マガジン
５次方程式になぜ解の公式が存在しないのか？
中学でもわかる浪漫数学
- 35本
家庭教師の竹村と天才小学５年生森田君のやりとりを通して、なぜ５次以上の方程式に解の公式が存在しないのかに迫ります。数式や記号の羅列にならないよう、なるべく日常の言葉で書くことにしています。 気付いたら投稿記事を修正しています。 なお、本文はアーベルの証明のアイデア（累乗根の添加や対称性の破壊など）の紹介に力点を置いており、数学的な厳密性は割愛しています。 （参考文献） 『代数学概論』高木貞治著 『不可能の証明』津田文夫著 内容はアーベルの証明を、現代的な視点を加味して簡潔に書いたもののようです。 アーベルの原論文は以下を参考。 『群と代数方程式』守屋美賀雄訳・解説 『アーベルの証明「解けない方程式」を解く』ピーター・ペジック著、山下純一訳 原論分は式変形がかなり複雑になっています。 また、後期ではガロアの証明も紹介します。大学のガロア理論ではなく、ガロアのアイデアの解説です。
ショートショート集
中学でもわかる浪漫数学
- 7本
理数系ショートショートもあります。不定期ですが、こちらでも理数系４００字ショートショートなどをやっています。 ４００字はコチラ → https://short-short.garden/author/808121
記事一覧
（まとめに図版追加）『体（たい）』について
ここでは、「体」という新しい概念と、本文で何度も述べてきた「累乗根の添加」について解説します。前半は、本シリーズ (18) の（注３）（注４）で述べた内容を、体を用いて新たに書き直したものです。
後半では、具体的な２次方程式の解について、前半で述べた「体」と「累乗根の添加」を応用させていきます。
『体（たい）』について まずは有理数の集合を考えてみましょう（数の分類については（注１））。
２次対称群で、剰余群が巡回群になることの復習
２次対称群について これまでは、３次方程式を扱うために、３次対称群
$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$
を主に扱ってきました。ここでは、３次対称群で辿ってきた道のりを、２次対称群（２次置換を要素とする集合）に当てはめてみます。
後に２次方程式でガロアの証明を扱うための準備と、より簡単な２次という構造で、剰
（図版追加）『巡回群』について、および剰余群が巡回群になること
巡回群について ここでは、重要な巡回群について解説します。巡回群とは「すべての要素が、あるひとつの要素だけを用いて表すことのできる群」です。具体的には、これまで何度も現れた、３次対称群
$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$
の正規部分群である３次交代群
$${N=\{id, \rho_2, \rho_3
中学でも分かるガロアの証明⑤正規部分群の縮小について
（復習）左剰余類による類別 前回までは、３次対称群（３つの文字の入れ替えをすべて集めた群）
$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$
の正規部分群である、３次交代群（$${S_3}$$ の要素のうち遇置換だけを集めた群）
$${N=\{id, \rho_2, \rho_3\}}$$
による左剰余類（および右
（追記有り）中学でも分かるガロアの証明➃『剰余群』について
ここでは、剰余類どうしに新たに演算を定義して、その演算に関して剰余類の集合は群（これを剰余群という）になることを証明していきます。ガロアによる偉大な発見です。
ますは、本シリーズ (28) ～ (30) でやった定義、重要事項を記していきます。
（復習）群の定義 空でない集合 $${G}$$ の任意の要素 $${a, b, c}$$ の間に１つの演算 $${*}$$ が規定されていると
（追記有り）中学でも分かるガロアの証明➂『剰余類』及び『正規部分群』について
ここでは剰余類、及び正規部分群について解説をします。この考えは、「５次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを証明する上での重要なアイデアです。
置換の積に関して、３次対称群
$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$
の部分群には、全部で以下の６通りがあります（本シリーズ (29)）。
$${\{id,
中学でも分かるガロアの証明➁『部分群』について
前回（本シリーズ (28)）では『集合』と『群』を説明しました。ここでは『部分集合』と『部分群』について解説していきます。
前回、３次置換全体の集合
$${S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}}$$
は、置換の積（合成）という演算に関して群となることを解説しました。この集合 $${S_3}$$ を『３次対称群』といい
中学でも分かるガロアの証明①『群』について
ガロアは『群』という数学的概念を用いて、５次以上の方程式に解の公式が存在しないことを証明しました。ここでは、その『群』について簡単に解説します。
（追記）あまり推敲せず、厳密でないところがあるので修正しました。分かりやすさと厳密性の狭間でもがいております。現状アバウトに読んでください。
集合について 数学的な意味での集合とは「範囲のはっきりしたものの集まり」です。そして集合を作っている個々のも
（大幅修正）（追記有り）もっと分かりやすく⑩ そもそもなぜ存在しないのかを『巡回置換』から紐解く
そもそもなぜ５次以上の方程式に解の公式が存在しないのかについて、『巡回置換』との関連で解説していきます。結論的なことは、本文最後の方で述べています。
３次方程式の解の公式の導出において、それが
「累乗根を取ることによる、解の置換の対称性の破壊」
とつながっていることは、全章の本シリーズ (26) でやりました。そのときの（図解）を改めて再掲します。平方根、３乗根と次々と累乗根を取ることによ
数式ミステリー『数学者のメモ』Page2
a=1-1+1-1+1-1+……
Let's try
a=1-1+1-1+1-1+……
=(1-1)+(1-1)+(1-1)+……
=0+0+0+……
=0
easy
a=1-1+1-1+1-1+1-……
=1+1-1+1-1+1-1+……
=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+……
=1+0+0+0+……
=1
easy
a=1-1+1-1+1-1+1
数式ミステリー『数学者のメモ』
a=b
a+b=b+b
a+b=2b
a+b-2a=2b-2a
b-a=2(b-a)
(b-a)÷(b-a)=2(b-a)÷(b-a)
1=2
Why?
No, no, no
Try again!
Let a=b
Add b. a+b=b+b a+b=2b
Subtract 2a. a+b-2a=2b-2a b-a=2(b-a)
Divide by b-a. (b-a)÷(b-a)=2(b
（追記あり）もっと分かりやすく➈「カルダノの方法」と「対称性の破壊」の関連について
「カルダノの方法」による３次方程式の解の公式の導出方法を、差積とラグランジュ・リゾルベントに関連付けながらもう少し深掘りします。カルダノの方法は「ラグランジュ・リゾルベントによる方法」（本シリーズ (6)、(7)）につながっていることの大まかな解説です。
まずは、３次方程式の解の公式の導出（カルダノの方法）の流れを再掲します。
３次方程式の解の公式の導出の流れ（復習） 前章 (25) でやっ
（誤字修正）もっと分かりやすく➇「カルダノの方法」による３次方程式の解の公式の導出
３次方程式 $${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$ を考えます。簡単のため、係数 $${a, b, c, d}$$ の範囲を有理数とします。係数の範囲は複素数まで拡張できますが、まずは有理数の範囲で理解できれば、複素数まで拡張することは容易です（注１で数の分類）。また、３次方程式なので当然 $${a\ne 0}$$ です。
なお本記事は、本シリーズ (3) の復習です。さらに詳しく
もっと分かりやすく➆「定数 ω」について復習
ここでは、本シリーズでたびたび現れる定数 $${\omega}$$ について解説します。主に本シリーズ (2) の復習です。
定数 ω の定義 $${\omega}$$ とは、「３乗して $${1}$$ になる数のうち虚数である定数」、つまり「１の３乗根のうち虚数であるもの」を表します（注で数の分類）。具体的には
$$
\begin{align*}
\omega=\dfrac{-1+\sqr
もっと分かりやすく➅「対称式ではない解の公式を基本対称式で表す」には？
（初めに）ここでは、分かりにくいと思った本シリーズ (11) の内容をもう一度解説していきます。
なお、本シリーズ (11) では便宜的に「係数の置き換え」を行っていますが、ここでは行っていません。置き換えるか置き換えないかの違いだけで、本質的には同じです。
本記事は『天才数学者はこう解いた、こう生きた』（木村俊一著）から引用を得るなど、大きく参考にしています。
（本文スタート）解の公式とは
もっと分かりやすく➄「解の和と差の連立」による２次方程式の解の公式の導出
（初めに）ここでは、分かりにくいと思った本シリーズ (11) の内容をもう一度解説していきます。
なお、本シリーズ (11) では便宜的に「係数の置き換え」を行っていますが、ここでは行っていません。置き換えるか置き換えないかの違いだけで、本質的には同じです。
（本文スタート）
２次方程式の解の公式について、「解の差積 $${\boldsymbol{\alpha-\beta}}$$ を添加する