中学でもわかる浪漫数学

物語風に分かりやすく挑戦中。いつか理数系の物語を、数式入りで映像化するのが夢。 不定期…

中学でもわかる浪漫数学

物語風に分かりやすく挑戦中。いつか理数系の物語を、数式入りで映像化するのが夢。 不定期ですが、主に理数系４００字ショートショートもやっています。 ４００字はコチラ → https://short-short.garden/author/808121 理数専門の学習塾経営　数理十九

  • ５次方程式になぜ解の公式が存在しないのか？

    家庭教師の竹村と天才小学５年生森田君のやりとりを通して、なぜ５次以上の方程式に解の公式が存在しないのかに迫ります。数式や記号の羅列にならないよう、なるべく日常の言葉で書くことにしています。 気付いたら投稿記事を修正しています。 なお、本文はアーベルの証明のアイデア（累乗根の添加や対称性の破壊など）の紹介に力点を置いており、数学的な厳密性は割愛しています。 （参考文献） 『代数学概論』高木貞治著 『不可能の証明』津田文夫著 内容はアーベルの証明を、現代的な視点を加味して簡潔に書いたもののようです。 アーベルの原論文は以下を参考。 『群と代数方程式』守屋美賀雄訳・解説 『アーベルの証明「解けない方程式」を解く』ピーター・ペジック著、山下純一訳 原論分は式変形がかなり複雑になっています。 また、後期ではガロアの証明も紹介します。大学のガロア理論ではなく、ガロアのアイデアの解説です。

  • ショートショート集

    理数系ショートショートもあります。不定期ですが、こちらでも理数系４００字ショートショートなどをやっています。 ４００字はコチラ → https://short-short.garden/author/808121

  • 理数系ショートショート集

    理数系のショートショート集です。数学的な内容ですが、中学～高校レベルで分かる物語にしています。

（図版追加）『巡回群』について、および剰余群が巡回群になること

巡回群について　ここでは、重要な巡回群について解説します。巡回群とは「すべての要素が、あるひとつの要素だけを用いて表すことのできる群」です。具体的には、これまで何度も現れた、３次対称群 　$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$ の正規部分群である３次交代群 　$${N=\{id, \rho_2, \rho_3\}}$$ が巡回群になります。$${S_3}$$ の遇置換だけをすべて集めた群

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    • 中学でも分かるガロアの証明⑤正規部分群の縮小について

      （復習）左剰余類による類別　前回までは、３次対称群（３つの文字の入れ替えをすべて集めた群） 　$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$ の正規部分群である、３次交代群（$${S_3}$$ の要素のうち遇置換だけを集めた群） 　$${N=\{id, \rho_2, \rho_3\}}$$ による左剰余類（および右剰余類）を考え、その剰余類によって $${S_3}$$ を２つのグループ $${

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      • （追記有り）中学でも分かるガロアの証明➃『剰余群』について

        　ここでは、剰余類どうしに新たに演算を定義して、その演算に関して剰余類の集合は群（これを剰余群という）になることを証明していきます。ガロアによる偉大な発見です。 　ますは、本シリーズ (28) ～ (30) でやった定義、重要事項を記していきます。 （復習）群の定義　空でない集合 $${G}$$ の任意の要素 $${a, b, c}$$ の間に１つの演算 $${*}$$ が規定されているとする。 　この集合 $${G}$$ の任意の要素 $${a, b, c}$$

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        • （追記有り）中学でも分かるガロアの証明➂『剰余類』及び『正規部分群』について

          　ここでは剰余類、及び正規部分群について解説をします。この考えは、「５次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを証明する上での重要なアイデアです。 　置換の積に関して、３次対称群 　$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$ の部分群には、全部で以下の６通りがあります（本シリーズ (29)）。 　$${\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \ta

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        （図版追加）『巡回群』について、および剰余群が巡回群になること

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        マガジン

        • ５次方程式になぜ解の公式が存在しないのか？
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        • ショートショート集
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        記事

          中学でも分かるガロアの証明➁『部分群』について

          　前回（本シリーズ (28)）では『集合』と『群』を説明しました。ここでは『部分集合』と『部分群』について解説していきます。 　前回、３次置換全体の集合 　$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$ は、置換の積（合成）という演算に関して群となることを解説しました。この集合 $${S_3}$$ を『３次対称群』といいます。 （再掲）３次対称群の要素 $$ \begin{align*} &\b

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          中学でも分かるガロアの証明➁『部分群』について

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          中学でも分かるガロアの証明①『群』について

          　ガロアは『群』という数学的概念を用いて、５次以上の方程式に解の公式が存在しないことを証明しました。ここでは、その『群』について簡単に解説します。 （追記）あまり推敲せず、厳密でないところがあるので修正しました。分かりやすさと厳密性の狭間でもがいております。現状アバウトに読んでください。 集合について　数学的な意味での集合とは「範囲のはっきりしたものの集まり」です。そして集合を作っている個々のものを、その集合の要素といいます。要素のことを元という場合もあります。 　例えば、

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          中学でも分かるガロアの証明①『群』について

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          （大幅修正）（追記有り）もっと分かりやすく⑩　そもそもなぜ存在しないのかを『巡回置換』から紐解く

          　そもそもなぜ５次以上の方程式に解の公式が存在しないのかについて、『巡回置換』との関連で解説していきます。結論的なことは、本文最後の方で述べています。 　３次方程式の解の公式の導出において、それが 　「累乗根を取ることによる、解の置換の対称性の破壊」 とつながっていることは、全章の本シリーズ (26) でやりました。そのときの（図解）を改めて再掲します。平方根、３乗根と次々と累乗根を取ることによって、式を変化させない置換（対称性）が恒等置換にまで破壊されていく過程がみて取れ

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          （大幅修正）（追記有り）もっと分かりやすく⑩　そもそもなぜ存在しないのかを『巡回置換』から紐解く

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          数式ミステリー『数学者のメモ』Page2

          a=1-1+1-1+1-1+…… Let's try a=1-1+1-1+1-1+…… =(1-1)+(1-1)+(1-1)+…… =0+0+0+…… =0 easy a=1-1+1-1+1-1+1-…… =1+1-1+1-1+1-1+…… =1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…… =1+0+0+0+…… =1 easy a=1-1+1-1+1-1+1-…… =-1+1-1+1-1+1-1+…… =-1+(1-1)+(1-

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          数式ミステリー『数学者のメモ』Page2

          中学でもわかる浪漫数学

          数式ミステリー『数学者のメモ』

          a=b a+b=b+b a+b=2b a+b-2a=2b-2a b-a=2(b-a) (b-a)÷(b-a)=2(b-a)÷(b-a) 1=2 Why? No, no, no Try again! Let a=b Add b.　a+b=b+b　a+b=2b Subtract 2a.　a+b-2a=2b-2a　b-a=2(b-a) Divide by b-a.　(b-a)÷(b-a)=2(b-a)÷(b-a) Oh, no …… Now We proved that

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          数式ミステリー『数学者のメモ』

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          （追記あり）もっと分かりやすく➈「カルダノの方法」と「対称性の破壊」の関連について

          　「カルダノの方法」による３次方程式の解の公式の導出方法を、差積とラグランジュ・リゾルベントに関連付けながらもう少し深掘りします。カルダノの方法は「ラグランジュ・リゾルベントによる方法」（本シリーズ (6)、(7)）につながっていることの大まかな解説です。 　まずは、３次方程式の解の公式の導出（カルダノの方法）の流れを再掲します。 ３次方程式の解の公式の導出の流れ（復習）　前章 (25) でやったカルダノの方法は以下のような流れでした。 （再掲） $$ \begin{a

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          （追記あり）もっと分かりやすく➈「カルダノの方法」と「対称性の破壊」の関連について

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          （誤字修正）もっと分かりやすく➇「カルダノの方法」による３次方程式の解の公式の導出

          　３次方程式 $${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$ を考えます。簡単のため、係数 $${a, b, c, d}$$ の範囲を有理数とします。係数の範囲は複素数まで拡張できますが、まずは有理数の範囲で理解できれば、複素数まで拡張することは容易です（注１で数の分類）。また、３次方程式なので当然 $${a\ne 0}$$ です。 　なお本記事は、本シリーズ (3) の復習です。さらに詳しく解説しています。 　まず、 $${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$ の両

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          （誤字修正）もっと分かりやすく➇「カルダノの方法」による３次方程式の解の公式の導出

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          もっと分かりやすく➆「定数 ω」について復習

          　ここでは、本シリーズでたびたび現れる定数 $${\omega}$$ について解説します。主に本シリーズ (2) の復習です。 定数 ω の定義　$${\omega}$$ とは、「３乗して $${1}$$ になる数のうち虚数である定数」、つまり「１の３乗根のうち虚数であるもの」を表します（注で数の分類）。具体的には $$ \begin{align*} \omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{align*} $$ または $$ \begi

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          もっと分かりやすく➅「対称式ではない解の公式を基本対称式で表す」には？

          （初めに）ここでは、分かりにくいと思った本シリーズ (11) の内容をもう一度解説していきます。 　なお、本シリーズ (11) では便宜的に「係数の置き換え」を行っていますが、ここでは行っていません。置き換えるか置き換えないかの違いだけで、本質的には同じです。 　本記事は『天才数学者はこう解いた、こう生きた』（木村俊一著）から引用を得るなど、大きく参考にしています。 （本文スタート）解の公式とは、解をその方程式の係数で表すことです。例えば２次方程式 $${ax^2+bx+c

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          もっと分かりやすく➅「対称式ではない解の公式を基本対称式で表す」には？

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          もっと分かりやすく➄「解の和と差の連立」による２次方程式の解の公式の導出

          （初めに）ここでは、分かりにくいと思った本シリーズ (11) の内容をもう一度解説していきます。 　なお、本シリーズ (11) では便宜的に「係数の置き換え」を行っていますが、ここでは行っていません。置き換えるか置き換えないかの違いだけで、本質的には同じです。 （本文スタート） 　２次方程式の解の公式について、「解の差積 $${\boldsymbol{\alpha-\beta}}$$ を添加する」ことの重要性を本シリーズ (21) で解説しました。この差積を添加する意味を別

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          もっと分かりやすく➃「最初に差積を添加」して対称性を破壊

          　何次方程式であっても、最初に差積を添加して対称性を破壊することを解説していきます（本シリーズ (14)）。 　話の展開を分かりやすくするために、２次方程式の解の公式の導出を簡単に復習します（本シリーズ (1)、(18)）。これは平方完成とよばれる方法です。 （復習）２次方程式の解の公式の導出　　２次方程式 $${ax^2+bx+c=0}$$ を考えます。なお、簡単のため係数 $${a, b, c}$$ の範囲は有理数とします（注１で数の分類）。なお、２次方程式なので

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          もっと分かりやすく③「対称性を恒等置換まで破壊」する理由

          （初めに）コンテストの応募期間は過ぎましたが、説明が不十分な所や重要な部分について、主に２次方程式を使って解説していきます。２次方程式で分かれば、３次方程式 ～ ５次方程式はそのアイデアの拡張なので、本文が分かりやすくなるかと思います。 （本文スタート） 　解の公式を得るためには、前回 (19) でやったように 　「累乗根の添加によって、構成可能なすべての式の対称性（構成可能なすべての式を変化させない置換）を恒等置換にまで破壊する必要がある」 　ここでは、その理由を解説して

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          もっと分かりやすく③「対称性を恒等置換まで破壊」する理由

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