どうもNekoShadow(ネコシャドウ)です。今回は単利と複利の違いについて、そして単利公式と複利公式について解説したいと思います。

単利と複利の違い

単利と複利の違いはズバリ「金利(利率)の計算方法」の違いにあります。
金利というのはお金を借りた場合、借りた金額に対してどのくらいの割合で利息(利子)が発生するかを表すものです。一般的には％表記で表します。
また、1年あたりの金利を年利、1か月あたりの金利を月利、1日当たりの金利を日歩(ひぶ)といいます。

例：100万円を年利0.5％の定期預金に1年間預けた場合、その利息は5,000円となります

解説：$${1000000×0.005=5000}$$

単利とは？

単利は「元本に対してのみ」利息が発生する計算方法です。

例：元本100万円に対して、単利の年利2%の運用を5年間した場合毎年の受取利息は2万円であり、5年後の元利合計(元本と利子の合計)は110万円となります。

解説：単利であり、年利が2%なため毎年の受取利息は2万円である。
($${1000000×0.02=20000}$$)
これより毎年の元利合計は
$${１年目：1000000+20000=1020000}$$
$${２年目：1020000+20000=1040000}$$
$${３年目：1040000+20000=1060000}$$
$${４年目：1060000+20000=1080000}$$
$${５年目：1080000+20000=1100000}$$

複利とは？

「一定期間毎に利息を元本に組み入れ、その元本に対して」利息が計算される方法です。また、その期間によって特別な表現があり、例えば1年であれば1年複利、半年であれば6か月複利(半年複利)、3か月であれば3か月複利というような表現をします。

例1：元本100万円を年利2％(1年複利)で5年間運用した場合の5年後の元利合計は
1104080.8032円である、つまり110万4080.8032円である。

解説：１年毎に元利合計を考えていこう
$${1年目：1000000+1000000×0.02=1000000(1+0.02)}$$
$${2年目：1000000(1+0.02)+1000000×(1+0.02)×0.02=1000000(1+0.02)^2}$$
$${3年目：1000000(1+0.02)^2+1000000(1+0.02)^2×0.02=1000000(1+0.02)^3}$$
$${4年目：1000000(1+0.02)^3+1000000(1+0.02)^3×0.02=1000000(1+0.02)^4}$$
$${5年目：1000000(1+0.02)^4+1000000(1+0.02)^4×0.02=1000000(1+0.02)^5=1104080.8032}$$

例2：元本100万円を年利2％(半年複利)で5年間運用した場合の5年後の元利合計は1104622.12539円である、つまり110万4622.12539円である。

解説：半年毎に元利合計を考えていこう
$${\dfrac{1}{2}年目：1000000+1000000×\dfrac{0.02}{2}=1000000(1+\dfrac{0.02}{2})}$$
$${1年目：1000000(1+\dfrac{0.02}{2})+1000000(1+\dfrac{0.02}{2})×\dfrac{0.02}{2}=1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^2}$$
$${\dfrac{3}{2}年目：1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^2+1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^2×\dfrac{0.02}{2}=1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^3}$$
$${2年目：1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^3+1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^3×\dfrac{0.02}{2}=1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^4}$$
これを5年目まで続けて
$${5年目：1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^9+1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^9×\dfrac{0.02}{2}=1000000(1+\dfrac{0.02}{2})^{10}=1104622.12539}$$

単利公式と複利公式

ここまで読んでくれてありがとうございます。
ここからは文字を含んだ数式が登場しますが最大限わかりやすく書くので最後まで読んでくれると嬉しいです。
さて、先ほどの単利•複利それぞれの例から分かるように一定期間後の元利合計を求める公式が単利•複利どちらにも存在します。
それらをこれから紹介します。

単利公式

$${A= a(1 + nr')}$$

$${A：元利合計}$$
$${a：元本}$$
$${n：運用期間}$$
$${r：金利}$$(%)
$${r'：\tfrac{r}{100}}$$

ここで注意点があります。
金利が年利や月利などのどのくらいの期間を基準にして与えられているかを意識しましょう。それによってnの単位が変わってくるからです。例えば
年利の場合nは年を単位とします。
月利の場合nは月を単位とします。

例1：元本100万円に対して、単利の年利2%の運用を5年間した場合元利合計は110万円になります。

解説：$${A=1000000(1+5×0.02)=1100000}$$

例2：元本100万円に対して、単利の月利2%の運用を5年間した場合220万円です。

解説：$${A=1000000(1+60×0.02)=2200000}$$

複利公式

$${A=a(1+\dfrac{r'}{k})^{nk}}$$

$${A：元利合計}$$
$${a：元本}$$
$${n：運用期間}$$
$${r：金利}$$(%)
$${r'：\tfrac{r}{100}}$$
$${k：当該期間に金利が適用される回数}$$

※単利の場合と同様に、金利がどのくらいの期間を基準にして与えられているかに注意してください。

例：元本100万円を年利2％(4か月複利)で5年間運用した場合の5年後の元利合計は1104804.218円である、つまり110万4804.218円である。

解説：1年間に金利が適用される回数は3回なので、$${k=3}$$
$${A=1000000(1+\dfrac{0.02}{3})^{5×3}=1104804.218}$$

ここで記事は終わりです。
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