72の法則とは？

72の法則とは、元金が２倍になるときの金利とその年数を計算するときに用いられる計算法である。

実際には多少ズレるが、
簡易的な式として、

Ｙ= 72➗Ｘ

としておよその年数を計算することができる。

具体的に言うと、
金利が２％のとき、上の式のＸに「２」を代入すれば、
Ｙ＝72➗２＝36 。
つまり金利が２％のときには、元金が２倍になるのに、およそ「36年」かかることがわかる。
金利が３％ならば、
Ｙ＝72➗３＝24なので、
およそ「24年」かかることが分かる。

実際には上の式を満たすＸ(金利Ｘ％)とＹ(かかる年数)の関係だから、単純な「反比例」とはならないのだが、

Ｙ＝72➗Ｘ
として「近似値」を計算できるということである。

疑問

「図１」の式から
「Ｙ＝72➗Ｘ」という式がどのようにして導き出せるのか調べてみたが、説明が省略されている場合が多い。

そこで、自分なりに「図１の式」から、「Ｙ＝72➗Ｘ」の式を導き出してみようと思った。

⚠️間違っているかもしれないので、数学に自信のある方がいらっしゃったら、「査読」をお願いいたします😄。

下準備

n乗した式を、「二次式」で近似することを考える。

図２の２番目の式、３番目の式に
「Ｘ＝0」を代入すれば、
n ≒ a
n(n－1) ≒ 2b 

よって

図３の式を
nをＹに置き換える。
ただし
０＜Ｘ＜＜１、Ｙは正の数とする。

図４の式の右辺を「＝２」とおくと、

図５の式を計算して整理すると、

図６の式をＹについての二次方程式として解くと、

ここで０＜Ｘ＜＜１だから、
根号の中のＸの３乗と、Ｘの４乗を
０と見なせば、

Ｘ＞０だから、図８の式をもう少し整理すると、

図９の分子のＸを０と見なして、
分母と分子を２で割ると、

Ｙ＞０だから、

「あれっ？、72じゃない」と思った方もいるかもしれない。
結論を言えば、だいたいの年数がわかればよいので、「72」として計算しても「73」として計算しても大差はない。

ただ「72」のほうが、「約数」がたくさんあるので、暗算するには便利である、というだけの話である。