我が家の娘（６歳：G1）と息子（５歳：K2）は、自宅でも英語・日本語が７：３くらいの割合、学校ではオールイングリッシュなので、日本語の喋りや理解度は同い年の子と比較しても幼い感じがします。英語だと、歳相応に論理的に話せるのに対して、日本語だと主語・述語・目的語がわかりづらく何を言おうとしているのか理解できないことがあり、「英語で話してみて」とお願いして言いたいことを理解し、日本語ではこう表現するんだよと教えてあげる感じです。
息子は、第二言語で日本語を履修しているので平仮名・片仮名は読み書きできますが、娘は第二言語はフランス語、日本語は平仮名もかなり怪しいレベルです。K2の頃に息子と同様日本語のレッスンを受講していて、読み書きの練習もしていたのですが、G1進級後はその機会も無くなったので忘れていると思います。その分フランス語を覚えている感じです。
日本人でありながら日本語を疎かにして良いのか？とよく聞かれますが、私達としては、まずは英語でしっかり授業を理解する、思考する、本を読む、自分の考えを英語で言語化しアウトプットすることを定着させたいと思っています。英語を使って学ぶ環境において最低限これができないと話にならないので、日本語を学習させることよりも重要だと考えているからです。
普段日本語で会話し、授業も全て日本語、アウトプットも日本語、教科書も日本語の環境で育っている一般的な日本人の子と同じレベルで日本語を習得するのは相当難易度が高いのではないでしょうか。また、インターナショナルスクールという環境で日本語を流暢に理解する、話せるメリットは何でしょうか。せっかくインターで英語を使って学んでいるのですから、「情報を英語で取得する」メリットを学習に生かす方が得策ではないかと思っています。
日本語で取得できる情報量よりも英語の方が断然多いのは事実です。また、検索のコツなども学校できちんと教えてくれます。検索した情報を英語で読める、理解できることは大きなメリットです。

ただし、我が家のように
・近い将来、海外へ移住する
・子ども達を日本の学校や大学に進学させるつもりがない
・子ども達は、日本ではなく海外で働く想定である
という割り切った考え方をベースにしています。お子さんを日本の義務教育や高校・大学に通わせたい場合や、日本の企業に就職させたいのであれば、話が変わってくるかも知れません。こうなってくると、そもそもインターナショナルスクールという選択肢が適切かどうかという判断に遡る気がします。