第17回「カントールのパラドックス！」

カントールは、自然数の集合の基数を「アレフ０」と名付けた。したがって、偶数の集合の基数も、アレフ０である。もちろん、奇数の集合の基数も同じになることは、明らかだろう。しかし、さらに驚くべきことに、カントールは、整数（正と負の自然数と０）や、有理数（分母が０以外の整数比）の基数も、アレフ０であることを証明した。つまり、すべての分数は、奇数と一対一に手を繋げるのである。

無限基数の演算も興味深い。たとえば、アレフ０＋アレフ０＝アレフ０であり、アレフ０×アレフ０＝アレフ０である。ところが、累乗の演算になると、無限にも大小関係のあることが証明される。カントールは、２のアレフ０乗が、アレフ０よりも大であることを証明した。一般に、集合Ｓの部分集合の集合を「ベキ集合」と呼ぶ。このとき、ベキ集合の基数は、集合Ｓの基数よりも大なのである。

実際に、カントールは、「対角線論法」によって、実数Ｒ（有理数と無理数）の基数が、自然数Ｎの基数よりも大であることを証明した。実数の基数は、自然数のベキ集合の基数と同等である。つまり、実数の基数は２のアレフ０乗であり、それはアレフ０よりも大であることが明らかになったのである。

カントールは、アレフ０、アレフ１、アレフ２、……と無限に続く無限基数の存在を証明した。そして、これらの階層は、ベキ集合の基数の階層と一致すると考えたのである。つまり、アレフ１は２のアレフ０乗、アレフ２は２のアレフ１乗、……のように、無限基数が整列するものと仮定した。これが、カントールの「一般連続体仮説」である。

さて、すべての集合の集合Aを考えてみよう。この集合Aは、最大の濃度をもつ集合と考えられる。ところが、集合Aのベキ集合の濃度は、集合Aの濃度よりも大でなければならない。この矛盾を、どのように考えればよいのだろうか？