箱根駅伝を全区間走ってみましたが、各中継所へのアクセスをまとめています。
これから箱根を目指したい高校生や箱根駅伝の険しさを体感したい市民ランナーの参考になればと思います。
起点は、新宿駅としています。

各中継所へのアクセス

東京・大手町

最寄駅：東京メトロ各線 大手町駅
（鉄道）新宿駅 → 東京メトロ 丸の内線 → 大手町駅

鶴見中継所

最寄駅：京浜急行本線 鶴見市場駅
（鉄道）新宿駅 → JR山手線 → 品川駅 → 京浜急行本線* → 鶴見市場駅

京浜急行線は「普通」電車のみ停車します。
また、蒲田駅で空港方面に行ってしまわないように注意が必要です。

戸塚中継所

最寄駅：ＪＲ東海道線 戸塚駅
（鉄道）新宿駅 → 湘南新宿ライン → 戸塚駅

戸塚駅からは2~3kmほど離れたところにあります。
ローソン大阪下店くらいから登り坂になっています。

平塚中継所

最寄駅：ＪＲ東海道線 平塚駅
（鉄道）新宿駅 → 湘南新宿ライン → 平塚駅

こちらも戸塚中継所と同じく、駅からは離れています。
海岸近くなのでフラットな道のりです。

小田原中継所

最寄駅：箱根登山鉄道 風祭駅
（鉄道）新宿駅 → 小田急小田原線 → 小田原駅 → 箱根登山鉄道 → 風祭駅

ロマンスカー箱根湯本駅行は風祭駅は通過するので、小田原駅で「普通」に乗り換えます。
風祭駅からは鈴廣かまぼこの里を通り抜けられるようになっています。

箱根・芦ノ湖

最寄駅：箱根登山バス 元箱根港
（鉄道）新宿駅 → 小田急小田原線 → 小田原駅 → 箱根登山鉄道 → 箱根湯本駅
（バス）箱根湯本駅 → 箱根登山バス → 箱根町港

バスでのアクセスとなります。
また、観光シーズンは大渋滞しますので、5区と6区は往復で走るのがアクセス面ではスケジュールが立てやすいかと思います。