イメージしにくい。だからこそ、ｘを 第２の変数にしたんです。ｘ軸と 定数ａの関係にするためです。

そこで ｇ（ｘ）=|－ｘ＋a| として グラフを描く。

V は ｇ（x）グラフを 表現しています。aの値によって、平行移動するイメージです。

V V V V V V V→ ｘ

↑ ↑

０ １

ｇ（ｘ）=|－ｘ＋a| ｘ軸にそって、ｇ＝－ｘ＋a で下がって、ｘ軸にぶつかると、ｙ＝ｘ－aになって反射するような Vの形をしたグラフです。

これが 定数aの 値によって、ｘ軸上を 平行移動する。

積分範囲は ｘの変数で ０から１．

場合わけすると、３種類出てくる。

１）積分範囲の左端に V つまり a＜０

２）積分範囲の中 に V つまり ０＜a＜１

３）積分範囲の右端に V つまり １＜a

（（（もし この問題で、ｘ と aの 変数の関係を 逆に書いてしまうと、a軸 と ｇ軸 で ｘが 定数である グラフを書く必要がある。はっきりいって 気持ち悪い。いつも、定数は a、変数は ｘ として 扱っているのに、いきなり 役目を 変えてしまうと、混乱する。だから 変数を 変えました。）））

２．２．∫ｆ（ｘ）ｄｘが 変数のとき。

２．２．１．積分範囲に 変数が入っているとき。

「とりあえず 微分する」

イメージは （∫ｆ（ｘ）ｄｘ）’＝ｆ（ｘ） （これは 不定積分のイメージ）

これは 微分の定義イメージで 説明したとおり、微分の逆演算だから、「両辺を微分する」で、インテグラルを 消すことができる。

定積分のイメージは

∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝F(x)とすると

（F（X）－F（X））’＝X’・ｆ（X）－X'f(X)

一応、 ふと文字で 別の XとXでｘの関数であることを 強調しました。数学ⅢCでは こういう形になる。

でも なぜか 数学Ⅱでは X=（１次式ｘ）しか でない。

注意。この微分は （F（X）－F（X））’＝X’・ｆ（X）－X'f(X)の関係式から 成立しているので、

∫ｆ（ｘ－ｔ）ｄｘのように、別の変数が入っている場合、F（ｘ－ｔ）が どういう形になるのかわからないので、計算できない。

この場合、ｘ－ｔ＝ｖ のように置換して、ｆ（ｖ）と ｄｖ で 表現しなおせば、ｄ/ｄｖ で 微分して 計算が可能になる。これを 「置換によるガン摘出手術。」と呼ぶ。

＊＊ちなみに ∫ｘ・ｆ（ｘ）ｄｘ のように なっていても、普通に 微分できる。置換して、

ｘ・ｆ（ｘ）＝ｇ（x） とすれば いつもの形になるからだ。

２．２．２．ｆ（ｘ と変数ｔ ）のように ｆの中に 変数が入っているとき。

①。普通に計算できるなら 入っている状態で 計算する。

たとえば

ｆ（a）＝∫（３ｘｘ－２ｘa）ｄｘ で 範囲が ２から８．

これなら、普通に計算ができるので ｆ（a）＝ （aの関数）になる

②。計算できないなら、「置換ガン摘出手術」して 「微分できるようにする」

上の２．２．１．の説明の通り。

「面積」

１．パズルを はめていくように、中途半端な面積を求める。

面積で 求められるのは、二次曲線と 直線によって囲まれた面積のみ。

形の作り方は、４種。

１．１．円と 直線。

円は 常に、「ショートケーキの形」が 基本形

１．２．円と 放物線

「ケーキの形」と 放物線の基本形である「ビニール袋に入れた水」を 組み合わせる。

１．３．放物線と 直線

「ビニール袋に入れた水」が 基本形。

そして、ビニル袋で うまく求められない 中途半端な形では

「消しゴム」型 で 求める U この形。

１．４．直線と直線

「直角三角形」が 基本形。

この 「ショートケーキ」「ビニル袋の水」（消しゴム型）「直角三角形」を 足したり引いたりすることで 面積を求める。

面積系は 計算が面倒なだけで、あんまり 難しくならない。

「体積」

１．どんな名前の立体を足しているのか、はっきりさせる。

１．四角柱

２．円柱

３．三角柱

４．くりぬき円柱

東大の後期じゃないかぎり、定式に困ることはありません。

２．回転体の体積で 重なった部分を 無視する。

一番外側の関数だけを 回転させる。

数学Bデータベース

字をうまく書くコツ。１．バランス。画数が少ない文字ほど大きく見えてしまう錯覚の利用。２．筆脈。フォロースローで 円を描く。

私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。

物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。

数学は チャートの目次を 利用することにします。

目次

１．数列

「等差数列」 「等比数列」 「いろいろな数列」 「漸化式と数列」 「数学的帰納法」 「二項定理」

２．複素数と方程式

「複素数」 「二次方程式の解」 「解と係数の関係」 「因数定理」 「高次方程式」

３．平面上のベクトル

「ベクトルの計算」 「ベクトルの成分」 「ベクトルの内積」 「位置ベクトル」 「ベクトル方程式」 「ベクトルの応用」

４．空間におけるベクトル

「空間における直線と平面」 「空間の座標」 「空間のベクトル」 「空間のベクトルの成分」 「空間のベクトルの内積」 「空間の位置ベクトル」 「空間のベクトル方程式」 「空間のベクトルの応用」

５．複素数平面

「複素数平面」 「複素数の極形式と乗法、除法」 「ド・モアブルの定理」 「複素数と図形」

一応、複素数平面も 入れておきます。行列の「回転行列」と まったく同じ概念なので。この分野は なくなって当然だったと思います。ものすごく 中途半端だからです。

もともと、複素関数という学問が あって、そのイントロ部分を 無理やり、高校で 教えようとするから、無理が生じました。

最大の欠陥は、複素関数という学問のイントロだけなので、体系的に学べないことです。

ω＝ｆ（ｚ）という ｙ＝ｆ（ｘ）の 複素数バージョンが 複素関数なのに、そういう考え方を 避けることで、高校数学の 枠に無理やり押し込んだので、いびつで、歪んでいる分野になっていた。だから、すごく 学びづらい 分野だったんです。

あたらしい教育課程で はずしたのは 正解です。

ただ、そうすると、複素数を 図示できないという二元論的に困ったことになるので、一応、絵を 紹介します。

１．数列

「等差数列」

数列。Sequence.

スーレツほど カンタンな 数学の分野は ない というくらい数列は 体系的に まとめられています。

数列の問題なら、どんな問題だって、解くことができる自信は、

「帰納すれば、いつかは 答えが出るから」です。

じゃあ、とりあえず、数列を二元論的に捕らえましょう。

１．連続ｖｓ離散 の数学。

数学には、二つの分野があります。連続的数学と、離散的数学です。

連続的数学は ｙ＝ｆ（ｘ）的世界観で、ずらああああーーーーーーっと曲線が （ｘ、ｙ）平面に 広がるイメージ。

離散的数学は An+1=f (An)的世界観で 、てんてんてんてん・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・っと 曲線が、（ｎ、An）平面に 広がるイメージ。

そうなんです。今まで、習ってきたグラフは にょろにょろっと 連続的でした。これから 習う 数列は、・・・・・・・・・・・・てんてんの点線の世界。つまり 離散的なのです。

私は これを 西岡康夫師に 教えてもらったときは、鼻血が出そうになりました。数列を、グラフしても いいんだなーというのは 革新的だったのです。目からウロコが 滝のように 流れました。立て板に水のごとく、ウロコが 流れました。

西岡いわく 「数列や整数というのは 離散的で、点と点の間に、空間がある。だからこそ、いろんな数学的定性を 数列や整数の中に 見出すことができるんだ」

蓋し、名言です。

２．等差数列。Arithmeｔic Progression

http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

（正しい表記は、Wiki でどぞ）

私は 普段、日本語で 等差数列と 書くのが、かなりメンドーなので、勝手に 「AP」と 呼んでいます。

２．１．等差数列は、ｙ＝ax＋ｂ の点線バージョン グラフ。

数列というのは、ある一定の決まったルールの下で、数が 並んでいるもののことです。

よくIQテストで 数列の問題が 出されますけど、あれは 数列を勉強したひとは すぐに解けるようになってしまう欠陥問題です。IQテストというのは 受験勉強と まったく同様に、練習して、条件→定式を データベースすれば、だれにでも高いスコアを出すことができる欠陥能力テストなんですね。

図参照。

２．２．一般項定式。

ここでの 表記は 見やすいように、Aｎ のように 大文字で書きますけど、普通は 小文字で a にｎ を くっつけます。

なぜか An Xn Bn Cn Yｎが シンボルとして 使われやすい。

An＝ｄ・（ｎ－１） ＋A

↑公差 ↑初項

公差は Differenceのｄ

これは

ｙ＝ a x ＋ｂ

と 対応している。公差は 傾きであり、初項は ｙ軸の切片座標に 対応。対応していますが、注意。第一象限しか 考えません。また、初項はｎ＝１から 始める。だから 、正確には、ｙ軸の切片ではない。まあ、ｙ軸を 原点O から 右に １だけ ずらした 新しいY軸とでも思ってくれたらいいです。

たいていの教科書では、

An＝ｄ・（ｎ－１） ＋Aではなく

An＝A＋（ｎ－１）ｄ と 表記しているはずです。なぜか そういう習慣があるらしい。なぜ、係数を前に出さずに、後ろにくっつける風習が、数列には残っているのか、よくわかりません。私は 関数と 表記を同じにすべきだと思っていますが、テストでは、教科書に おもねることにしています。

みなさんは、An＝ｄ・（ｎ－１） ＋Aでも 好きなほうをどうぞ。

２．３．等差数列の和定式。

微分ｖｓ積分。ｖｓ 差分ｖｓ和分

連続 ｖｓ 離散

この関係は 超大事です。

連続で やってきたことを、離散でも 同様に利用することで、理解が深まるというのが 二元論的勉強法です。

微分に対応するのが、差分。

積分に対応するのが、和分。

ｙ＝ax＋ｂを 微分すると、ｙ’＝a （接線の傾きがでる）

ｙ＝ax＋ｂを 積分すると、∫ｙｄｘ＝aｘｘ/２＋ｂｘ （面積がでる）

この連続的世界観を 離散的世界にも 持ち込みます。

An＝ｄ・（ｎ－１） ＋Aを 微分すると、An+1－An＝ｄ （傾きというか 公差がでる）

An＝ｄ・（ｎ－１） ＋Aを 積分すると、An＋・・・・・・A＝Sn （面積というか、数列の和がでる）

ちなみに これは 等比数列にもいえますが、等比数列の場合、差分と和分ではなく、私の造語である「除分」と「乗分」という関係になります。（差分と和分は ちゃんとした 数学用語です）

というわけで

Sn→差分→An→差分→ｄ という関係が わかると思います。

こうしてみれば、親しみが Snにわきますよね。

そして やっと Sn定式

Sn＝（項数）（初項＋末項）/２

初項と末項の平均値を、項数だけ かけているイメージ。

Sn＝ ｎ（a+ a+d(n-1)）/2

このかたちは ２次関数です。まあ、Anが １次関数だったので 積分と 同じなんだから、当たり前なんですけどね。

２．４．その他の 珍しい等差数列。

２．４．１ 調和数列

２．４．２． mod 数列（勝手に命名）

２．５．Snの漸化式は An だけの式にして求める。

Snの差分定式。Sn+1－Sn＝An+1 を 利用する。

２．６．等差中項定式。

中項系問題は、定数の奇数個の 数列があって、その定数個の数列の中でしか成り立たない定式を 作ります。

奇数個なので 真ん中がある。たとえば ３個の数の数列なら、

真ん中の変数を Aと置換して、公差ｄ で

A－ｄ、A、A＋ｄ と 表現する。

こうすると、２変数なので、２つ定式ができれば このAとｄを 求めることができる。

平均型という 置換方法は あんまり イメージが わかないので オススメしません。

さて、中項系の条件のデータベース。

２．６．１。総和式

２．６．２．総積式

２．６．３．平方の総和式

２．６．４． ２つの中項の積は 初項と末項の積より８多い式。（４項のとき）

中項１×中項２＝初項＋末項＋８

２．６．５．等差数列かつ 等比数列が なりたつ３項は ｄ＝０かつ、ｒ＝１のメタファー

つまり 、APかつGPな数列は ぞろ目になるってこと。

２．７．はじめて ○○になる 等差数列系問題。

これは グラフを描けば、一発でわかります。

グラフをみて すぐにわかる定式が

An＜○○＜An+1 はさみこみ 不等式。

２．８．正しい 等比数列の和の計算方法。

Σの基本構造は ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・・のような 階層になったｋ です。

たとえば

１から ｎを 足し合わせる。

Σ１ ＝ｎ/１

Σｋ ＝ｎ（ｎ＋１）/２

Σｋ（ｋ＋１） ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/３

Σｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２） ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）/４

Σｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３） ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）/５

Σｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）（ｋ＋４）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）（ｎ＋５）/６

わかりますか？このイメージ。

Σの 左辺のｋをｎにして １個 項を 増やして、割る 積の項の数。

証明方法は、ΣAkの Ak の差分分解 を 和分してください。

帰納法でも 求まります。

これが Σのただしい計算方法です。

Σｋ・ｋ ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）/６ が いかに 狂った計算方法か わかると思います。

でも、実用的には、使えるので 覚えましょう。

覚え方は ｎ＋ ｎ＋１＝ ２ｎ＋１ /６ は なんとなく 使っているうちに 覚えられます。

でも

Σｋ・k・ｋ・ｋなんて 覚える必要ないことはわかりますか？ｋｋｋｋは Σｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）を 利用して求めるんです。

というわけで

それぞれの定式を ひとどおり 説明しました。

テストに出される問題は、これらの式に 値を代入して、

「多元連立方程式」を 解いているだけ。

です。特殊な計算なしで、小学生でも できちゃいます。定式が 高校生というだけなんです。

「等比数列」

１．等比数列。Geometric Progression

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

連続ｖｓ離散。そして、微分積分ｖｓ除分乗分。

ｙ＝exp x (e のｘ乗の logっぽい 表記は exp ( ) で 表現する） 、あるいは

ｙ＝（aのｘ乗） （a は 定数）

ｖｓ

An＝A・ （ｒのｎ－１乗）

↑初項 ↑公差 ｒ は Ratio

これは 形が よく似ていますね。

ちょっと 違うのは、ｒ＝負 も 等比数列にいれるということ。

ｒ≠０なら なんでもいいということ。

ｒ＝正なら 指数関数と 同じ・・・・・・・・・・・・・・・点曲線。

ｒ＝負なら ジグザグ。これは ｙ＝ｒのｎ乗 ｖｓ ｙ＝－（ｒのｎ乗）の間を 行ったり来たりするようなイメージ。

２．Sum式

Sn＝（初項）（ｒの項数乗－１）/（ｒ－１）

一般項を、除分すると

An+1/An＝ｒ つまり 公比 ｒが でてくる。

一般項を、乗分すると

An＋・・・・・＋A１＝Sn＝（初項）（ｒの項数総数乗－１）/（ｒ－１）

項数総数はｎ。

どうやって Snを 出すかって言うと、ｒSn＝Sn+1を使って Snを差分する。

Sn+1－Sn＝ｒ（An＋・・・・・＋A１）－（An＋・・・・・＋A１）

(r－１）Sn= A（ｒのｎ乗－１）

ちなみに乗分という言葉は、私の造語で あんまり 役に立ちません。忘れてくれていいです。

でも、除分は 役に立ちます。

「いろいろな数列」

１．階差数列

Terescoping Methodによる 階差数列の定式。

差分されると 和分したくなるのが二元論。

An+1－An＝Bn

↑ ↑ このふたつが ｎ

これが 階差数列の差分による定義式。

これを テレスコーピングで 足し算していくと、打ち消しあって、どんどん消えていくイメージ。

An+1－An＝Bn

An－An-1＝Bn-1

・

・

・

A2－A1 ＝B1 (＋

An+1-A1 ＝Bn＋・・・・・・・・B1＝Sn

こうして、階差数列の一般式 が 定式できる。

第一階、階差数列は ２次関数です。

第２階 は ３次関数。

２．部分分数分解

一般に、Bnを ふたつの同じ形をした 数列に分けることを、部分へ分解すると呼ぶ。

An+1－An=Bn

階差数列の逆の流れです。

階差数列は

An-1、 An、 An+1

? ? ? ?

Bn-1 Bn

の イメージですが

Bn-2 Bn-1 Bn

? ? ? ? ? ? ? ?

An-1 An An+1

こんなイメージ。通称、Blance Value とか 呼びます。

３．群数列。

３．１．群数列は 名前が命。

私のオリジナルの名前が登場します。

たとえば

｜１/１｜２/２、３/２ ｜４/３、５/３、６/３｜７/４、８/４、９/４、１０/４｜１１/５・・・・・・｜

↑ここから ↑ここまでが 「群」、通称Group

｜１/１｜２/２、３/２ ｜４/３、５/３、６/３｜７/４、８/４、９/４、１０/４｜１１/５・・・・・・｜

↑１群目 ↑２群目 ↑３群目 ↑４群目 ↑５群目

次、ｎ群の中に、入っている前から 何番目なのか を示すのが、「タム」、通称Term

たとえば ４群目。

６/３｜７/４、 ８/４、 ９/４、 １０/４｜１１/５

↑１タム ↑２タム ↑３タム ↑４タム

４群は 合計４タムあるってこと。

最後に、「項」これは いつもの 使い方でいい。

｜１/１｜ ２/２、 ３/２ ｜ ４/３、 ５/３、 ６/３｜７/４、

↑１項目 ↑２項目 ↑３項目 ↑４項目 ↑５項目

３．２．住所を 決める。ｎ項目は G群のｔ タム 式 を 決める。

ｎ項目が GPSの住所だとしたら、Gと ｔの関係は、

群馬県、 G群 の ｔ 町 みたいなもの。

G群の１タム（初タム）＜ｎ項目＜G群の末タム

G群の タムの数は いくつかデータベース。

つまり、G群の町の総数を 調べるようなもの。

A。２のG乗 個

B。G個

C。２G個

D。２G－１個

さて、次は、群馬県の町の数、というか、 G群までの町の数の総数を 調べる。

上の例なら、

G群までの町の数＝１＋２ ＋３＋・・・G＝G（G＋１）/２

よって、ｎ項目は G群のｔ タム 式 は ギンナン式より（数学Aの場合の数、確率参照）

ｎ＝（G-1群までのタムの総数）＋（ｔ タム）

これによって、ｔ タムが わかる。

３．３．群ごとの人口を 調べる。Sg

そのG群の 全タムの 総和を数える。上の例なら、

Sg＝（（G-1）G/２ ＋１）/Gから （G（G＋１）/２－１）/G を 足しまくる

３．４．G群のｔ タムまでの 和を求める。

中途半端な G群の １タムから ｔ タムまでの和を求める。

３．５．群ごとの人口 と 中途半端なタムまでの和を 足し合わせる。Tｎ

Tｎ＝S1＋S2＋・・・・・・・＋Sg-1＋（A1＋A2＋・・・・＋At）

これで 群馬県民の人口がわかる。

群数列は こういうイメージだったんです。よかったですね。NDT hikaruがあって。こんなに 明確なイメージは 西岡康夫も 教えてくれませんでした。私のオリジナルです。

出たらラッキー。確実に 全問正解できます。

「漸化式と数列」

漸化式というのは 差分、除分の形になったもの。

An+1－An＝ｄ これが 等差数列の漸化式。これを A型漸化式、略してA型 とする。

An+1/An ＝ｒ 等比数列の漸化式。これを G型漸化式、略してG型 とする。

じゃあ

An+1＝ｒAn＋ｄ これが 等差＆等比数列の漸化式。AG型漸化式、略してAG型 とする。

なんか くっついちゃったのが、上のAG型というわけ。

すべての漸化式は、A型、G型、AG型で 解くことができます。これは 私のオリジナルの整理法。どこにも書いてません。

じゃあ それぞれの漸化式の解き方をデータベースしましょう。

１．A型の漸化式の解き方は Terescoping Method 式。

An+1－An＝ｄ

An－An-1＝ｄ

・

・

・

A2 -A1=d （＋

An+1－A1＝ｎ・ｄ

差分を 和分したら 解けました。

２．G型の漸化式の解き方は Terescoping Method 式。

An+1/An ＝ｒ

An/An-1 ＝ｒ

・

・

・

A2/A1 ＝ｒ （×

An+1/A1＝ｒのｎ乗

除分を 乗分したら 解けました。（差分を和分するに対応していることを イメージしてください） 二元論が きれいに成り立っていますね。

こういう分類は 西岡師も してません。

３．AG型の漸化式の解き方は 特性方程式で G型に もっていく。

An+1＝ｒAn＋ｄ の 特性方程式は

α ＝ｒα＋ ｄ この 答えの

α＝ｄ/１－ｒ は なんと

An+1－α＝ｒ（An－α） と 変形できます。どうしてかっていうのは 線形代数で 習います。大学で 習ってください。１年の後期で 出てきます。わかったところで 「ふーん」で おわりです。理解の役に立ちませんので安心してください。

これを 置換すると、Cn=An－αで

Cn+1＝ｒ・Cn

これは 上のG型の テレスコーピングで 求められます。

この ３つの基本式 によって すべての 漸化式は 解くことができます。

漸化式を解く とは、Anを 変数ｎ によって 表現すること。

つまり

An=ｆ（ｎ）ってこと。指数関数になったり、ｎ次関数になったりします。

４．その他 いろいろな 漸化式を解く。

４．１．A型で 解くもの データベース。

An+1＝An＋ｆ（ｎ）型

An+2-2An+1 +An=f (n) type

An+1＝An+ exp n type -----> do log or divede with exp n+1

４．２．G型で 解くものデータベース。

An+1 + 4Bn+1=An and 2Bn+1 + 3An+1=Bn のような 二元連立型

３項間漸化式

An+1=rAn +an+b type

An+1=f(n)*An type

An+1=An*An type

４．３． AG型で 解くもの データベース。

An+1=An*An type

An+1=ｐAn＋ｑ/ｒAn＋ｓ のような 分数型

共通するのは、

「よくわからない形→A型か G型か、AG型の 使える形に変形する」

ということ。

変形の方法は、特性方程式に入れたり、両辺log る だったり、両辺に ｒのｎ乗を かけたり、両辺の逆数を とったり、それぞれの形によって、いろいろある。

「数学的帰納法」

帰納法は あほの坂田先生に 教わると、ひどい目にあう代表的な分野です。

私は あほの坂田先生に 教わったので、ひどく混乱しました。このひとは いったい何がやりたいのだろうと疑問に思ったものです。スノッブな先生ほど 頭が悪いというのは このとき学習しました。自分の実力に不安を持って数学の教師は見栄を張りたがるんです。虚勢を張りたがる。「わかっている先生」というのは いつも 「それでもいいーんじゃなーい 」という軽さがあります。そういう先生が 大学では増えます。（大学講師レベルは 虚勢を張っているので気をつけてください。頭悪くても、大学講師になれますから。）

さて、恨み節を 書いたところで、

１．数学的帰納法は A＝Bの等式証明と同値。

「すべての 自然数ｎ で An=Bnが 成り立つ。」

と 聞いて ぴーん ときませんか？そうです。恒等式。

今まで、連続で 方程式から 離散で 漸化式 という流れをやりました。

今度は、連続で 恒等式から 離散で 数学的帰納法 という流れをやります。

１．１．まず、最初のドミノを倒す。

数学的帰納法。帰納というのは、ひとつひとつ 調べていくことですから、ｎ＝１ を 調べるのはあたりまえです。

ｎ＝１ だけ といわず、ｎ＝１から ７くらいまで 調べてください。はっきりいって ｎ＝１しか 調べない人は、十分に、スノッブな あほの坂田先生に 毒されています。

どういう 倒れ方をするのか ちゃんと 観察するために、帰納するんですから。

１．２．離散における恒等式の Ak+1=Bk+1を 証明する。

証明する方法は 恒等式の等式証明と まったく同じで ３種類です。

A→B、A→T←B、A←B の ３つ。

用意する式は ２つ。

第一に 「ｋでの仮定式 」

ｎ＝ｋ で Ak=Bk が 成立すると仮定する式です。これも 立派な等式条件。

第二に 「ｋ＋１での証明したい恒等式」

Ak+1=Bk+1

これを 証明します。証明の仕方は 先ほどの通り、３種。

「ｋの仮定式」の等式条件を 利用することで、Aの式から Bの式を 作り出せれば、証明完了。

はっきりいって カンタンです。だって、目標となる式が 右辺なんですから。答えがわかっている式に 変形するのは ラクだからです。

たいていは

Ak+1にAk=Bkを 代入して、（元を下げて、次数を下げることになる）ちょこっと 式を整理すると、Bk+1の形になります。

（さて、これを あほの坂田先生が 説明すると、こうなります。Ak=Bkの仮定式の両辺に

ｋ＋１項目を 「足す」、あるいは 「かける」ことで、Ak+1を 作り出す。

すると、右辺を 変形すると、Bk+1に なるではありませんか！ラッキー。という流れです。

なぜ、恒等式の等式証明を 習ったのに、こういう流れで 証明しようとするのか さっぱりわかりません。この「ｋ＋１ を作り出す」という演算が 高校生１年生のボクには どうしても 理解できなかった。違和感のある演算だったんです。みなさんは 違和感を覚えませんでしたか？）

というわけで、こういう風に、数学的帰納法を 恒等式の証明と まったく同じ流れで解いている教科書、参考書は どこにもありませんが、正しい方法です。しかも 一般的な方法です。

まったく 同じ演算のはずなのに、教科書に載っているから という理由で、「ｋ＋１を作り出す」という 発想、解釈を 新たに加える必要はないんです。

同じイメージで 解くことができる。それが 数学の一般性です。最後に信じられるのは、教科書に書いてあることでも、坂田先生の行っていることでもなく、二元論の一般性なんですねー。

２．いろんな 数学的帰納法。

仮定式が ｋ式 と k＋１式に 増えるタイプ

仮定式と 証明する恒等式が 不等式になるタイプ

仮定式が １からｋまで を仮定した 和の形をしたタイプ

がありますが、やっていることは

数学ⅠA で ならった、恒等式の等式証明、不等式証明 とまったく同じです。だから 書くこともあんまりないんです。

「二項定理」

Cの定性は 場合の数で やりました。

２．複素数と方程式

「複素数」

１．実数ｖｓ複素数。Scalar ｖｓ Vector。

実数はスカラーです。つまり 大きさしかない。１変数の世界です。つまり、ｘ軸しかない世界。

複素数は ベクトルです。つまり、大きさと方向の ２変数の世界。つまり、ｘ軸とｙ軸のある世界です。

数の集合でいうと

実数⊂複素数

複素数の一部が 実数という解釈です。

複素数というのは あくまで 「計算するために つかう道具」です。演算子のひとつ。

だから 、複素数に 多様な解釈を 意味を、定義を 与えることができる。

感覚的に 今までの解釈では 数字は 数えるための道具 でした。

それが

複素数に 拡大解釈すると、動く数字どうしの ずれを表現する道具 に 進化したんです。

たとえば Asin(aｔ) という 時間ｔによって変化する数字があったとします。Bsin（ｂｔ）という数字 は Asin(aｔ)を基準として、どのくらい大きさが違うのか、何秒位相が ずれているのか 表現するのに、 複素数を 利用する。これは電磁気学の交流で やります。

まあ とりあえず 新課程なら

実数は スカラー。複素数は ベクトル という解釈だけでいいです。

２．複素数を 複素平面に グラフする。

ｚ＝ｘ＋ｙi

(x,y)の 平面に 写像する。

ただし ｘ軸は Real part。 実部。実軸 と 呼びます。

ｙ軸は Imaginary part。虚部。虚軸 と 呼びます。

３．複素数どうしを 足すのは ベクトルの足し算。複素数どうしを かけるのは、回転行列を かけるようなもの。

複素数をかける という演算は 行列の表現行列で 置換することができる。

ｘ＋yi = ｒ（cos＋i sin）＝ｒｃ＋i rs として

ｒ × ｜ ｃ、－ｓ ｜

｜ ｓ 、ｃ ｜

つまり a+bi に ｘ＋yi = ｒ（cos＋i sin）＝ｒｃ＋i rs を かけると、ｒ倍されて、θ 回転した ベクトルに 変換されるってこと。

イメージは、にょい棒が ぐるっとまわって、伸びる感じです。

４．i の定義式

√－１＝i と 定義した。あるいは 二乗すると －１になるような 数字を i と定義する。

こうすることで、２次関数を 複素数を 利用して 説明することが可能になった。

いままで、グレーゾーンだった ２次関数とｘ軸との交点のない 「解なし」が 実は、「複素数解」という形で説明できるようになった。

５．共役。Conjugate。は Re軸を 折り返した だけ。

点Zを 実軸に線対称した 点を ￢Z とした。

これは ２次関数の解なしを 「複素数の解」と解釈すると、かならず ふたつの複素数解が 生まれるので、（かならず 双子が 生まれるようなもの）

かたほうを α とすると もう片方を 「バーα」とした。

要するに、名前です。はっきりいって、地味です。

ドモルガンのバーような 華やかさは ありません。

６．複素数の恒等式っぽさ。

ｆ（ｘ）＝０ では ｆのグラフと ｘ軸との交点でした。方程式です。

ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が 実数のとき、

ｆ（ｘ）＋i・ｇ（ｘ）＝０ では ｆのグラフと ｘ軸との交点、かつ ｇのグラフと ｘ軸との交点です。

ｆ（ｘ）＝０ かつ ｇ（ｘ）＝０ のように、 i の恒等式っぽい定式が 成立する。

イメージは 実数には i を 回転させる能力がないので ゼロになるしかないってこと。

証明は、背理法で やってください。便利な定式です。

「二次方程式の解」

１．解の公式 で √－３９ のように 負になっちゃったら、√３９ i と 置換しなおす。

これが 定義です。なぁーんか 納得できなくても、計算で 利用できるように なりましょう。

「解と係数の関係」

１．解が 実数だろうが、複素数だろうが、 解と係数の関係式は 同じ。

α＋β＝-b/a

α・β ＝ｃ/a

つまり 、α と バーアルファーを＋と 実数になる。

つまり、α と バーアルファーを×と 実数になる。 という定性も 出てきます。

「因数定理」

２種類しかありません。

「除法定理式」を P＝SQ＋R とします。つまり

Q ・・・R

S） P

です。Q は Quotientの Q。R は Remainder のR。残りは、PQRS の語順から くっつけました。AとBを 使うよりも、良心的だと 思ったから。

さて P＝SQ＋R において ２種類というのは

P が わかっている問題ｖｓ Pが わからない問題の ２種類ってことです。

Pが わかっている場合は、今までどおり 置換した 恒等式に 適当な数字を代入して、多元連立方程式を 解けばいいだけ。小学生の計算です。

さて

Pが わかっていない場合、これは メタファーがおおい。特に、不思議なのが、

なんと Pが わかっていないのに、わかっているSに対応する Rの値を 求めることができること。

P を 求めることができないのに、 Sに対応するRを 求めることができる。これは 恒等式だからこそ 可能。

ここで 大切なのは、あまりRの置換方法。じゃあ データベースします。

１．Sが ２次式なら、Rは １次式置換で ２変数置換。

これが 基本の置換。

２．Sが ３次式なら、Rは ２次式置換で ３変数置換。とは 限らない。Rの２次式を、１次式で さらに 割るような置換をすることで、１変数置換にする。

たとえば

Pがわからなくて、

S＝ｘ＋１ で R＝８

S＝ｘｘ－ｘ＋３ で R＝３ｘ＋１

S＝（ｘ＋１）（ｘｘ－ｘ＋３） で Rは どういう値になるかを 求める。

普通にやると、 R＝axx+bx+c で ３変数置換になってしまう。

じゃあ、定式条件から 変数を減らす。

P＝（ｘｘ－ｘ＋３）｛（ｘ＋１）Q’｝＋axx+bx +c

＝（ｘｘ－ｘ＋３）Q’’ ＋ ３ｘ＋１ この２式を 比べて、

＝（ｘｘ－ｘ＋３）（ｘ＋１）Q’ ＋a(ｘｘ－ｘ＋３）＋ ３ｘ＋１

これで ３変数を １変数に 変えることができた。

このときに 使っている感覚は、mod です。整数のときに紹介しました。

整数のmodを 整式の mod へ 拡張するんです。

mod ｘ＋１ で P＝８

mod ｘｘ－ｘ＋３ で P＝３ｘ＋１

mod （ｘ＋１）（ｘｘ－ｘ＋３） で P=axx+bx +c これを さらに mod ｘｘ－ｘ＋３ してやると、

P=axx+bx +c ＝ｋ（ｘｘ－ｘ＋３） ＋３ｘ＋１ ＝３ｘ＋１ （mod ｘｘ－ｘ＋３ ）

↑３ｘ＋１に 上の値が 隠れているイメージ。

これが ３次以上のSにおけるRの置換工夫式。

これ以上 難しい 因数定理の問題は 出ません。

「高次方程式」

高次方程式は、 因数定理より、末尾の 定数の値により、

（高次方程式）＝（ｘ＋ｄ）（下がった高次方程式）

のように 次数を 下げることを 繰り返すことによって、計算しやすくする。

学習指導要領によると、３次関数が メインで ４次関数は あんまりでないんだそうです。

３．平面のベクトル

「ベクトルの計算」

１．ベクトルは 常に、（x、y）平面あるいは、（ｒ、θ）に 乗せて、イメージする。

たいていの ベクトルの イントロダクションって、座標が 無視されているんですよね。でも、座標が あってこそ、 定量ｖｓ定性（記号ｖｓ絵）の 二元論は 成立します。

これは 幾何学的な 問題を 解くときにも 同じことが言えます。

三角形の辺を ベクトルとして 扱おうが、六角形だろうが、四角形だろうが、やはり 座標空間で 考えます。

そこで あたらしくでてくる 座標が

「斜交座標空間」です。今までは、座標というと、デカルト座標といって、直交座標空間しか 扱いませんでした。

ベクトルになると、ｘ軸と ｙ軸が 斜め３０とか ６０とか に交わる「斜交座標空間」を 使うことになります。

２．平面の中は ２つの独立したベクトルで すべてを表現できる。

２Dだから、ふたつのベクトルで 表現できるのは 当たり前な感覚ですよね。

３Dだったら 三つです。

「斜交座標空間」において、ｘ軸上と同じ方向のベクトルｘ と ｙ軸上と同じ方向のベクトルｙによって、その空間の すべてを 表現できます。

こういう状態のベクトルを 「Generator」あるいは 「空間を 生み出すベクトル」と 呼びます。

Generator は 互いに 「独立」です。

「独立」というのは 「独立を定式する」と （ベクトルｘ ）≠ｋ（ベクトルｙ）ということです。

つまり （ベクトルｘ ）を ｋ（ベクトルｙ）で どうがんばっても 表現することができない ってこと。

この独立の概念は いろんなことに 応用が利きます。

一般には、「ｍ（ベクトルｘ ）＋ｋ（ベクトルｙ）＝０ が 成立するのは ｋ＝ｍ＝０のときだけ」定式で 表現します。大学の線形代数の授業でやりますよ。

３．平面状の ある点P は 独立な （ベクトルｘ ）と（ベクトルｙ）で 「１通り」で 表現できる。

これが ベクトルの恒等式を 成立させる根拠です。

たとえば ベクトルｐ を 二つの方法で 表現したとします。

（ベクトルｐ）＝ｓ（ベクトルｘ ）＋ｔ（ベクトルｙ）

（ベクトルｐ）＝ｐ（ベクトルｘ ）＋ｑ（ベクトルｙ）

このとき ベクトル恒等式の比べっこ 定式が可能。

ｓ＝ｐ 、ｔ＝ｑ

２元２式の連立方程式が 定式可能。

これが ベクトルの中の 変数を 消す方法で 一番よく使う方法です。

４．直線AB上の 点P が いつでも満たす定式。

３の次に よく使われる定式が、「直線上の点が満たす直線定式」です。

原点０ として

（ベクトルｐ）＝ｓ（ベクトルa ）＋ｔ（ベクトルb）

このとき 変数 ｓ とｔ は

ｓ＋ｔ＝１ を いつでも満たす。

これを ３次元に拡張すると、

「平面状の 点が 満たす 平面上定式」

原点０ として 平面状の点AとBとCで

（ベクトルｐ）＝ｓ（ベクトルa ）＋ｔ（ベクトルb）＋u(ベクトルｃ）

このとき 変数 ｓ とｔ と u は

ｓ＋ｔ＋u＝１ を いつでも満たす。

「ベクトルの成分」

ベクトルの問題で やっていることは結局、「点の位置を求めているだけ」

点の位置がわかれば、長さｈ、面積S、体積V が 求められる。確かに、ｈ とか S とかVとか いろんな問題がありますけど、

結局は、点の位置を求められれば、残りはおまけです。

そして 点の位置というのは 「交点の位置」に 等しいんです。

ベクトル全体のイメージは こうです。

直線上の点P式 長さ定式

交点定式 変数を消す式 面積、体積定式

平面上の点P式 なす角θ定式

たった、これだけ できるようになればいいんです。

いままで ぼやーっと ベクトルを 捕らえていた人は 驚くんじゃないかな。これは 私のオリジナルの絵なので、著作権を 取ります。アフィリエイトしてください。

まあ、全体のイメージが まとまったら カンタンですよ。すぐに 偏差値は 上がります。

上のように ほしい定式は はっきりしましたね。

１．直線上の点P定式。

２．平面上の点P定式。

３．元の下げ方式

４．長さ定式

５．なす角定式。

６．面積定式

７．体積定式

以上の 定式を そろえれば、ベクトルの問題は なんでも 答えられます。

アフィリエイトしてくれたら、定式の 詳細を 説明します。

「ベクトルの内積」

１．ベクトルの積は ２種類ある。内積ｖｓ 外積

内積というのは Scale つまり 大きさをもった 数字です。

外積というのは Vector つまり 大きさと 方向をもった置換文字です。

高校までは 内積しか やりません。

（ベクトルｘ）・（ベクトルｙ）のように 積をあらわす演算子は 「・」 「点」です。通称、「Dot」です。

Innner Product あるいは、Dot Product といわれるのは そのせいです。

２．内積は （地面ベクトルの長さ）×（影ベクトルの長さ）

内積は 長さの積です。

３．内積で なす角を 定式する

４．絶対値の｜ベクトルｘ＋ベクトルｙ｜＝定数 を 両辺２乗したときの 内積を 利用した計算。

「ベクトルの絶対値（ベクトルの長さ）を 二乗すると 内積の世界の 扉が開く」イメージ。

複素数じゃない ベクトルの場合、ベクトル同士をかけると、「距離の積」に なってしまう。

（ベクトルｘ）・（ベクトルｘ）＝｜ベクトルｘの長さ｜×｜ベクトルｘの長さ｜

↑こっちは ふつうの数字の積の演算子

５．直交条件を 内積＝０ で 表現式。

「位置ベクトル」

１．位置ベクトルも 位置ベクトルじゃない もない。ベクトルは 全部 位置ベクトルです。

こういう狂った言葉を 使うから、ベクトルが わかりにくくなる。

斜交座標空間として ベクトルを イメージしているんだから、どんなベクトルも 位置ベクトル扱いします。

つまり

位置ベクトルなんて 言葉は 忘れてください。

結局、２つのGeneratorのベクトルで すべての位置ベクトルを 表現することに 変わりはないんです。

２．分点は たすきがけ。

「ベクトル方程式」

１．ベクトル方程式という言葉も 忘れてください。そうじゃなくて、「ある曲線上の点をベクトルで定式」

「ある曲線上の点をベクトルで定式」するが リアルな イメージです。

じゃあ とりえあず、直線から はじめましょう。

１．１．直線上の点をベクトルで 定式。

変数は ｔ を 使います。Time の ｔ です。

方向ベクトルは 「速度」だと 考えてください。

（ベクトルa ）は ｔ＝０の Start 地点。

１．１．１．方向ベクトルｄ 定式。

いろいろあります。

１．２．円上のの点をベクトルで 定式。

｜（ベクトルｘ）－（円の中心のベクトル）｜＝（半径）

これ以外の 曲線は でません。直線と 円しか 出ない。

「ベクトルの応用」

１．直線上の点P定式。

２．平面上の点P定式。

３．元の下げ方式

４．長さ定式

５．なす角定式。

６．面積定式

７．体積定式

以上の 定式を そろえれば、ベクトルの問題は なんでも 答えられます。

アフィリエイトしてくれたら、定式の 詳細を 説明します。

４．空間におけるベクトル

「空間における直線と平面」

３垂線の定理とかは 使いません。

必要なのは

１．「２直線」の位置関係

１．平行（超稀。まれ）

２．交差（超稀。まれ）

３．ねじれ（たいていはこれ）

２．直線と 平面の位置関係

１．平行

２．交差

３．包含

３．「２平面」の位置関係

１．平行

２．交差

「空間の座標」

１．野球場のｘｙｚ軸

私が おすすめする 描き方は、「ｘ、ｙ平面」を 生かした ｚ軸です。

ｘｙｚ空間は 直交空間です。

「ｘ、ｙ平面」の ｘ軸と ｙ軸を 斜めに 交差させた 図を 描いて、奥行き感を 出します。

そして、鉛直方向へ、ｚ軸を 書き足す。

つまり １塁側のバックネットから 眺めるイメージです。

この描き方だと、

いつもの （ｘ、ｙ）の位置を保存したまま、最後の（ｚ）を 加えるイメージで 場所を把握できるので、便利です。

「空間のベクトル」

１．やっていることは 交点の定式だけ

平面と空間ベクトルの違いは 基本的な部分は 共通。

新しいことだけを 勉強すればいい。

２．法線ベクトルが 新しい。法線ベクトル定式。

高さを求めるために、垂直べクトルを 求めるというのを 平面でもやりましたが、

空間では 法線ベクトルを 使います。

特徴としては、成分計算しかしないということ。空間ベクトルは 成分計算が 主です。常に具体的な 値を求めることを要求されます。

３．平面と 直線の交点定式が 新しい。

４．ねじれの位置にある ふたつの直線の距離を 求めるのが新しい。

５．体積を求めるのが新しい。

６．光源から 物体を照らしたときの影を ベクトルで 求めるのが新しい。

「空間のベクトルの成分」

「空間のベクトルの内積」

「空間の位置ベクトル」

「空間のベクトル方程式」

「空間のベクトルの応用」

５．複素数平面

「複素数平面」

「複素数の極形式と乗法、除法」

「ド・モアブルの定理」

「複素数と図形」

数学Ⅲデータベース

私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。
物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。
数学は チャートの目次を 利用することにします。
目次
１．関数
「分数関数」 「逆関数」 「無理関数」 「孤度法と三角関数」 「合成関数」
２．数列と極限
「数列の極限」 「無限等比数列」 「無限級数」 「無限等比級数」 「関数の極限」 「三角関数の極限」 「連続関数」
３．微分法
「導関数」 「接線と法線」
４．微分法の応用
「平均値の定理」 「関数の増減・極値」 「凸凹、曲線の概形」 「方程式・不等式への応用」 「速度、加速度」 「近似式」
５．積分法
「不定積分」 「置換積分法」 「部分積分法」 「いろいろな関数の積分法」 「定積分」 「定積分の置換積分法」 「定積分の部分積分法」 「定積分と関数」 「定積分と和の極限」 「定積分と不等式」
６．積分法の応用
「面積」 「体積」 「曲線の長さ」 「速度と道のり」

１．関数

「分数関数」

１．常に、標準形に 直してから考える。

ｙ＝ｋ/（ｘ－ｐ）＋ｃ

ｋ/ｘ を →ｐ 、 ↑ｃ ずらした 絵を描く。

２．分数関数は、回転させると、直角双曲線。つまり、２次曲線。

２次曲線なので、D判別式 を 定式して、交点の個数を ０、１、２個か 判別できる。

「逆関数」

逆関数のイメージ。

逆関数。Inverse Function だったかな。

ｆ の記号に、Inverseの Iで －Iを 右肩にくっつける。

＋ の 逆関数が －

× ÷

微分 積分

exp log

二乗する √を とる

３乗する 三分の一乗する

tan arctan

sin arcsin

arccos cos

と このように

どんな 演算子、陽関数にも、かならず、逆方向が 存在する。

そして、それは 一対一に 対応する。あるいは、対応させるようにする。（一部の関数では、一対一に 対応しないので、範囲を指定して、対応させるようにする。 arc系、二乗系は 対応しないのだ。）

絵でイメージすると

ｆは

ｘ 軸から グラフの 線に 向かって 伸びて、９０度に曲がり、ｙ軸に 到達する

ｘ → ｆ → ｙ

一方、

inverse f は

ｙ軸から ｘ軸に 到達するイメージだ。

ｙ → ｲﾝｳﾞｧｰｽｆ → ｘ

つまり

だから、ｆ（x）＝ｙ の 式を、ｙについて解いて、

ｇ（ｙ）＝ｘ の 形にしたものが 逆関数。これは （y、ｘ）平面だと 見やすいんだけど、（x、ｙ）平面だと見にくいので、

ｇ（ｘ）＝ｙ と 文字を置換しただけ。

X の 領域から Yの領域への ジャンプが ｆ

Y X inverse f

また、逆関数を グラフするのは、実は、簡単で、

もとの 関数ｆ の 絵を ｘ軸を y軸に 、y軸を ｘ軸に するように ひっくり返すのだ。そうして、裏表、ひっくりかえした モノが、

逆関数のグラフ。

これは、ｙ＝ｘ に 線対称した絵と 同値。

ちなみに、もとの関数が 簡単に積分できるなら、逆関数の 積分も 簡単にできるんです。

だって、ｙ＝ｘに 関して、対称ですからね。

∫ｆ ｄｘ ＝ くの字型四角形くりぬき － ∫ inverse f dy

この イメージ。下絵参照。

「無理関数」

１．無理関数も 分数関数と同様に、標準形に戻してから考える。

ｙ＝√ｋ（ｘ－ｐ）＋ｃ

√ｋｘ を →ｐ、↑ｃ 動かす。

２．無理関数は 回転させると、放物線 、つまり ２次曲線。

放物線の 逆関数が 無理関数。

だから 分数関数と同様、２次曲線の 性質である 判別式Dが 使える。

「孤度法と三角関数」

孤度法は 新課程だと ⅡBで 出てくるらしい。

孤度法は π で表現するわけですけど、私たちは ３６０度の世界に 生きています。

言葉として、「１８０度回転する」と 「３．１４rad回転する」では １８０度 のほうが強い。

つまり、感覚として生きているのは 「３６０度系」なんです。

だから 無理して、πで 考える必要はない。２πといわれたら、「はいはい、３６０度ね」と 言い換えてください。

テストで 解答用紙に書くときだけ、採点者に へつらって、ラジアンで 表示すればいい。普段は、度数で 考えてください。

とくに、π/６ で 何度？って すぐに 思いつく必要もない。

π/６を 考えるときは、半円を 描いて、６等分した 図を描いて導いてください。

絵を 一度だけ テスト中に 描いてしまえば、それを見ながら、角度を イメージすればいいだけですから。

「合成関数」

１．合成関数のイメージは、表現行列の掛け算のイメージ。

ｙ＝Ax という 表現行列A で ベクトルｘ を ベクトルｙ へ 変換するイメージが 表現行列の イメージでしたね。数学Cの データベースを 見て下さい。

このとき、表現行列Aに、表現行列Bを かけると、

ｙ＝ABx と なります。これが 合成関数AB。行列どうしは AB≠BA ということからも

合成関数の 定式の性質が わかると思います。

ベクトルｘ、ｙを スカラーｘ、ｙに すれば 合成関数です。

ｙ＝Ax と

ｙ＝ｆ（ｘ） を 比較して下さい。
そして

ｙ＝ABx と

ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ）） 。ねー。よく 似ています。

逆関数である ｆ－１ （エフインバース）は 表現行列では 逆行列 A－１ で 表現されます。

A－１・A＝E であるのと 同様に、

ｆ－１（ｆ（ｘ））＝１・ｘ です。

２．合成関数の計算は X に任せる。

ｆ＝ｘｘ＋ｘ＋１ 、ｇ＝１/ｘ とします。

ｆ（ｇ（ｘ））＝ｆ（X）＝ XX＋X＋１ です。つまり X＝ｇ と 置換したんです。

これで 見やすくなりますよね。あとは X＝１/ｘ を 代入すれば、合成関数は 完成。

３．分数関数の合成は ２行２列の行列と ほぼ一致する。

これは 「ほぼ」としたのは、符号が逆になってしまう からです。符号は逆だけど、係数関係は 一致します。

たとえば ＋ ＋

ax+b/cx+d = ｜ a,b ｜ ＝A と 置換できる。

｜ c,d ｜

＋ ＋

計算すると わかります。これを まじめにやるか、行列計算でやるかっていったら、行列でやったほうがいい。

３分くらい差が出るし、正確性も 行列計算のほうが、断然高い。

２．数列と極限

極限系の問題には、２種類あります。二元論で理解するってこういうことです。

連続ｘ の極限ｖｓ 離散ｎ の極限。

じゃじゃーん。

こんな シンプルに 極限の問題を解説してくれる先生も教科書も、参考書も問題集も 残念ながら、いまだに 存在しません。

極限系の問題に対して、なんとなく 苦手意識を持っているとしたら、この二つにわけて データベースを 作っていないからです。

よかったですね。NDT hikaru と 出会えて。これで 偏差値が １０は 上がります。

「等差数列の一般項の極限」

まずは 不連続、離散 の ｎ の極限から やっていきましょう。

１．極限 lim のイメージは 「 一致しないんだけど 、ものすごく近づく。」

イコール が ＝ という 「一致記号」だとしたら、極限 は

リミット が → という 「近づく記号」だと 思ってください。

たとえば

１/３って ０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・ですよね

だから これを 例にして → 記号 をつかうと

０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・→１/３

です。たしかに ０．３３３３３３３３・・・で 近づいていくんですけど、けっして、０．３３３３ で 表現できませんよね。つまり、ものすごく 近づくことはできるけど、決して、１/３には 一致しないイメージ。

日常生活では、一致しているように感じるけど、ナノレベルの 極小の正解では 近づいているだけ というイメージです。

この 極限の記号によって、あいまいだった数の世界を すっきり させることができるようになりました。

２．極限の問題は、結局、いろんな 数学の分野を ごちゃまぜに したもの。

極限の問題は、数列、関数、面積、体積、ベクトル、確率、・・・・・いろーーーーーんな 問題が 存在します。その理由はカンタンです。

定式は 数列、関数、面積、体積、ベクトル、確率、・・・・・いろーーーーーんな分野で ならったことを使用し、

最後の極限計算だけ 加えると、「極限系問題」の いっちょあがり だから。

つまり、あたらしく習うことって実は、極限においては ないはずなんです。

最後の極限計算を 習えば、すべての問題を 解けるはずなんです。

ところが どっこい うまくいかないからこそ、この分野を 苦手としているひとがいっぱいいる。だから、テストで 差がつく。

なぜ、うまくいかないかというと、同じ分野のくせに、今まで 出てこなかったタイプの問題が どんどん 出題されるからです。

つまり、極限計算を 見越した 新しいタイプの問題が それぞれの分野に 上乗せされる というイメージです。

いままで、数列で 作り上げてきたデータベースに、あたらしく 極限系問題でしか 扱わない 数列のデータを 加える必要があるというわけです。

さあ、それでは それぞれの分野について 新しく加わるデータを 対象化しましょう。

そのまえに、

３．lim計算 は ５種類しかないイメージ。フィニッシュの仕方は、連続ｖｓ離散 共通。

BUT、太字にした３と４．は、連続でしか 使いません。理由は ないです。連続にして問題を、作ろうと思えば作れるのですが、誰も作っていません。みなさんが 大学教授になったときに、出題してください。

１．「１/ｎ→０ 、ｘ→０」を 作る。（直接系）（ｎは 等差数列的）

２．「ｒのｎ乗→０ 、ｒのｘ乗→０」（直接系） （ｒのｎ乗は 等比数列的）

３．「三角関数系→１ →１/２ 」（直接系）

４。「log→１、 exp→１、e 系」 （直接系）

５．「間接系。」

５．１．挟み撃ちして 上の１、２ を使用する。

５．２．平均値の定理の変形して 定式。

５．３．ｆ’の定義式化して 定式。

４．離散（不連続）系の問題の種類と 定式データベース。

１．数列系

１．１．一般項An系

漸化式

群数列

１．２．和Sn系

１． ２．１．和定式可能系

Sn 系

Sn/Tn系

１．２．２．和定式不可能系

整式級数の値代入系

３．繰り返す同じ形の図形系

これは ２．１．と２．２．の数列とまったくおなじ。

４．Gridの個数系（Grid って 格子の点ってこと。四角、三角だったりする）

「無限等比数列の一般項」

１．上のデータベースの lim定式 の２つめの ｒのｎ乗計算 をやってください。

「等比数列、等差数列、分数数列の和の極限、つまり無限級数」

１．「級数」という言葉は 毎回違った形をしているので、ほんとうにあいまいな言葉なんです。（この言葉を作った人が あんまり理解しないで、この言葉を作ってしまったから、こういうことになる。）

「関数としての級数」の説明は、テイラー展開でやります。目次から 「近似」の記事を 見てください。

２．「数列を 無限回数、足した和」としての 「級数」は Snを lim計算で 定量するだけ

「無限等比級数」

１．チャートでは この範囲に、「無限等比級数をで定義される関数」を 例題に入れています。でも、これは 明らかに おかしい。ちゃんと 連続ｖｓ離散を 場合わけしないで、参考書を つくると こういう失態を 犯してしまう。そし
て、伝わりにくい参考書を作ってしまう。

これをつくった大学教授は 大いに反省して欲しい。「無限等比級数をで定義される関数」は 連続した関数ですので、すべての離散の極限 と すべての連続の極限を 説明した後に、乗せるべき問題です。

２．無限に足した数列の和としての級数で、数列が 等比数列のものを 特に、「無限等比級数」と呼ぶ。

これも 等差数列の和と 同様に Sn を 定式して、lim定式で 求める。

くわしくは データベースへ。

↑ここまで ｎ の世界。つまり 不連続で 離散した数の世界でした。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

↓ここまで ｘ の世界。つまり 連続で 数の世界の はじまり。

「関数の極限」

１．数列の離散的数の極限から →関数の連続的な数の極限へ。

数列が 点々・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・＞∞

であったのに対して

関数は 連続 ――――――――――――――――――→∞

イメージは 変わる。でも、lim計算は まったく同じ。同じなだけに、この二つを 混同してしまう人が多い。私も してました。

２．連続系の極限問題の種類とその定式データベース。

１．条件点の座標の定式系（lim（条件点の座標）＝？ ）

１．１．交点

１．２．SやVを 等分割する点

２．積分系

lim∫ｆ（ｘ）ｄｘ

３．lim （f（x））系

４．積分を使わない Space 式系

「三角関数の極限」

１．三角系のlim計算。

「連続関数」

１．連続してくっついている線のことを 「連続関数」と 呼ぶ。

２．連続であることの証明式。「→定数←式」

右からのlim と 左からのlimの 収束値が 一致すれば、連続であることの証明になる。

３．中間値の定理というか 「軸の下だった線上の点が 、軸の上にも線上の点が 存在するなら、その線は 軸と交点を持ってますよね定式」です。

なにも 中間ではないことに 注意してください。ふつうは 中間っていうと、２点間の真ん中を想起する言葉ですが、ぜんぜん 中間じゃありません。

まったく 困った言葉のセンスです。 数学を勉強する前に、国語を勉強して欲しいですよね。

この「軸にあたりますよ定式」は 解の存在性を 定式する道具です。

ｆ（ｘ）における 「軸に当たりますよ定式」は 「解の存在性」「交点の存在性」です。

ｆ’（x）における 「軸に当たりますよ定式」は 「極値の存在性」です。

ｆ’’（ｘ）における 「軸に当たりますよ定式」は 「変曲点の存在性」です。

こういう説明をした 教科書、参考書はどこにもありません。よかったですね Wikihikagleがあって。ちゃんと お友達に 紹介してくださいね。

３．微分法

「導関数」

微分。Differential。の意味データベース。

微分 といっても 視点を変えると いろいろな 意味を 抽出できます。それを データベースしていきましょう。

１．微分ｖｓ積分は 連続の世界。それに対して、差分ｖｓ和分は 離散的、不連続の世界。

ふたつの 離散した数字の差を マイナスを とるのが 差分。

和を プラスを 和分。

じゃあ この二つの要素が もおおおおんのすごく 近い場所で 連続っぽく見えたら？

ふたつのほぼ連続した数字の差を マイナスを とるのが 微分。

和を プラスを 積分。

そういうわけで 微分ｖｓ差分。 連続ｖｓ離散。

連続というのは 直線、曲線のイメージ。あるいは 実数のイメージ。数同士が 密度が高く 充満しているイメージ。

離散というのは 点々 点線のイメージ。あるいは 整数のイメージ。数同士が すかすかで ものすごく 広大な白い台地に ぽつぽつと 点が 転がっているイメージ。

たとえば

とりあえず 離散について 考える。

等差数列で 差分すると 公差ｄ がでる。

ここで あたらしい 概念。「数列を グラフにして 捕らえる」

等差数列というのは Y=dX + a で は Xは自然数のみをとる。

つまり 点々の 半点線 だ。

一方

連続について考える。

数列ではなく、ふつうの 直線 y=Dx+A で ｘは 実数を 取る。

つまり 単なる 直線。

これを 微分すると 公微 D がでる。（公微 は 私の 造語）

こうやって 並置すると その違いが わかるとおもいます。

この 差分 によって 公差ｄ を 出すという 行為と 微分によって 公微というか 傾きDを 出すという 行為は まったく おなじ 行為だということ。

ただ 微分の場合、極限をつかって、ものすごく 小さい差をもとめてるだけです。

さて お次。

そして ものすごく 点と点の間が 小さいので 「ひとつ点」として 扱えちゃうのです。

２．「微分する」というのは 曲線の 増減を調べる道具。

これから その曲線は 下に いくのか 上に行くのか 調べるには、その「ひとつ点」で 微分すればいい。

だから

「もともと 二点間の 傾きだった式」を 「limによって ひとつの点扱いする」

f (a+h)- f (a)/ a+h - a → 点A （a, f(a)）での 傾き

というのが

微分の定義式なのです。

この 「変換キー」を 押して 「２点間の傾き」を 「１点の傾き」する 感覚。

これが 「微分する」ってこと。

ひとつひとつの 点の 傾きがわかれば グラフの増減もわかりますよね。

３．微分とは 積分の逆演算。

「傾きを求める」という 感覚から離れて、

単純に

「プラスする」「マイナスする」という演算の 同様の感覚で

「微分する」 「積分する」 という演算をするようになります。

つまり

「 ＋ 」 「 － 」に 対して

「d/dx」 「∫ dx」です。

なんで そんなことするかって？

便利だからです。

傾きのイメージは そこには ありません。

積分方程式や 微分方程式で よく 使います

微分計算イメージ。

１．それぞれの関数の微分

１．整式は 「背負い投げ のあと 小さくなる スーパーマリオ」イメージ。

肩に乗っている数字を 投げて前に 出して、次数を マイナス １ で 小さくなる。

２．ｃｓ三角関数は 「+ｓ → +ｃ → -ｓ → -ｃ → 」ぐるぐるイメージ。

３．tan三角関数は 「ここに 逆」イメージ 1/co*co

tanは c/sの 分数の微分で 導いてもいい。

４．exp(x) つまり eのｘ乗 は 「なんどやっても 同じ」イメージ

５．定数のx乗 は「定数が背負い投げしたら 自分のログが でちゃって 自滅！ 技あり！」

とにかく 指数関数は 自分の形は 変化しないイメージ。

６．log x は 「log は 整式の一部」イメージ。

ｘのｎ乗を 微分し続けると だんだん 次数が 下がっていく。ついに ｘのゼロ乗つまり、定数になってしまって 定数を 微分すると ゼロになっちゃう。

でも まだまだ 下げたりないので、 log x を 用意。

log x から ｘの-1乗へ。 そして -1乗から －２乗へ・・・・・・ そして どんどん 次数は 下がっていく。

合成関数の微分。

以下 「び」というのは 「微分する」の 略。

１．ｆ（ｇ（x））の微分 は 「中び、外び」

中に入っている 関数を まず 微分。つづいて 外の関数を 微分。

ｇ’（x） カケル ｆ’（G）の イメージだ。

ｇ というのが 見難いなら、g（x）を X、つまり でかいXと 置換して 考えて

f ’（X）＝ X' ・ ｆ’（X）とすると 見やすい。

「Xという かたまり」として 見るのが 大切な 感覚。

２．f ・ｇ は 「左び 残して 足す 残して 右び」イメージ

ｆ’・ｇ 足す ｆ ・ｇ’

３．ｆ /g は「ｇの二乗 分の 分母び 残して 引く 残して 分子び」

「分子は ｇの -1乗なので 微分するときに マイナスが くっつく」と イメージすれば どっちが マイナスだったか 迷わない。

３．対数微分法。

１．積の数が多くて 微分するのが たいへんだったり

２．指数関数の底に ｘ の 変数が入っていて 指数の部分にも ｘの変数が入っている場合、

に 「両辺を log る 」してから 微分することで 微分を簡単にする。

このとき ｙ は ｘ に 従属なので log y を 微分すると 「中び 外び」より

（１/y） × ｙ’ になる。

これらの イメージだけで 簡単に 微分することができる。

微分というのは すべての関数を 簡単に 微分できるのに対して、

積分というのは ほんの 一握りの 関数しか 積分できない。

つまり 受験に 出される積分の関数というのは 人工的に作り出した 超特殊な関数しか 出てこないのだ。

それに対して 微分は どんな 関数でも 微分できるので （陽関数で なめらかで 連続な 関数なら）

あんまり 問題にならない。

「接線と法線」

１．陽関数の接線

line= ｆ’（ｘ－ｔ）＋ｆ（t）

２．陰関数の接線

円、楕円、双曲線の接線定式

Xｘ/aa＋－Yｙ/ｂｂ＝１

３．媒介変数表示関数の接線

ｄｙ/ｄｔ /ｄｘ/ｄｔ ＝ｆ’で

line= ｆ’（ｘ－ｔ）＋ｆ（t）

４．共通接線定式

ｆ’＝ｇ’

ｆ＝ｇ

５．共通法線定式

ｆ’＝ｇ’

かつ

傾きPQ×ｆ’＝－１

（傾きPQ×ｇ’＝－１）

４．微分法の応用

「平均値の定理」

「平均値の定理」ではなくて、「２線平行の定理」と 考える。

平均値の定理といわれても ぜんぜん しっくりきません。

そうではなくて

ある関数の 「２点間を結んだ線分」と「その２点間のなかの どこかの接線」が 「平行」ですよ 定理だ。これで 藤木直人も この定理を納得するはず。

ｍ（C）＝m（AB） の定理。

ｍは 傾きを あらわす。（）の中は 点AとB、接点C。

このとき

ｍ（A）と m（B）は どっちかが かならず m（C）よりも 大きくて、

どっちかが 小さい。

絵を描けばわかる。下に凸か 上に凸しかないから。

これによる ２線平行の定理は ４つの使い方がある。

１．ｍ（C）を m（A）か Bで はさんで 挟み撃ち。lim定式。（メジャー）

２．具体的に、m（C）を 定量する。（マイナー）

３．不等式の証明に利用する。（ふつー）

ただし 、不等式全体に 「logる」が されていることもある。

４．中間値の定理と 同様に、点Cの存在証明。

これしか 使い道はありませんので、安心してください。これ以外、でません。

「関数の増減・極値」

微分は グラフを書く道具。グラフは 最大値、最小値を もとめる道具。

試験に出る グラフの形というのは 決まっているので、

すべての種類を 分類していれば、

「毎回、どんな グラフの形になるか どきどきしながら ミスしないように 計算する」という恐怖から 逃れられる。

グラフを 書く前に 数式から だいたいの形を 予想してから 実際に 計算に入るのが こつ。

じゃあ どうやって グラフを 描くか データベース。

１．式の形で だいたいの形を 決める。

式の形の見抜き方は 私が データベースするまでもなく、すでに 「微分の基礎」に すべて 載ってます。また、細野でも 紹介しているので、それを 見ればいい。

覚えるときは、「整式系」「ログ入り系」「exp 入り系」というふうに グラフごとに 絵を描いておく。

図を参照。

２．ｙ を 三階建て。図、参照。

ｙ’で 増減。 ｙ’’で 凹凸。

極値。 変曲点。

３．極限を 定量。図、参照。

ｘ軸平行型。

ｙ軸 。

ｙ＝ax+b 軸 。

結局、この三つだけ。

４．代表的な点を ぽつぽつぽつっと 書いて、それを なめらかに つなげる。

ここで 勘違いしないで欲しいのは

グラフを 書くのは 「難しい」のではなくて 「面倒くさい」のです。

実は 「グラフする」のは 単純作業を やるだけ。最初に おおよその形が わかっていれば、ミスすることはない。

「絵ｖｓ定式」の 二元論を 守っていれば、計算は 正しく行っているか 常に把握できるから。

結局、

微分。等式を解く。値の代入。極限計算。

この ４つを えんえんと やっているだけ。単なる計算問題なので 面倒なのです。

簡単なんですから、出たらラッキー！

しかも ラッキーなことに 絶対に 毎年 どこの大学でも かならず 出題されます。

この 「グラフを求める」という 作業だけで いろんな 条件の問題を 解くことができる。

違う問題のように見えて、実は 単に、グラフを求めているだけの問題 データベース。

１．ある関数の 最大値、最小値の導出。

（この関数は、「高さ」「面積」「体積」・・・といった いろいろな 意味を 与えられて 問題として出される。だが、やっていることは 同じ。）

２．定数a が はいった 関数の 「実数解の個数。」＝「ｘ軸との交点の個数」と 呼びましょう。

これは 定数分離 して グラフを書くだけ。

３．ある曲線へ たとえば 線外の点（０、a）から 接線を引いたときの 「接線の本数。」

接点を （t,f(t)) と 置換したときの 「ｔ の解の個数」

（曲線が 単調増加のときは ｔの解の個数と 接線の本数が 一対一に対応する）

４．不等式の証明。

グラフを書いて、０ より 大きいことを 示す。私は これを 「うさじろー」と 読んでいる。

「右辺ー左辺 ゼロ」だから

U SA ZERO うさ じろー

NHKの キャラクター うさじい の 本名は うさじろー （うそ）

５．「ファクシミリの原理」で 通過領域を求める。

上の命名は 荻野による。FAX原理。

「凸凹、曲線の概形」

１．ｆ’でわかるのが 増減。ｆ’’で わかるのは、増減の勢い。

ｆ’ ｆ’’ ｆの増え方

＋ ＋ すんごく 増える

＋ － あんまり 増えない。

－ ＋ あんまり 減らない。

－ － すんごく減る。

「方程式・不等式への応用」

１．不等式は、とりあえず 「うさじい」にして （F=右辺－左辺＞０にする） グラフを書く。

「速度、加速度」

１．力学で 考えればいい。ｖ、a を 使って考える。

２．水注ぎ問題は 「成り立つ定式」と 「その微分した式」を 立てるだけ。

欲しいのは、

ｄS/ｄｔ 、ｄV/ｄｔ、 ｄｈ/ｄｔ 、ｄｒ/ｄｔ

器に入った水面の半径ｒ 、水の面積S、水の体積V、水の高さｈ に成り立つ定式を 立てて、それを微分すればいいだけ。

「近似式」

ある関数で、原点周辺をテイラー展開。

ｆ＝ｘ＋ｘｘ＋ｘｘｘ＋ｘｘｘｘ＋ｘｘｘｘｘ＋ｘｘｘｘｘｘ＋ｘｘｘｘｘｘｘ＋・・・・・

という 変数、というか 元ｘ が どんどん べき乗で 増えていく規則を持った 等比数列の和みたいな 関数を 級数 といいます。（あるいは 整級数、べき級数 ともいう）

とくに

ｆ＝Σ（ｆのｎ回微分に ゼロを代入）÷ｎ！＊（ｘの ｎ乗）

を 「ある関数ｆで ゼロ点周辺を テイラー展開（Taylor Expansion）する」と呼ぶ。

ゼロ点周辺で展開したのは 単純に式を書くとき、いちいち ｘ－a みたいに 書きたくないからだ。

式を単純にしたいから、ゼロ点を選んだ。

このテイラー展開というのは どういうものかっていうと、

「陽関数で なめらかな関数なら どんな関数でも、 ｘ の級数で 近似できますよ」ってこと。

sin cos tanのような 三角関数でも、 exp のような 指数関数でも、ｘ の級数で 表現できちゃうのだ。

こりゃ 便利。

だって これがないと コンピュータは sin の値とか を 計算できないでしょ。

ｘの形で 表されるから、コンピュータは かんたんに sinの値を 計算できる。

（特に、ゼロ点周辺の テイラー展開を マクローリン展開ともいったりするけど、あんまり意味がない。マクローリンは ひっこんでろ！）

じゃあ テイラー展開について データベース。

１．証明の 仕方は どうでもいい

大学に入って、ちょこっと 習うけど、証明できても、使用方法になんの影響も与えません。証明を読んでも、あっそーですか で 終わり。 気にしないでください。

２．exp(i θ )=cosθ + i sinθ を 証明するのに 使える。

まあ 複素数平面が なくなちゃったので あんまり 注目されませんけど、オイラーの定理は 常識です。複素数の 回転イメージは この式から来ているので やっぱり 知っておいたほうがいいんじゃないかなー。図参照。

３．剰余項の証明。

これも ３０年に 一度でるか でないかの 問題なので、どうでもいーかなー。

コーシーの平均値の定理で証明するのが 一番簡単です。清参照。

４．入試でよく出る 不等式の証明の背景が わかる。

○＋＠＋☆＋％ ＜ exp(x)

という 証明問題は テイラー展開を 途中で 切った不等式を 背景にしてます。

５．e,π、log 2 とかを 級数に 定数を代入した式で かんたんに 表現できる。

e は exp(1) , log 2は log x に ２ を入れる。

πは 直接は 無理で、 たとえば sin(x)に π/2を 入れれば、１ を πで 表現することができる。

整数を 無理数の無限の和で 表現するところに ロマンと 奇跡を 感じてください。江原ひろゆきです。

ちなみに e は 超越数と 呼ばれています。かっこいい 名前です。

なんで 超越なのか というと 人類の知恵を 超越しているからです。

eが どんな 数なのか いまだに よくわかっていません。分類できない 数なのです。

６．Σの ｘ の ｎ乗 アレルギーに ならなくなる。

問題の中に Σ （ｘのｎ乗 ）が でてきても

「どーせ Taylor だろ！」と 気楽に 条件式を 見れるようになります。

５．積分法

「不定積分」

積分のイメージ。微分の逆演算。

積分。Integral Calculus。

∫ f（x） ・ ｄｘ は

Σ （たて）・ （よこ） つまり 長方形を 足しまくっているイメージ。

厳密に 証明する必要はないです。できても あっそーですか で 終わり。問題を解くのに まったく 役に立ちませんので、安心してください。

１．積分は 微分の逆演算。

微分は 積分の逆

和 は 差 の逆 。

積は 除 の 。

この事実が あるからこそ、積分は 簡単に 計算ができる。

∫ｆ’ ｄｘ の ｆ’ を 微分する前の形、つまり ｆ にもどしてあげればいい。あるいは

∫ｆ ｄｘ ｆ F 。

つまり 演算子っぽく 書くと

∫ｄｘ（ ｆ’ ）＝ ｆ ってこと

一方、微分は

ｄ/dx( f ) = f ’ ってこと

増えるわかめちゃん でいったら

乾燥させるのが 微分に 対応し、

水をかけるのが 積分に 対応する。

－－－乾燥微分ーーー＞

わかめ 乾燥わかめ

＜－－－水をかけ積分ーー

（ 苦労して 書いたわりに どうでも いいたとえだった。 ）

２．ほとんどの 関数は 積分不可能。人口的に つくられた関数のみ、積分可能で、テストに出される。

そういう わけで ちゃんと データベースで 分類して整理しておけば、 だれでも 積分は できるようになる。

「テストにでる」 イコール 「かならず 積分可能 。」

３．区分求積 は 絵、グラフを 対応させて描けば、どれが ｆ（x）になって どれが 範囲になるかわかる。

４．積分には 「方向がある」

面積というのは 方向はありません。つまり スカラーです。Scaleです。

一方、

積分には 方向がある。つまり Vector ベクトルです。

ただし プラスとマイナスの方向しかありません。

右に動く積分は プラス。 左が、マイナス。

軸の上を動く積分は プラス、下がマイナス。

というわけです。

ですから 積分ｖｓ 面積 というのを ちゃんと 区別してください。

テストでは

面積というのは、「かこまれた面積」というように 強調されますので、積分と 間違えるということはないでしょう。

積分vs面積の 関係は

距離ｖｓ道のりの関係と 同値です。

積分する関数の 形 データベース。

１．整式系

１．１ ｎ次系

１．２ √系

１．３ 分数系

１．４ β関数系

２．三角関数系

２．１ ｃｓミックス系

２．２ 非ｃｓミックス系

２．３ √ ｃｓ 系

３．指数系

３．１ exp(ｎ x)系

３．２ 分数系

４．対数系

４．１ ｎ次系

４．２ log x/x 系

５．別種の関数 混合系

５．１ （外の関数）×（内の関数）系

５．２ （ぐるぐる変化しない関数）×（微分して 次数を下げる関数）系

５．３ （ exp (x) ）×（ 三角関数）系

以上の ５個のカテゴリー内の形に 当てはまらない関数は 積分できません。

積分するときは、どの形にハマっているか、反射神経レベルで 反応する必要がある。

次に、

形による分類をしたら、今度は 積分方法の種類を データベース。

１．積分基本式。

１．１ 整式

１．２ 三角関数

１．３ 指数関数

１．４ 対数関数

２．基本積分式を 使うためにの 工夫。（私は 以下、それぞれのやり方に 名前をつけて、「 IYM 法」とか 「BBS法 」とか 呼んでいます。そうしないと 不便だからです。「あの 方法で 積分する」とか いうのは 嫌でしょ。 みなさん
は 自分で それぞれの積分工夫の方法に 名前を つけて ください。 ）

２．１ 置換する

２．２ X’・ｆ （ X ） → F（X）する

２．３ log 分母

２．４ ｆ ・ｇ を F’・ｇ で ｇ を 微分する

２．５ √を はずす

２．６ ｃ と ｓ 変換。

２．７ 円の面積に 置換する。

２．８ (exp x )×（ cos x ） と (exp x )×（ sin x ） を 微分して 原始関数を 作り出す。

２．９ 逆関数系を 置換して 計算可能にする。

「置換積分法」

上のデータベースを参照。

「部分積分法」

上のデータベースを参照。

「いろいろな関数の積分法」

上のデータベースを参照。

「定積分」

上のデータベースを参照。

「定積分の置換積分法」

上のデータベースを参照。

「定積分の部分積分法」

上のデータベースを参照。

「定積分と関数」

１．積分方程式 は 数学Ⅱ で 既に紹介しました。

関数の中に、指数が入ったり、三角関数が 入ったりするだけで、やっていることは、数学Ⅱと まったく同じです。

「定積分と和の極限」

１．区分求める積は

Σ ｆ（ｋ/ｎ） ・ （１/ｎ）

↓ ↓ ↓

∫ ｆ（ ｘ ） ・ ｄｘ

の 変換をするだけ。

パターンが 同じなので 簡単な問題しか作れない。

２．積のΣは log る 信号。

「定積分と不等式」

間接的に、積分不可能や 和分不可能の 近似を求める。

１．積分不可能な 関数の その範囲における変数置換式で はさむ

２．和分不可能な 数列の グラフによる面積式 で はさむ

６．積分法の応用

「面積」

数学Ⅱ とまったく同じ。

「体積」

数学Ⅱ とまったく同じ。

「曲線の長さ」

１．定式は ２種類。「速度の三平方型」と「くくりだし三平方型」

√（速度の２乗）×（時間） の和

と

√（微小ｘの２乗）＋（微小ｙの２乗）の和＝斜辺の和 これを くくりだして、ｆ’で 表現する。

２．いずれも 積分計算するためには、√を 消すようにな 関数である必要があるので、出題される関数は 決まっているし、２乗の作り方も 決まっている。

だから、難しい問題が 作れない。

関数は

陽関数型

と

陰関数型

で データベースしてください。

「速度と道のり」

平面上の 運動の道のりも、「曲線の長さ」の２種類の定式を 使うことによって、表現できるようになる。

でも やっていることは 上の問題と まったく同じです。「道のり」と呼ぶか「曲線の長さ」と 呼ぶか の違いです。

数学Cデータベース

私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。

物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。

数学は チャートの目次を 利用することにします。

目次
１．行列
「行列の加法、減法と実数倍」 「行列の積」 「逆行列」 「行列と連立１次方程式」
２．いろいろな曲線
「方程式の表す曲線」 「２次曲線」 「２次曲線と直線」 「２次曲線の移動、性質」 「曲線の媒介変数表示」 「極座標と極方程式」

１．行列

「行列の加法、減法と実数倍」

C行列の 記号 再構築。再考。
１．ｘ行 ｙ列。 ＋－－－－－－－－－－－－→ ｙ
｜ （１．１） （１．２）（１．３）
｜ （２．１）
｜ （３．１）
↓ ｘ

というわけで 行 列 の漢字の中に、どっちが ｘ行で ｙ列か みたいな 覚え方は しないでください。わずらわしいです。うえみたいに ｘ軸、ｙ軸を くるっと まわせば、

（ｘ、ｙ）の 座標の位置が ｘ行ｙ列に 対応します。これなら、迷わないし、５行８列が どこになるか、すぐにイメージできるようになりますよね。

２．行列用語。英語はやみ表。

行列 は Matrix。行列式は Determinant。Trace は あんまり つかわない。

ｘ行、ｙ列 は ｘ Row 、ｙ Collum 。

線形写像、一次変換、 は Linear Mapping。あるいは、Linear Image。

Linear とは リニア モーターカーの リニア。 直線的という意味。Line の 形容詞。

（知っていても、あんまり 入試のためにならないのが、写像の種類。一応、知っていると、関数に対する 奥行き感が でてきます。そのうち 絵で 説明しようかな。

単射 Injection。全単射 Bijection。上への写像 Onto-mapping。全射 Surjection。一対一の写像 One- to- one mapping

X → ｆ → Y

Domain to Range

定義域 値域

or

Inverse image to Image

逆像、原像 写像

集合 は Set。

固有値 固有ベクトル。 Eigen Value 、Eigen Vector。Eigen means Characteristic。

A （Eigen vector）=（Eigen value）(Eigen vector ) これが 固有方程式。

転置 行列 Transposed Matrix。

単位行列。 Unit 。 E とか I を 使う。

ｎ元正方行列 Square of order n.

三角行列 Upper Triangular 。

lower 。

対角行列 Diagonal 。

ゼロ行列 Zero 。 ? O に 縦線一本いれる。

対称行列 Symmetric 。

交代行列 Skew Symmetric 。

非負行列 Non-negative 。

掃きだし法。 Sweeping methoｄ

成分。Component。

加法性 Additional Group

スカラー倍 Scalar Multiplication

Dimention ｎ は ｎ元。（次元というと 次が 乗数 と かぶるので あんまり 使いたくない。）

（Linear Space とか Subspace とか 「空間」について 書いてもいいけど、受験には、ほっとんど 役に立ちません。よって 省略。）

（一応 考え方は、こんなかんじ。

p = a x + b y + c z

ベクトルp が 空間を作る。この空間の名前をWｐ とする。

a、b,c は 実数で、 ｘ、ｙ、ｚ が Generater。

そういうわけで 線形結合

さて、Linear combination に おける 従属 と 独立について。

a x + b y + c z ＝０

このとき、a、b、c のどれかが、 ゼロではなくても、 上の式が 成立するとき、ｘ、ｙ、ｚ は 互いに従属。

一方、

a、b、c の すべてが ゼロのときのみ 、上の式が成立するとき、ｘ、ｙ、ｚ は 互いに 独立。

つまり、従属状態の 上の式を 言い換えると、たとえば ｘ を 他の ｙ 、ｚ のベクトルで 表すことができるということ。

このとき、 ｘ、ｙ、ｚ のうち、ふたつか ひとつが Generater ではない。

この考え方を 敷衍すると、Generater は ベクトル以外にも 、関数とかをも 含まれる。

すなわち、幾何ベクトル空間は 、いわゆる 高校数学の ベクトルが 生み出す、平面上の ベクトル空間だけど、

「多項式空間」というのは ｘ 、ｙ 、ｚ の Generater が ｘ＾３＋１ とか ｘ＾２＋ｘ＋６ とか ４ｘ に なれるんだ。

あるいは もうすこし 広めの

「関数空間」だと ｘ 、ｙ 、ｚ の Generater が sinx cosx exp x logx x^5 とか いろいろ 表現できる。

ちなみに うえの関数の例は Generater どうしは 互いに 独立です。 sinx は どうやっても、cosx で 表現することはできないからです。

ちなみに 互いに独立な Generater のことを Basis 、基底と 読んだりします。

たとえば 、ｘｙ 平面の 直交座標空間の 基本ベクトルは （１．０）と（０．１）です。

行列は 絵を「回して、伸ばす」道具。

行列というか 線形代数。

Matrix というか Linear Algebra です。

映画、マトリックス は 子宮というメタファーも こめられていますが、「すべてを 生み出す 源泉」という意味が Matrix という言葉にはあります。

行列 を 英語で言うと、Matrix ですけど、行列は 変換の王様ですから、こういう名前をつけたのかもね。

０．ボクらは 「多元のなかで 生きている。」 数を 文字で 置換する という行為を 点→ 線→ 面へと 拡張していく。（数学における 拡張欲求を 満足させよー）

よく五感とか 第六感とかいいますけど、実は、人間の感覚は もっと 多様に存在します。

五感＝（耳、目、舌、皮膚、鼻） これは おおざっぱに わけたもので、

たとえば、目に関しては、さらに、細分化できます。ほら、みなさんが ご覧になっている ディスプレイも 多元です。

Display ＝（大きさ、色、形、質感、明るさ、細かさ） のような 要素、元 で 成立しています。

この 要素というか 元というか、変数を 定量的に 評価して、そのディスプレイは、きれい ｖｓ 汚いと 判断しているわけです。

じゃあ 、改めて、人間の感覚を ３行３列の行列っぽく 書くと こういうことになります。

＋ー ー＋
｜音が高い、 音が大きい、 ハーモニーが 心地よい ｜（耳）
｜大きさ 、色 、 形、 ｜（目）
｜からい 、甘い、 、 うまい ｜（舌）
｜痛い 、 熱い 、柔らかい ｜（皮膚）
｜くさい 、おいしい 、どきどき ｜（鼻）
＋－ ー＋

ね。多元的感覚でしょ。

こういう感覚を 数値化して 扱うのに、行列は 向いているのです。

今まで、「数」というと、[温度]は {３０度} 。[標高]={３０００メートル} 。といったように、一元的でした。つまり、「点」 として 扱ってきました。

それが 「Vector」という考え方になると、「日本」=（北緯３４度、経度１５０度） とか、「猛暑」＝（最高気温３５度、湿度 ７０％、不快指数９０％） といったように、別の単位の数字を 一緒に入れることができるようになる。つ
まり、ベクトルになることで 点であった数が 「線」になった。

それを さらに拡張すると、数が 「面」になります。 以下のように、数は、点→線→面 といった 具合に 拡張させることができます。

「人間の 感覚」＝

＋ー ー＋
｜音が高い、 音が大きい、 ハーモニーが 心地よい ｜（耳）
｜大きさ 、色 、 形、 ｜（目）
｜からい 、甘い、 、 うまい ｜（舌）
｜痛い 、 熱い 、柔らかい ｜（皮膚）
｜くさい 、おいしい 、どきどき ｜（鼻）
＋－ ー＋

これが あたらしい 数字の考え方。スカラーから ベクトルへ。From Scalar To Vector。

（ちなみに この ベクトル。１行４列、あるいは ４行１列のベクトルまでは、立体映像を 利用して、可視化することができますが、２行２列に なってしまうと、もう 可視化することができません。すなわち、グラフにすることができな
いのです。それが、行列の とっつきにくさ の原因です。ですから、 行列を 勉強するときは、なるべく １行２列や １行３列のような 簡単なベクトルで 帰納的に 練習してから、m行ｎ列のベクトルへ 拡張させるといった 勉強をし
てください。そうすれば、具体ｖｓ抽象の 二元性が 成立して、なんとなーく 抽象的過ぎる定理も 理解できるようになります。）

１．伸ばーす。回ーす。変換の道具。

「０．」で マトリックスの世界に 住んでいることから、ベクトル＝行列を 理解してもらえたかな。行列という言葉と ベクトルという言葉は 同じ意味で 使うことができるんです。

でも、高校までは、行列というと 「２行２列か ３行３列 の 正方行列」 を イメージし、ベクトルというと 「１行２列か １行３列」と 思ってくれて いいです。

そういう 言葉の 住み分けを しているので 、注意。

じゃあ 次は、表現行列Aと ベクトルｘ と ベクトルｙの 違いを 対象化しましょう。

いままでは、ｆ（ｘ）＝ｙ という 「スカラー」の「関数の変換」だったのに 大して

拡張して、

行列A（ベクトルｘ）＝（ベクトルｙ）という「ベクトル」の「関数の変換」を 扱うようになります。

ｆに 対応する Aを 特に、「表現行列」と 呼びます。

これにより、ベクトルｘを ベクトルｙ へ 回転させたり、びよーんと 伸縮させたりして、移動させる ことが できるようになったのです。

（複素数平面が 範囲だった人は わかりますが、a+bi =r(cos + i sin) というのは 実は、表現行列だったんですねー。 a+bi というのは 「２行２列の行列で 書くことができます。これは 回転行列というやつです。（cos, -sin)

(sin ,cos) ってやつです。これを ｒ倍すれば、うえの複素数を 「かける」という演算と まったく同値のことができる。実は、複素数平面って、線形変換だったんです。）

以上、くわしくは 絵で 書きます。

２．回転行列を ×ｖｓ ＋。（積 ｖｓ 和）

上の０．の例の、人間の感覚としての 行列の 例だと、和「＋」という演算は 意味を持つんですが、残念ながら、積「×」という演算だと、 意味が なくなってしまいます。

バット。回転行列という意味だと、積「×」は ちゃーんと 意味があるんです。

「表現行列の 改造」です。

２により、[表現行列A=r (cosθ + i sinθ)]の 意味があると 説明しました。

同じ、[表現行列B＝R（cosφ + i sinφ)] を 足したり、かけたりするのは

C＝A＋B 、D＝A×B のように 新しい 表現行列をつくることに 他ならない。

特に、積の場合、D＝ｒ・R（cos（θ＋φ） + i sin（θ＋φ）)

のように、きれいに まとまってくれるのです。

固有ベクトルというのは 、このように 何回表現行列をかけても、回転せず、伸縮するだけの ベクトルｘ のこと なんです。

そして、固有値とは 上のDで 行ったら、r・Rのこと。

これが 理解できれば、行列なんて へなちょこ さいさいです。（お茶の子 さいさいです。）

ちなみに 逆行列というのは 「逆表現行列」です。

ｆ に 対する 逆関数が inverse f だったように

A が inverse A なんです。

ちなみーに、 Aの ｎ乗を もとめるというのが 大学受験でも ネックになってきますが、実は、大学の教養課程でも、 Aのｎ乗することが メインテーマになります。固有値、固有ベクトルを もうすこし、一般化します。

「行列の積」

行列の成分計算のイメージ。

１．和は 簡単。積は 「パイ投げ 顔面攻撃。」

積の計算だけ、あたらしい計算ルールを 使います。はっきりいって、覚えるだけです。理屈は どうでもいい。どうしてこういう方法になったかっていうと、うまくいったから としか 言いようがない。

じゃあ パイ投げ イメージ。２行２列どうしの 行列の積について。

左の行列 は 横棒。まずは （a,b）のパイを 手のひらに乗っけてください。

そして

右の行列は 縦棒。右にいるやつの顔面に ぱーんと 押し付けましょう。

このとき （a,b)は たてに

[a] [p] [q]

[b] となって、 [r ] そして [s] に 飛んでいくはずです。

あとは それぞれ ap とbr を 足す。

このイメージを もって 何回も計算練習をすれば、慣れてきます。これは バスケと同じで、シュート練習を反復するうちに、フリースローが 入るようになるのと同じ。

２．ほとんどの行列の積は 交換不可能。ｖｓ

特殊な、AX＝XA 行列積「アクサ型行列積」の 「X＝ｐA＋ｑE だけ 交換可能。」

行列計算と ふつうの四則文字計算の違いデータベース。

１．行列の「除法回避。逆行列 積る」

行列には、足す、引く、かける しか ありません。除法なし！だから、「Aをかける」の逆演算は 「inverse A を かける」のみ。

２．積には 「左方向からの→積」ｖｓ「右方向からの←積」の ２種類の積がある。

積の交換則が 不成立なので、こういう違いが生まれます。

３．因数分解は 「AX＝E で Xが Aの逆行列定式」ぐらいでしか つかわない。

交換則が 不成立なので、行列の文字計算で 因数分解するのは

３．１．「A 一元の ２次式」

３．２．「A,B ２元の 対称式」 ぐらいです。

４．方程式を 解くとき、一次のくせに、解が二つ出る。

行列 ｔA=eE の解 vs 整式 ax= b の解。

ふつうは ２種。 普通は４種 解がある。

４．１． まず 整式の４種の解について。 a,b が ゼロか ゼロでないか で 場合分けすると、２×２で 四種ある。「なんでもOK」「Impotent」「ゼロ」「定数」の 四種。

４．２．一方、行列の場合、A＝not zero と 決まっているので、、「なんでもOK」型と 「定数」型 の ２種類しか出題されない。

じゃあ 行列の 一元一次式の 解き方。名づけて 「比べたEる」

「行列というのは 両辺の 係数をくらべてはいけない。」

ｖｓ

「行列そのものの成分は 比べてもいい。」

そういうわけで 「比べたい」から こういう名前にしました。Good job！

４．２．１．A＝ｋE のとき式。

これで detA trA が もとまる。この値を ケーリーはミルトンに いれて ｋ について とけば、Aが もとまる。

４．２．２．ｔ=0 かつ、e=0 の とき 式。

このとき、Aの 値は 決定できません。「A=not zero だけど A^2＝ゼロ ということは ありえるのです。」

これも 行列だけの ミラクル。

５．Aの 一乗が not zero だけど Aの二乗が Zero になることもある。（これは 整式では ありえない 行列ミラクル。）

一方、

Aの二乗が Zero だと Aの三乗以上 は かならず Zeroになる。（これは 整式でも 成立する あたりまえのこと）

６．「成分を 左辺 と 右辺で 比べたい。」

とにかく、行列は この成分比較が 得意。２行２列なら、４つも定式できる。

一方、係数比較は タブー。整式では 係数比較は 許されますが、行列計算では 駄目駄目よ。

これは 前回、独立ｖｓ従属について 書いたときに、説明しました。係数比較できないのは、たがいに Generaterが 従属していることもあるからです。

整式のように 完全に 独立しているかは わからないから、タブーなのです。

ほら、A を Eで 表現できる かもしれないでしょ。

行列は 西岡康夫と 長岡亮と 清 史裕 荻野暢也 なんかを 参考にして書いてます。

ちなみに、西岡康夫の 二元論の説明は 世ゼミのStrategy シリーズとかの巻末に載っていたと思います。

立ち読みしてみてください。

「逆行列」

逆行列の定式。

逆行列というのは、割り算が 存在しない行列空間における 割り算の役割を 果たすものです。

inverseA ＝(１/|A|)*(~A)

です。

１．まず １/|A| について

detA=|A|＝ 行列式A 。行列式が 注目されて trAが 注目されない理由は、

detAが 「Aの スカラーだから」です。

ベクトルv のスカラーは 「 |v| 」ですよね 。これに対応するのが、｜A |

「たすきがけ 三角形の面積定式」というのを ご存知ですか？

原点と、P(a,b)、 Q(c,d) の 三点を 結んだ 三角形の面積は

（二分の一）｜ad-bc|

と 定式できます。

detAは 面積を あらわしているんです。（二つのベクトルによる平行四辺形の面積）

つまり、

ベクトルｖ＝（a,b）のスカラーは 「線分の長さ」

detAは Aのスカラーは「面積の大きさ。」という 意味づけをすることができる。

これにより、inverseA が１/A に 似ていることが わかるとおもいます。ぐっと 親近感が わいたかな。

１．１．ちなみに ad-bc というのは 覚えてください。理屈なんて どうでもいいです。

覚え方は 次のようなイメージをしてください。

あたらしいフジテレビの ADは あたまが つるつるに はげているそうです。スタジオは 照明が 明るいので、出演者は 異口同音に 「おい 新入りAD！ まぶしーーーよ」と ADを いじっています。

「AD まぶし」 「ad マイナス bc 」「ad-bc」

これが detA=ad-bc の覚え方。

２．余因子 行列 ~A

しらなくていいです。これを習うと、３行３列でも 逆行列を導くことができます。

覚え方は、

[d -b]

[-c a]

「AD （カンペが） 逆だよ。 まぶしーよ」

a、d を 逆にして、 ｂ、ｃ を マイナスにする。

「マイナス b、c」 「まぶしー」

覚えちゃってください。語呂合わせすれば良いだけ。

「行列と連立１次方程式」

連立一次方程式を 再構築する。

（大学生用の 説明を しようかなー。高校生は わかんなくていいです。）

表現行列と ベクトルの関係を 得たところで、連立一次方程式を 再構築することができます。

表現行列 A、解のベクトル ｘ 定数のベクトルｂ

連立一次方程式は 「A・ ｘ ＝ｂ」 とひとつの 式で表すことができる。

これで うれしいことは 次のとおり。

１．行列AのRank の数を 調べることで、連立一次方程式の 解の個数がわかる。

Rank とは 「行列Aの 対角線の要素の個数のこと」 この要素の個数が 「連立一次方程式の解の個数。」と 一致する。

つまり、Rank とは 二次方程式でいうところの 判別式なのだ。

２．今まで 高校でやってきた、「ax=b の ｘの解のとき方 ４通り 」を Rank で 再構築。

a ・ x = b

１． zero なんでもOK zero

２． Zero インポテンツ not zero

1. not zero ゼロ zero

４．not zero 定数 not zero

これが、ｘ の解 ４通り。not zero のところには、ゼロ以外の実数が はいる。

１．「なんでもOK」では ｘの解は、 実数でもゼロでも、複素数でも、なんでも OK。どらえもんだって 解になれる。

２．「Impotent」では 、解がない。どんな 数も 解になれない。

３．「ゼロ」 、 ｘ＝０ で 解が ひとつに決まる。

４．「定数」 、ｘ＝b/a で 解が ひとつに決まる。

１．２．３．４ において

Rank は１ で 解のほうが 行列のｎ元より 小さい。

２ 大きい。

３．４で 一致する。

ああ すっきり。

３．det A と 解の存在性 判別式。

detA＝zero or not zero によって、逆行列 inverse A の存在有無が わかる。存在すれば、解が ひとつに決まる。つまり、上の「２」における３．４ 解は ゼロと定数 ってこと。

つまり

「逆行列がある」を 定式すると、

３．１． rank(A )= n

3.2. det(A) = not zero

ってこと。

さて、行列A、rank, det, 連立一次方程式の 四天王の関係が わかったかなー。

この４つが 正四面体の頂点にあるように、たがいに 結びついているんですね。

一次変換って こういうこと。Linear mapping。

大学に入ると、行列という分野は、線形代数と 名前を変えます。（線形の形 は 型 でもいい） そして、Linearly という言葉を 使うようになります。線形性です。

１．一次変換、線形写像、線形変換と いろいろ名前があるけど、結局、「Linear Mapping」の日本語訳。リニアーマッピングとは 「y=ax を スカラーからベクトルに 拡張したもの。」

（写像という言葉は 変換と ほぼ同じ意味で使います。写像という言葉は、もっとも一般的な ｆ の 呼び方。「関数」と 呼んでもいいんですけどねー。私は Linear function のほうが、いいと思うんですが、写像のほうが、絵から
絵に 飛ぶというイメージを 持つ言葉なので、使われているんじゃないかと思います。

変換という言葉は Transformation という言葉の訳で、変数の数が 前後で かわらないような、写像のことを 特に、変換と呼ぶ。まあ、どっちでもいいです。どっちにしろ、高校までは、区別する必要がないですから。詳しい説
明は、清の受験教科書、行列数列編と 私の 絵を 参照。）

じゃあ 具体的に、どういう 写像、Mapping をするのが Linear mapping かっていうのを データベース。（以下、太い文字ｘ 、ｙ は スカラーか ベクトルを 表しています。）

１．中の和が → 外の和になるような 写像ｆ。

ｆ（ｘ ＋ ｙ　）＝ｆ （x）＋f（y）

２．中の定数の積が → ハミ出るような 写像ｆ。

ｆ（ λｘ 　）＝λ・ ｆ （x）

こういう ｆ の性質をもっている写像を Linear mapping と呼ぶ。

（こういうｆ だけに 抽象化して 「この式が成立するような ｆはどんな 関数ですか？という 問題が よくでますけど、たいていは ｙ＝ax 、三角関数、指数関数が ネタになっています。今度くわしく 書きます。）

具体的に、線形写像 が 成立するｆ のデータベース

１．すべての 表現行列。どかーん。

だから、線形変換、一次変換 という名前で、表現行列は 呼ばれるのです。

２．Σ計算。

３．微分 と 積分。

４．ｙ＝ax の 原点をとおる 直線。Affine ちゃん。

あるいは ｙ＝λｘ の Affine 写像。

これが 大学受験で 使われます。

じゃあ このことを 知っていたから 問題が解けるようには 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、なりません。

じゃあ、どうやれば、行列が 得意になれるのか？

それは 定式と 条件を 対象化して データベースすること！

さあ、あいまいモヤモヤだった 知識を 定式と 条件（結果ｖｓ原因）の 二元論に 分けて、すっきりさせてください。

＊ちなみに、－１ × －１ ＝ ＋１ （マイナスどうしを かけると プラスになる） というのを、「足す」 のと 「定数をかける」の 演算だけで 証明することができます。できても、あんまり 意味がないので、書きません。

そうそう、大学に入ると、ベクトル は → 表示ではなく、 一本 アルファベットに 縦線を入れることで、スカラーと 区別するようになります。

それが、PCの画面上で 表すときは、太字にする という 規則があります。

私は ベクトル表示をするときは、→記号を 好きで使います。縦に一本 線を入れると、記号の描き方に 一貫性が 保たれないので嫌なのです。

たとえば 私は Lの小文字を 筆記体で ? と 書きます。 これに 矢印をつけて、→ とするわけです。 ?

でも、一方、この ?に 縦線を入れるのって、かなり 汚くなりますよね。だから、ｌ （←これは 筆記体ではない Lの小文字）に 縦線を入れるわけですが、やっぱり 見にくい。

一本縦線を入れる方法だと、「 ｌ 」 １にしか 見えませんよ。

だから、←記号を 使うんです。数学の記号なんて、「思考を助ける道具」なので、表記が統一されていなくても、「わかればいい」のです。 大学の先生が、一本線をいれる描き方をしてきても、←記号を 使い続けてください。
それが スタンダードになればいい。

行列は「連立方程式」の理解から 始めよう。掃き出し法のイメージ。

たいていの あほの坂田数学先生から、行列を教わると、行列のｘ行、ｙ列の 法則から 教わり、足す、かける という計算法則を 教わるという順序で 行列の授業が進むと 思います。（私は そうでした）

でも、はっきりいって このやり方は 恐ろしい。行列という概念を 「必要がない」のに 強制的に 「目的もなく」、行列計算を 強いられるのです。

「なぜ こんなことを やるのかわかない」状態で 勉強するのは かなり 苦痛です。（苦痛に感じない人は、そうとう 「お受験」「お勉強」に毒されているので、気をつけてください。）

そもそも、行列計算が 必要になったのは、「連立方程式を どうやったら カンタンに解けるようになるのかな？」という疑問からでした。

三元連立方程式なら、なんとかなりますが、５元連立方程式ともなると、面倒くさくて、やってられなかったのです。

そこで、５元連立方程式をとくとき、変数である pqrstを 省略して、

１ｐ+２ｑ+３ｒ+４ｓ+５ｔ＝６ → （１，２，３，４，５，６） と いう形に 簡素かしたのです。

このやり方を敷衍して、５行６列の 行列をつくったのでした。

ちなみに どうして ＝ のうしろの６を さりげなく いれているんだと 思われた方。ナイスです。その違和感は、掃きだし法の 計算手順を 踏んでいるうちに、区別する必要がないことが、体でわかってきます。

区別する必要がないのは、「係数の横のつながり、つまり、係数どうしの比だけが大事だから」です。

じゃあ、掃き出し法。Sweeping Method を アメリカの教科書に 沿って、理解しましょう。

１．まず 一列目から ０でない要素を見つけ出す。

２．その０でない定数を 「Pivot」と 呼ぶ。（バスケットボールで 片足だけを 地面につけて、その足を軸に、回転することを Pivot と ピボットと いいますよね。あのイメージです。）

３．Pivot を 「１」 にし、ピボットより上、より下の同じ 列の数字を 「すべて ０」に するために、ピボットの「行をｋ倍」して、ピボット以外の行を 「ｋ倍したピボットの入っている行で 打ち消す。」。

３．１．ピボットが はいっている行は、pivot が ｋ倍されたら、金魚のフンである 後ろの 要素は すべて ｋ倍される。

３．２．ピボットをｋ倍して、特定のビボットの上か 下にある列を ０にする。このとき、金魚のふんは 行ごと 影響を与える。

３．３． 何回も ｋ倍したり、ｍ倍したり、ｎ倍したりして、ピボットの入っている列を すべて ０にする。

＊ このとき 「金魚のフン」を つくるとき、なるべく 近くに計算を書いたほうが良い。裏の計算、表の計算と 分ける必要はない。ただ、計算ルールをちゃんとつくって、規則的にやる必要がある。じゃあ 具体的な私のやりかたを
紹介。

＊１．（ 行列）を かく。ピボットを見つける。

＊２． ピボットを ｋ倍した 「金魚のフン」を （行列）の 右隣に書く。このとき 大切なのが、「つねに 足し算を すること」。

こうするために、行を ｋ倍するとき、、＋ｋ倍 にするか －ｋ倍にするか ちゃんと 場合わけしましょう。私の場合、－ｋ倍するときは、さきに ｋ倍して、マイナスを 後からつける。

たとえば －３を ｋ倍して －９ にした場合、－ｋ倍にするめに、マイナスに縦線をいれて「＋９」とする。汚くなるが、そっちのほうが あたまのなかで暗算するより、ミスが少ない。

この 金魚のふん を 右隣に さきに かくことで、要素ごとの計算が 見やすくなる。

＊３ そうして、金魚のフンによって ０に なった 行を あたらしい（行列） の 中に入れる。これは そのまえに 書いた 古い（行列）の 下に 書く。

４． 今度は、２行目のなかに ピボットを見つける。そのピボットで ３ と まったく同様の計算を ２行で 行い、ピボット以外を すべて ０にする。

５． 上の「４」を 実行すると、めでたく 対角線が すべて 定数になる。

対角線を １ にすれば、その行列の一番右の列が 多元連立方程式の解。

断じていいますが、このやりかたは 「難しい」のではなくて「面倒くさい」のです。

そこを 勘違いしないでください。

だって、 「行を ｋ倍する」と 「行と行を 足し算する」ことしか やってないんですよ。小学生でもできますよね。

あと 当たり前の話なんですが、「行どうし場所を シャッフルしてもいい」んです。その理由は、連立方程式に 書き換えたときに わかります。

連立方程式を 解いている手順を そのまま 掃き出し法に 抽出しただけですからね。

これで 堀北真希も 工学部に入った堂本光一と藤木直人も オシャレ関係で たっちのまねをしながら、余裕で、連立方程式を解くことができます。

加筆。

Rankづけは この掃き出し法の 下半分をやればいいだけ。Echelon FormにするだけでRankはわかる。

連立方程式の 抽象化。

A ｘ＝ ｂ

これを

E ｘ＝解 にするのが 掃き出し法。３つの基本変形。

１．行をｋ倍。

２．行を行へ 足す。

３．行と行を 入れ替える。

以上。

O ｘ＝０ で 解は 無限個。

０ ｘ＝定数 で Impotent。

E ｘ＝定数 で 解は ひとつ。

固有値、固有ベクトルの意味は、「何回かけても、回転しない表現行列」

１．「Aで変換しても 回転しないベクトルの定式。」

ｆ（ｘ）＝ｙ

と 同じ考えかた、

A・ｘ＝λx （太字は ベクトル。）

ベクトルｘ を 表現行列で 変換したら、 ベクトルの方向が 変化せずに, 伸縮しちゃった。

という 式。これが

「Aに 対して、ベクトルｘ は 特徴的であり、

定数λ は 特徴的である」 と 呼ぶ。

Aの表現行列に対して、こういう特徴的な ベクトルと 定数の組み合わせは かならず ２種類存在する。

このAに 対して 特徴的な ベクトルと定数を、特に、固有ベクトル u,v 固有値 α、β と する。

たいてい uと v、αとβを 記号として つかいます。

下図参照 ８月予定。

２．「回転しない式」から 「特性方程式を出す。」

この固有値、通称、Eigen Values は 特性方程式で 出します。

べつに 特性じゃないです。以下、ｖは ベクトルとすると、

Aｖ＝αｖ を 右辺でまとめると、（αｖ ＝αEｖ であるのは、計算したらわかります。Eは 整式での １みたいなものですから。計算に 影響は与えません。）

（A－αE）ｖ＝O A-αE ＝Bと すると

B ・ ｖ＝O ということは、

「ｖ が ０じゃない」し 「B も Oじゃない」んだから、 「B・ｖが０」ってことです。こういうミラクルが 起こるのは、もう説明しました。 （Aが０じゃなくても、Aの二乗が Oになることがあるのが、行列の すごいところ。）

「ｖが ０じゃない」 は 「Bが 逆行列を持たない」ということに つながります。

逆行列が 存在してしまうと、左から 逆行列 inverse Bを かけたら ｖ＝０に なっちゃうからです。

つまり

detB=0です。

じ・つ・は この detB が 特性方程式。

なんで、ケーリーハミルトンと 一致するかは、「線形性」が あるからです。３項間漸化式で、同様に、特性方程式を利用するのも、「線形性」から 証明できます。まあ、証明できなくても、いいです。私は できませんから。

３．「A-αEを 二つのベクトル として 扱う。」ことにより 「内積＝０を つくる」

この内積から得られる「２平行１垂直の絵」から、「固有ベクトル定式」。

下図参照。

これは 発想の転換です。２行２列の行列を、１行２列のベクトルと １行２列のベクトルに わけて考えるのです。

このベクトル a , b と すると a・ v＝０ b・ v＝０

の 式が 出てきます。

すると、vector a , b 平行、 ｖ は a,b に 垂直になります。

ベクトル a か ｂ から 、適当な 垂直ベクトルｖ を 求めれば、それが、固有ベクトル。

４．Au =uα

Av=ｖβ の ふたつのベクトルを くっつけると、

AP＝PB 式

そして、念願だった、「inverseP・A・P＝B 定式」へ

この対角行列Bは ｎ乗しても 対角行列のままですから、かんたんに計算できます。

一方、ひだりのPAPは ドミノ式に 消えていきますから、

inverseP ・Aのｎ乗 ・P ＝Bのｎ乗

となり、めでたく Aのｎ乗が もとまるというわけ。

むずかしい理系の大学なら、ここまで 自力で 求めさせることがありますから、ちゃーんと 理解して、イメージから 定式できるようになってください。わかっているとひと わかっていないひとでは えっらい点差が つきます。

２．いろいろな曲線

「方程式の表す曲線」

１．ｙ＝ｘで 線対称移動させる定式。

ｙ＝ｆ（ｘ）を

ｘ＝ｆ（ｙ）に したものが ｙ＝ｘで 線対称移動させた 関数。

あとは ｙ＝ｆ（ｘ）の 範囲を

「ｘの定義域X、ｙの値域Y」→「ｘの値域Y、ｙの定義域X」の範囲にすればいい。

これは 素直に 絵を書けばわかること。

「２次曲線」

１．受験数学の中核は ２次曲線。すべての２次曲線を 比較しながら データベースを 作る。

今までは、２次曲線というと 円と 放物線でした。そこに 分数関数と無理関数が 加わった。

そして、ここで 楕円、双曲線が あたらしく加わるわけですけど、本当は、「わかっているひと」なら、最初から、この

「円、放物線（無理関数）、楕円、双曲線（分数関数）」の４つを 同じ まな板の上に乗せて、紹介します。

でも、たいていは 学習指導要領のせいで 同じ俎上に 乗ることはない。だから 理解しにくくなる。そういうつぎはぎな 教え方をするから、混乱するんです。

じゃあ、同じ土俵でデータベースを 作ってみましょう。

２．Origin が 中心の ２次曲線定式。vs 一般の２次曲線定式

Origin が 中心の ２次曲線定式。：xx+yy+ax+by+c=0 の ３変数。

ｖｓ

一般の２次曲線定式：ｐxx+ｑｘｙ＋ｒyy+ax+by+c=0 の ６変数。

一般式は ほとんど 使う事はない。ｘｙ、つまり、クロスタームが 式の中に入っていると、楕円や放物線は 斜め方向に 傾いた形になる。

でも、傾いた二次曲線を 扱うことは、東大後期ぐらいしかないので、無視していいです。

参考までに、この定式を紹介します。使う事はないですが、判別式D とのアナロジーを 感じてください。

この一般２次曲線の変数ｐ、ｑ、rは 形にかかわる変数です。

だから、このｐｑｒ の変数による定式によって、その２次曲線が 「放物線」ｖｓ「楕円」ｖｓ「双曲線」のうちに どれなのか すぐに 判別することができます。

判別式D’＝（ｐ＋ｑ）（ｐ＋ｑ）－４（ｐｑ－ｒｒ）

D’＝０ で 放物線。

D’＜０ で 楕円

０＜D’ で 双曲線

３．極座標による ２次曲線の定式

上の定式は ｘ、ｙ平面で 定式しましたけど、今度は、ｒ、θ平面で 定式します。

ｒ、θ平面と ２次曲線は 相性がいいんです。

一方、直線や ３次関数は 相性が悪い。

２次曲線特有の丸い形は

□□□□□□□

□□□□□□□ のような 格子模様の座標より （ ( ◎ ) ）

□□□□□□□

のような 同心円状の座標のほうと 相性がいいというわけ。

極座標での 表現は 一言で言うと、「軌跡で定式する」

軌跡の定式の中で （Ⅳ）→（Ⅱ）型の定式である

「（焦点からの距離）：（準線からの距離）＝１：e＝（ベクトルPF）：（ベクトルPH）を満たすような点Pの軌跡が ２次曲線」

すっきりしますね。eの値によって、すべての曲線を 表現できます。

ｘ、ｙ平面が a、 b、 ｃ の３変数で 表現していた ２次曲線を

ｒ、θ平面では 焦点F、準線L、eの ３変数で 表現します。

P と 焦点が近いと 楕円

Pと FとHが 同じ距離だと 放物線

P と 焦点が遠いと 双曲線

４．楕円の定式

４．１．標準式

ｘｘ/aa＋ｙｙ/ｂｂ＝１ 常にこの形にして 考える。

ちなみに 何度も紹介している簡易表示法だと

＜１/aa、１/ｂｂ、１＞ と 表現できます。

４．２．焦点F、中心C、短半径点Sの直角三角形ずる式

長半径点L とする。Shortだから S、Longだから L、Centerだから C、ForcusだからF。

長いまっすぐな棒を 想像してください。そして、SCを壁、CFを床として、直角SCFとなる絵を思い浮かべてください。

その棒を壁に 寄りかけたとき、棒の壁側を 点S、床側を点Fとします。

このとき、棒が ずるっと すべって、点Sにあった端は 点Cに落ち、点Fにあった端は点Lに すべってしまいました。

さて、棒の長さは いくらですか？

このイメージによって、三平方式で 辺SLの長さと、辺CLの長さが一致していることがわかります。

４．３．楕円の焦点からの距離による定式。

点Xからの距離をｘ とする。点Yからの距離をｙとする。

ｘ＋ｙ＝２L となるような点の集合が 楕円。

４．４．楕円の置換パラメータ表示式

これはあんまり 実用的じゃありません。

ちょうど接するように楕円を包み込むような円のことを その楕円の準円 といいます。（放物線は 準線があったけど、楕円と双曲線には 準円があるんですね）

その準円 ｘｘ＋ｙｙ＝aa（楕円の長半径が a のとき） を パラメータ表示すると、

ｘ＝acosθ、ｙ＝asinθとなる。

これを 押しつぶして、楕円にするんだから、ｙ方向成分を ｂ/aして

ｘ＝acosθ、ｙ＝ｂsinθとなる。

これが 楕円の パラメータ表示。これからわかるのが、楕円のｘ軸からのなす角はφであって、θではないってこと。φとθが ずれるのだ。だから、角度情報を パラメータの中に入れることができない。

よって、sin、cosine で 楕円を 定式する意味があんまりない。

だから もし 勘違いしたくないなら、

楕円の置換パラメータ表示式は

ｘ＝aｐ、ｙ＝ｂｑ とするほうがいい。ｐとｑは 適当な実数。つまり ２つの変数パラメータで 置換したのだ。（上の場合だと、１つのパラメータθで表現していたのに注意してね。）

楕円上の点P（aｐ、ｂｑ）と 置換したとき、ｐｐ＋ｑｑ＝１ を満たす。

だって

aｐ・aｐ/aa＋ｂq・ｂｑ/ｂｂ＝１ だから。

４．５．楕円の接線定式

ｘｘ/aa＋ｙｙ/ｂｂ＝１上の点T （X、Y）の 接線は

Xｘ/aa＋Yｙ/ｂｂ＝１

もし、楕円の中心が 原点上にない場合、一度、その楕円を 原点に平行移動させてから、接線を定式すればいい

どうして うえの式になるかは 、陰関数を ｄ/ｄｘ で 微分すればわかる。

ｄｙ/ｄｘを ｘとｙの式で表現できる。それを ｙ＝ｆ’（ｘ－ｔ）＋ｆ の式に入れればカンタンに証明できる。でも 毎回、証明して使う必要はない。

４．６．楕円の面積式

楕円の面積は 円に直してから 定式し、それを 変換する。

楕円は どっちを 変換しようが かまわないので、私は ｙ軸方向に 円化するのが 好きです。好きなほうで 円化してください。

ｘｘ/aa＋ｙｙ/ｂｂ＝１の ｙを （ｂ/a）Yに する。

つまり ｙ軸方向を びよーんと伸ばしたり、ぐにゅっと 縮めたりする。

ｙ→ｆ →Y という変換です。

すべての ｙ成分を Y成分にするのだから

ｙ・（a/ｂ）＝Y

これで パラメータである ｙ を 代入して 消して、

ｘｘ/aa＋YY/aa＝１ という円に変換する。

元に戻すときは、

Y・（ｂ/a）＝ｙ

こういう変換は、 関数ｖｓ 逆関数で やりました。

円で 変換された楕円の面積を 求めた後、また 逆方向に変換して、楕円の面積の値にする。

４．７．楕円の 極方程式。

くわしくは 「極方程式」について 下方の記事を見てください。

楕円上の点P （ｒ、θ）とする。焦点から 準線までの距離を ２ｐとすると

ｒ：２ｐ＋ｒcosθ＝e：１＝PF：PH

（準線が焦点より 左にある場合は ２ｐ＋ｒcosθ 一方

準線が焦点より 右にある場合は ２ｐ－ｒcosθ となる

（準線のほうの比が１ になるのは 「石田純一」と 覚えてください。）

ただし、eは 離心率 Eccentricity （エキセントリックの 名詞、中心cent から Ec 離れる）

とし、 e＜１ のとき 楕円となる。

５．双曲線の定式。

５．１．双曲線の標準式

ｘｘ/aa－ｙｙ/ｂｂ＝１ 常にこの形にして 考える。

ちなみに 何度も紹介している簡易表示法だと

＜１/aa、－１/ｂｂ、１＞ と 表現できます。

＋１ だと ｘ軸 で ＞ ＜

－１だと ｙ軸で ∨

∧

５．２．焦点F、双曲線頂点T、何もない点Φの長方形ぱったん式

今回も、長いまっすぐな棒を 想像してください。そして、今回の棒は 直角三角形CΦTと この三角形をぱたんと 折り返したときにできる長方形、つまり 長方形CΦTC’ の CC’ です。

この棒を ｘ軸に ぐるっと Cまわりにまわして くっつけたとき、C’は 焦点Fに ぶつかります。

さて、棒の長さは いくらですか？

このイメージによって、三平方式で 辺CC’の長さと、辺CFの長さが一致していることがわかります。

５．３．双曲線の焦点からの距離による定式。

点Xからの距離をｘ とする。点Yからの距離をｙとする。

ｘ－ｙ＝２L となるような点の集合が 双曲線。

５．４．双曲線の置換パラメータ表示式

これは さらに 実用的じゃありません。準円によって θでパラメータ表示する方法がある。

「人と他人は 個々に逆」式

１＋ｔｔ＝１/ｃｃ

ｘ＝atanθ、ｙ＝ｂ/cosθとなる。

θは まったく 双曲線の存在位置と関係ないパラメータなので

楕円の置換パラメータ表示式は

ｘ＝aｐ、ｙ＝ｂｑ とするほうがいい。ｐとｑは 適当な実数。つまり ２つの変数パラメータで 置換したのだ。（上の場合だと、１つのパラメータθで表現していたのに注意してね。）

双曲線上の点P（aｐ、ｂｑ）と 置換したとき、ｐｐ－ｑｑ＝１ を満たす。

だって

aｐ・aｐ/aa－ｂq・ｂｑ/ｂｂ＝１ だから。

５．５．楕円の接線定式

ｘｘ/aa－ｙｙ/ｂｂ＝１上の点T （X、Y）の 接線は

Xｘ/aa－Yｙ/ｂｂ＝１

もし、双曲線の中心が 原点上にない場合、一度、その双曲線を 原点に平行移動させてから、接線を定式すればいい

どうして うえの式になるかは 、陰関数を ｄ/ｄｘ で 微分すればわかる。

ｄｙ/ｄｘを ｘとｙの式で表現できる。それを ｙ＝ｆ’（ｘ－ｔ）＋ｆ の式に入れればカンタンに証明できる。でも 毎回、証明して使う必要はない。

５．６．双曲線の面積式

楕円の面積は 円に直してから 定式し、それを 変換するということをしましたが、双曲線は 普通に 積分して求めることができる。

５．７．双曲線の 極方程式。

くわしくは 「極方程式」について 下方の記事を見てください。

双曲線上の点P （ｒ、θ）とする。焦点から 準線までの距離を ２ｐとすると

ｒ：２ｐ＋ｒcosθ＝e：１＝PF：PH

（準線が焦点より 左にある場合は ２ｐ＋ｒcosθ 一方

準線が焦点より 右にある場合は ２ｐ－ｒcosθ となる

（準線のほうの比が１ になるのは 「石田純一」と 覚えてください。）

ただし、eは 離心率 Eccentricity （エキセントリックの 名詞、中心cent から Ec 離れる）

とし、 １＜e のとき 双曲線となる。

６．放物線の定式

今まで、準線とか 焦点の存在をまったく無視した 標準形であるｙ＝aｘｘ＋ｂｘ ＋ｃ あるいは、頂点の位置を特徴とする頂点型ｙ＝a（ｘ－ｐ）（ｘ－ｐ）＋ｑという定式でやってきました。

放物線の焦点、準線を意識する場合は、新しい定式が必要になります。

６．１．FH系放物線定式

ｙ＝（１/４ｐ）ｘｘ

この形は 「放物線の頂点」と 「楕円、双曲線の中心概念である 二次曲線の中心C 」と 「原点O」が 一致したときの定式です。

放物線で 焦点F、準線L を 考える場合は、常に、CとOを 一致させましょう。

焦点は （０．ｐ）

準線は ｙ＝－ｐ

たいていの教科書は、ｘｘ＝４ｐｙ みたいな 描き方をしているはずですが、私は この描き方が嫌いなので、使いません。

やっぱり ｙ＝aｘｘ の形をしているほうが やりなれているので、イメージしやすいからです。

もし ｘ＝ｂｙｙ みたいな 問題が出されたとしても、「ｘ＝ｂｙｙ を ｙ＝ｂｘｘ として 考えても同値なので ｙ＝ｂｘｘ で これ以後考える」という風に 問題を 書き換えましょう。

それで最終的に 「ｙ＝ｂｘｘ で 成立するなら、ｘ＝ｂｙｙ でも成立するので、◎◎だ」みたいな形で証明を 完了させればいい。Q.E.D。

６．２．焦点F と 準線L からの距離が 等しい曲線が 放物線。

放物線上の点をP として

PF＝PH （H は 準線L の垂足）

６．３．放物線の接線式

ｙ＝（１/４ｐ）ｘｘ の形にして、微分すればいい。でも、一応、カンタンに表現する方法はある。

放物線上のT（X,Y）とすると

ｙ＋Y＝（１/４ｐ）X（２ｘ） ←ｘｘを 微分すると、２ｘになる。

↑足す ↑

いままでのパターンどおり。Xをかける。

６．４．放物線の極表示定式。

くわしくは 「極方程式」について 下方の記事を見てください。

双曲線上の点P （ｒ、θ）とする。焦点から 準線までの距離を ２ｐとすると

ｒ：２ｐ＋ｒcosθ＝１：１＝PF：PH （これは 準線が ｙ軸と平行の場合。）

（準線が焦点より 左にある場合は ２ｐ＋ｒcosθ 一方

準線が焦点より 右にある場合は ２ｐ－ｒcosθ となる

ｒ：２ｐ＋ｒsinθ＝１：１＝PF：PH （これは 準線が ｘ軸と平行の場合。）

（準線が焦点より 下にある場合は ２ｐ＋ｒcosθ 一方

準線が焦点より 上にある場合は ２ｐ－ｒcosθ となる

（準線のほうの比が１ になるのは 「石田純一」と 覚えてください。）

ただし、eは 離心率 Eccentricity （エキセントリックの 名詞、中心cent から Ec 離れる）

とし、 １＝e のとき 放物線となる。

「２次曲線と直線」

以下、テーブルを作る。D は 判別式D H は Hesseの 直線と点の距離式

接は 接線Xx＋Yｙ＝ｒ系

PK は 平行による直線のｙ切片比べる式

T はtan と 傾きｍによる直角三角形定式

円 放物線 楕円 双曲線

直線との交点 DとH D D D

同じ形との交点 DとH D ない なし

接線式 接 接 接 接

曲線と直線の距離式 H PK PK ない

曲線と直線の弦の長さ Hとｒ T T T

極線定式

直線の２交点の中点軌跡

ｙ＝ｋｘ型

ｙ＝ｘ＋ｋ型

直交する２接線の交点の軌跡

というわけで

空けてある 項目は みなさんが 埋めてください。

「２次曲線の移動、性質」

１．今までの数学Ⅰ、Ⅱでやってきたように 移動させてください。

「曲線の媒介変数表示」

１．極表示していいのは、もとめる値が 「点の位置」ではないときに 限る。つまり 面積や距離の最大値最小値の場合、は 極表示をどんどん利用する。

「極座標と極方程式」

１．ｘ、ｙ平面の式→ ｒ、θ平面の式

はっきりいって どうでもいい変換です。

ｘ、ｙ平面の式→ ｒ、θ平面の式の変換は たんなる計算問題。代入するだけです。

でも！

ｘ、ｙ平面の式←ｒ、θ平面の式 の変換は 「たまたま 可能だった」というだけ。ふつうは ｒ＝θ みたいに 絶対に ｙ＝ｆ（ｘ）では 表現できないような 曲線だらけなのです。

もともと ｘ、ｙ平面で 表現されていたものを ｒ、θ平面で表した式を用意して、「これを 元に戻しなさい」といっているだけ。数学的価値はまったくありませんよって ｘ、ｙ平面の式←ｒ、θ平面の式変換で 直すことができるのは 直
線と ２次曲線のみです。

２．焦点からの距離の問題は ｒ、θ平面の定式が 強い！式

たいていの一般的な式は ｘ、ｙ平面で 表示したほうが速いんですけど、

定点からの距離だけで 定式する場合、ｒ、θ平面で 表現すると きれいに定式できる。

こういう定式は 決まった種類しか出ませんので、縦方向に データベースを 伸ばしましょう。

１/FP＋１/FQ 系は 特によく出てくるけど、極表示の楕円定式を マスターしたみなさんには お茶の子さいさいです。代入するだけですから。

【数学ⅢC】まとめ・微分、積分のイメージなど

数学Ⅲ 微分。

• 微分。Differential。の意味データベース。

• 微分計算イメージ。

• 微分は グラフを書く道具。グラフは 最大値、最小値を もとめる道具。

• ある関数で、原点周辺をテイラー展開。

• 「平均値の定理」ではなくて、「２線平行の定理」と 考える。

• 逆関数のイメージ。

Ⅲ 積分。

• 積分のコツは 形で 分類すること。

• 積分のイメージ。微分の逆演算。そして、画像倉庫。

Ｃ

• 行列の定式一覧。

• 固有値、固有ベクトルの意味は、「何回かけても、回転しない表現行列」

• 一次変換って こういうこと。Linear mapping。

• 行列は 絵を「回して、伸ばす」道具。

• 行列の成分計算のイメージ。

• 連立一次方程式を 再構築する。

• ⅢC行列の 記号 再構築。再考。その他、いろいろ 行列関係。