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まなか
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令和6年度　京都大学大学院理学研究科数学専攻・数理解析専攻　入試問題　解答

　基礎科目の大問１〜６と専門科目の大問１〜３（代数系）の解答です。口頭試問で聞かれたことも書いてあります。

　また院試体験記を書いたので、よければ院試勉強の参考にしてください。京大数学教室、RIMSの倍率などのデータも載ってます。

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準同型の数え上げ

院試対策をしていたところ，次のような問題があった．

本稿ではこのような準同型の数え上げの問題を解く方法を解説する．

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一位の極の留数の計算方法

　院試対策のゼミで，ゼミのメンバーの一人が一位の極の留数の簡単な計算方法を見つけた．簡潔に言えば一位の極について次が成り立つ．

$$
\mathrm{Res}(f,\alpha)=\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{1}{f(z)}\bigg)^{-1}\bigg|_{z=\alpha}.
$$

　これを用いると留数計算が簡単になることがある．本

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半直積を知ろう

　半直積からこれまで逃げ続けてきたが，院試を目の前にして逃げられなくなったので，自分の備忘録も兼ねて半直積についてまとめた．直積分解に注目することで半直積を直積の一般化として自然に導入する．またガロア理論で登場する半直積についても紹介する．

【更新履歴】
2024-05-09 命題1の(1)に内部直積であることを明記した．

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A Proof of The Existence of An Algebraic Closure Using Ultraproducts

The existence of an algebraic closure can be proven using ultraproducts. This is quite interesting as an example of the application of model theory.

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有限集合上のフィルターと約積

　直積の一般化として約積というものが知られている．大雑把に言えば約積とは直積をフィルターというものを使って同値関係で割ったものである．
　約積の具体例を考えているときに，有限個の構造の約積は，結局直積になることに気がついた．そのことについて記しておく．

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指数nの部分群の個数の求め方

　上のような与えられたアーベル群の指数$${n}$$の部分群の個数を求める問題の解き方をまとめた．指数2のとき$${\Z/2\Z}$$への全射準同型の個数と対応があることは有名かもしれない．指数2でない場合にもこれと同様の手法が使えるが，見落としがちな落とし穴がある．参考になれば．

記事の中で問題を準同型の数え上げに帰着させるが，準同型の数え上げの方法は以下の記事を参照．

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圏論的に見る像，逆像にかかる包含関係

　像，逆像にかかる包含関係は，例えば

$$
f \left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)=\bigcup_{i\in I}f(U_i),\\
f\left(\bigcap_{i\in I} U_i\right)\subseteq\bigcap_{i\in I}f(U_i),\\
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} V_i\right)=\bigcu

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一般化蛇の補題とn^2項補題

一般化蛇の補題とn^2項補題

　幾何学演義IIの授業にて九項補題を証明する問題が出されたことをきっかけに，その一般化である$${n^2}$$項補題の証明に取り組んだ．結果的に一般化蛇の補題を証明することで$${n^2}$$項補題の証明に成功した．本記事ではそれらの証明をまとめた．
　問題を考えるきっかけをくださり，また証明をまとめるよう助言をくださったK先生に，感謝申し上げます．
　誤植などあれば，私のtwitter(@Gir

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漸化式千本ノック（Focus Gold 数学II+Bに添えて）

　Focus Gold 数学II+Bを補完する形で作った漸化式の問題集です。Focus Goldはレベルが高い分、基本的な問題の演習問題の数があまりないので、テスト対策で演習を重ねたい人など向けです。（第三者の校閲が入ってないので使用は自己責任で）

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積分いたしますわよ

　一年ほど前に塾講のアルバイトで自作した、数学IIIの積分法についてのプリントです。どうしても硬くなってしまう文章を和らげるため、お嬢様言葉で書かれています。（第三者に校閲されていないので使用は自己責任で）

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数学徒のためのフラクトゥーアの書き方

数学徒のためのフラクトゥーアの書き方

　数学の記事も色々書いているのでこちらもよければ。

はじめに　数学書を読んでいるとフラクトゥーアなるフォントが出てくるが、書き方がよく分からないというのが数学徒あるあるだろう。私も書けずに困ったので、色々調べて書き方を模索した。ここに私なりの書き方をまとめておくので、よければ参考に。
　書き方は下記のサイトを参考にし、数学で使用することを考え、

適度な簡略化（装飾部の省略など）

類似のアルフ

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数学で使うアルファベットなどの書き方

数学で使うアルファベットなどの書き方

　数学の記事も色々書いてるのでこちらもよければ。

はじめに　数学で登場する文字の種類は徐々に増えていく。中学までは高々アルファベットであるが、高校ではギリシャ文字がいくつか導入され、大学ではアルファベットを様々なフォントで区別し使い分けることになる。教科書に見慣れない文字が出てきて「これなんやねん」「どうやって書くんよ」と思った経験は皆さんもあるだろう（し、なんならそう思ってこの記事に辿り着いた

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代数学１群論入門（赤雪江）演習問題解答

　友人と二人で代数学1群論入門（雪江明彦著）、通称赤雪江の演習問題の解答を作成しました。TeX打ちはほぼ全部彼がやってくれました。ありがとう。赤雪江で勉強される方の役に立ちますように。（リンクは友人のホームページに飛びます）

　数学の記事を色々書いてるのでよければそちらも。