中央値の計算

中央値とは，測定値を小さい値から大きい値へ並び替えたとき，中央にくる測定値のことをいいます。

以下は，コロナ前のある中学校の1年生の体重です。このデータの中央値を求めましょう。

7個の測定値があれば，真ん中は4番目です。この場合，中央値は 45 です。

一般化

それでは，中央値の算出を一般化しましょう。

測定値を変数 n であらわします。

n = 1 の場合

測定値が1個の場合の中央値を考えます。測定値も変数にしましょう。

測定値は1個しかありません。中央に来る測定値は $${x_{1}}$$ になります。

• n = 1 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{1}}$$

n=3 の場合

測定値が偶数の場合，つまり，n=2, n=4, n=6 などの場合は，中央に来る測定値がありません。この場合はどのように中央値を算出するかは後ほど考えましょう。とりあえず，考えやすい，奇数，n=3 の場合を考えましょう。

• n = 3 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{2}}$$

であることは，すぐわかりますね。

n=5 の場合

n=5，つまり以下の場合を考えましょう。

• n = 3 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{3}}$$

となります。

規則性をみつける

これまでの３つの場合を並べて眺めてみましょう。

• n = 1 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{1}}$$，添え字は 1

• n = 3 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{2}}$$，添え字は 2

• n = 5 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{3}}$$，添え字は 3

ここで，変数 n を与えたら，中央値に来る測定値の添え字（ 例えば，$${x_{1}}$$の１のこと）が何になるか教えてくれる式を考えてみましょう。

例えば，次のような式を考えることができます。他の式を考えることも，もちろんできます。

変数 n に好きな数，つまり測定値の数を入れることで，中央値に来る測定値の添え字の数字を知ることができます。

測定値が奇数の場合は，次のように中央値を求めることができます。

次に，測定値が偶数の場合を考えていきましょう。

n=2 の場合

次のような場合です。

この場合，中央に来る測定値がありません。仕方がないので，中央値は，$${x_{1}}$$ と$${x_{2}}$$ の間にあると考えることにします。仮に，次のように求めることにします。

• n = 2 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{1} +  x_{2}}{2}}$$

n=4 の場合

次のような場合です。

n=2 と同様，次のように中央値を求めます。

• n = 4 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{2} +  x_{3}}{2}}$$

n=6 の場合

次のような場合です。

n=2, n=4 と同様，次のように中央値を求めます。

• n = 6 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{3} +  x_{4}}{2}}$$

規則性をみつける

再び，これまでの場合を書き出してみましょう。

• n = 2 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{1} +  x_{2}}{2}}$$

• n = 4 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{2} +  x_{3}}{2}}$$

• n = 6 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{3} +  x_{4}}{2}}$$

規則性を見出すことはできましたか。測定値 n が偶数の場合，n から中央値は次のように求めることができそうです。

まとめ

以上をまとめると，中央値の求め方は次のように一般化できることがわかります。

特にこの式を覚える必要はありません。中央値は測定値を小さい順に並べたとき，真ん中にくる測定値だと覚えておくだけで十分です。

練習

$${   \lbrace 0, 1, 2, 4, 5 \rbrace  }$$ のとき，中央値を計算しなさい。

答え

測定値の数は 5 です。$${ \frac{5+1}{2}=3}$$ なので，3番目に来る 2 が答えです。

$${ \lbrace 1,  2, 0, 3,5 \rbrace  }$$ のとき，中央値を計算しなさい。

答え

（不安なひとはコメント欄に答えを書き込んでみましょう）

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