記事一覧
解析入門I - 実数の連続性1
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
ここからは連続の公理からいくつかの命題を導く。これらは実質的に連続の公理と同値であり、実数の連続性を様々な角度から見た表現になっている。
連続性の公理から、単調列に対して次が導かれる。
これを示す。$${A \equiv \{a_n : n \in \mathbb{N}\}}$$は空でなく、仮定より上に有界だから、連続性の公理より$$
20240422-3Dプリンタの活用方針
今回は気ままにブログのようにnote書いてくことにします。そこで私の中で今hotな3Dプリンタのことについて話そうかなーと思います。
私と3Dプリンタとの出会いは2020年でした。このころに自作キーボードを作り始めてて、キーボードをカスタマイズしていくのには3Dプリンタって何かと便利なんじゃない？？ と思い、QIDI TechのFDM 3Dプリンタを購入しました。そのあとキーキャップを精度よく作
解析入門I - 実数列の極限7
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
この記事では極限の性質の内、大小関係にかかわるものを議論する。
この定理が成り立つならば、ある$${n_0}$$以上の$${n}$$に対して大小関係がすべて成り立てば、極限値も大小関係を保存することに注意する。
もし、これが成り立たないとしよう。つまり$${a \gt b}$$を仮定する。$${a -b = 2\varepsilon}
解析入門I - 実数列の極限6
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
この記事では極限の性質の内、四則演算にかかわるものを議論する。
$${a \equiv \lim_{n \to \infty} a_n,\ b \equiv \lim_{n \to \infty b_n}}$$とおく。まず、1. と 2.について示そう。三角不等式より
$$
|(a + b) - (a_n + b_n)| = |(a
量子計算学習ノート - 縮約密度オペレータ2
この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。
縮約密度オペレータの議論で暗黙的に部分トレースの性質を使ってきたので、ここでは部分トレースの性質を説明し、そのあと実際に縮約密度オペレータを計算した例について述べる。
$${V, W}$$のCONSをそれぞれ$${\{|v_i\rang\}, \{|w_i\rang\}}$$とおく。この時、それぞれのオペレータを次のよう
量子計算学習ノート - 縮約密度オペレータ1
この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。
ここからは密度オペレータによる量子力学の公理の表現において有用な応用である、縮約密度オペレータによる部分量子系の状態表現について説明する。
このためにはまず複合量子系における部分トレースという演算を定義する必要がある。今、$${V, W}$$を二つの量子系を記述するヒルベルト空間とし、それぞれの空間のCONSを$${\{
解析入門I - 実数列の極限5
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
ここからは極限の性質について議論することにする。
もし相異なる極限$${a, b}$$が存在したとしよう。このとき$${2\varepsilon = |a-b| \gt 0}$$とおく。このとき$${\varepsilon \gt 0}$$でもあるから、ある自然数$${n_0, n_1}$$が存在して$${n \ge n_0, n' \
解析入門I - 実数列の極限4
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
実数列の極限が定義できたので、いくつかの数列の極限例を見ていくことにしよう。
$${a_n \equiv \frac{1}{n}}$$と定義すると、$${a_0}$$のみ定義されないが、$${a_0}$$をどのように定義しても極限は変わらない。任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し、自然数$${n_0}$$を$${n
解析入門I - 実数列の極限3
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
自然数、整数、有理数、実数が定義できたところで実数列の定義を再度見直すことにする。
この数列に対し、極限というものを定義する。「これは$${n}$$が十分大きくなる時、$${a_n}$$が近づく値」として定義される。近い、遠いの概念は距離$${d(a,b) \equiv |a - b|}$$によって定義される。
さて、数列$${(a_
解析入門I - 実数列の極限2
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
前記事では実数列を厳密に定義するためにまず自然数を定義し、自然数から導かれる数学的帰納法について議論した。この記事ではまず、数学的帰納法によって証明される例である二項定理を証明し、そのあとに有限集合とは何か、そして整数、有理数を定義していくことにする。
まず二項定理を証明しよう。次のような定理である。
まず、$${n = 0}$$のと
解析入門I - 実数列の極限1
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
前回までで実数の連続性について説明し、ここから種々の極限の存在が導かれる。この議論につなげるためにまずは実数列とは何かについて定義しておこう。
実数列の定義はこのように単純明快であるが、私たちは自然数に対する理解をより深めておくべきだろう。そこで自然数について説明することにする。
さて、結論から述べてしまうと私たちは自然数を有限集合の
量子計算学習ノート - 密度オペレータ4
この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。
密度オペレータの定義から始まる量子力学の公理が定義され、足元が整った。ここでは密度オペレータと量子状態のアンサンブル表現に立ち返って、同一の密度オペレータを定義するアンサンブルは実は複数あることを示す。
密度オペレータは前回示した通り$${{\rm tr} \rho =1}$$でかつ、正のオペレータである。このためスペク
量子計算学習ノート - 密度オペレータ3
この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。
ここまでは密度オペレータを純粋状態のアンサンブルとして定義し、量子力学の公理を密度オペレータの言葉で再構築する議論をしてきた。実際には密度オペレータは状態ベクトルに頼らずに定義することができる。この記事ではそれを示す。これによって量子力学の公理が完全に密度オペレータの概念から出発して、状態ベクトルの概念を経由することなく再
量子計算学習ノート - 密度オペレータ2
この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。
前回の記事では密度オペレータの言葉で量子力学の公理を置き換えてみる試みを行った。ここでは密度オペレータを量子計算で扱う際のいくつかの言葉について定義しておこう。
まず、量子系の状態が状態ベクトル$${|\psi\rang}$$で確定しているとき、対応する密度オペレータは$${\rho= |\psi\rang \lang
量子計算学習ノート - 密度オペレータ1
この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。
今までは状態ベクトルを用いて、対象の量子系の状態を記述してきた。この記事では密度オペレータという線形オペレータを使って状態の記述を試みる。密度オペレータを用いると複合量子系における部分量子系の状態を導出するのが非常に容易になる。
密度オペレータは純粋状態の重みづけによって記述される。ある確率$${p_i}$$で量子状態$